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例 一个圆锥的高为$3\sqrt{3}$ cm，侧面展开图是半圆，求：
（1）圆锥的母线长与底面圆的半径之比；
（2）圆锥的全面积。
（1）圆锥的母线长与底面圆的半径之比；
（2）圆锥的全面积。
答案
解：(1)设圆锥的母线长为$l$，底面圆的半径为$r$。根据题意，得$2π r = \frac{180π · l}{180}$，$\therefore l=2r$，即圆锥的母线长与底面圆的半径之比为$2:1$。
(2)$\because r^2 + (3\sqrt{3})^2 = l^2$，即$r^2 + (3\sqrt{3})^2 = 4r^2$，解得$r_1=3$，$r_2=-3$(舍去)。$\therefore l=2r=6\ \mathrm{cm}$。$\therefore$圆锥的全面积为$π × 3^2 + π × 3 × 6 = 27π (\mathrm{cm}^2)$。
(2)$\because r^2 + (3\sqrt{3})^2 = l^2$，即$r^2 + (3\sqrt{3})^2 = 4r^2$，解得$r_1=3$，$r_2=-3$(舍去)。$\therefore l=2r=6\ \mathrm{cm}$。$\therefore$圆锥的全面积为$π × 3^2 + π × 3 × 6 = 27π (\mathrm{cm}^2)$。
解析
【分析】
（1）要推导圆锥母线长与底面半径的比，首先明确核心等量关系：圆锥侧面展开图半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们可以分别设母线长为$l$、底面半径为$r$，结合弧长公式和圆周长公式列等式，即可求出两者的比值。
（2）求全面积需要先得到$r$和$l$的具体数值，圆锥的高、母线、底面半径刚好构成直角三角形，结合第一问得到的$l$和$r$的关系，用勾股定理列方程就能求出$r$、$l$的长度，再根据“全面积=底面积+侧面积”代入计算即可。
【解析】
(1)设圆锥的母线长为$l$，底面圆的半径为$r$。
根据侧面展开图半圆的弧长等于底面圆周长，列等式：
$2π r = \frac{180π · l}{180}$
化简得$l=2r$，即$l:r=2:1$。
(2)圆锥的高、母线长、底面半径构成直角三角形，由勾股定理得：
$r^2 + (3\sqrt{3})^2 = l^2$
将$l=2r$代入上式，得$r^2 + 27 = 4r^2$，
整理得$3r^2=27$，解得$r_1=3$，$r_2=-3$（半径为正数，舍去）。
所以$l=2r=6\ \mathrm{cm}$。
圆锥的全面积为底面积加侧面积：
$S_全 = π r^2 + π r l = π × 3^2 + π × 3 × 6 = 9π + 18π = 27π (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
（1）$2:1$；（2）$27π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆锥侧面展开图特征、勾股定理、圆锥表面积计算
【点评】
本题是圆锥表面积相关的典型基础题，解题的关键是抓住“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长”这一核心等量关系，结合圆锥轴截面的直角三角形特征求解，熟练掌握该类等量关系就能快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7
（1）要推导圆锥母线长与底面半径的比，首先明确核心等量关系：圆锥侧面展开图半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长。我们可以分别设母线长为$l$、底面半径为$r$，结合弧长公式和圆周长公式列等式，即可求出两者的比值。
（2）求全面积需要先得到$r$和$l$的具体数值，圆锥的高、母线、底面半径刚好构成直角三角形，结合第一问得到的$l$和$r$的关系，用勾股定理列方程就能求出$r$、$l$的长度，再根据“全面积=底面积+侧面积”代入计算即可。
【解析】
(1)设圆锥的母线长为$l$，底面圆的半径为$r$。
根据侧面展开图半圆的弧长等于底面圆周长，列等式：
$2π r = \frac{180π · l}{180}$
化简得$l=2r$，即$l:r=2:1$。
(2)圆锥的高、母线长、底面半径构成直角三角形，由勾股定理得：
$r^2 + (3\sqrt{3})^2 = l^2$
将$l=2r$代入上式，得$r^2 + 27 = 4r^2$，
整理得$3r^2=27$，解得$r_1=3$，$r_2=-3$（半径为正数，舍去）。
所以$l=2r=6\ \mathrm{cm}$。
圆锥的全面积为底面积加侧面积：
$S_全 = π r^2 + π r l = π × 3^2 + π × 3 × 6 = 9π + 18π = 27π (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
（1）$2:1$；（2）$27π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆锥侧面展开图特征、勾股定理、圆锥表面积计算
【点评】
本题是圆锥表面积相关的典型基础题，解题的关键是抓住“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长”这一核心等量关系，结合圆锥轴截面的直角三角形特征求解，熟练掌握该类等量关系就能快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7
1. 若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为$90°$，母线长为40 cm，则该圆锥的底面圆的半径为（
A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
B
）A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
答案
1.B
解析
【分析】
解题的核心是抓住圆锥侧面展开图与底面圆的等量关系：侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先我们可以利用已知的扇形圆心角、母线长（即扇形半径）计算出扇形的弧长，再将弧长代入圆的周长公式，即可求出底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆半径为$ r $ cm。
已知圆锥侧面展开图是圆心角为$ 90° $的扇形，扇形的半径等于圆锥母线长，即$ R=40\ \mathrm{cm} $。
根据弧长公式，扇形的弧长为：
$ l=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π×40}{180}=20π\ \mathrm{cm} $
由于圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，可得：
$ 2π r = 20π $
两边同时除以$ π $，解得$ r=10 $。
因此该圆锥底面圆半径为10 cm，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开特征；弧长公式；圆周长计算
【点评】
本题是圆锥侧面积相关的基础常考题，解题关键是牢记“侧面展开扇形的弧长等于底面圆周长”这一核心等量关系，代入公式计算即可，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题的核心是抓住圆锥侧面展开图与底面圆的等量关系：侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先我们可以利用已知的扇形圆心角、母线长（即扇形半径）计算出扇形的弧长，再将弧长代入圆的周长公式，即可求出底面圆的半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆半径为$ r $ cm。
已知圆锥侧面展开图是圆心角为$ 90° $的扇形，扇形的半径等于圆锥母线长，即$ R=40\ \mathrm{cm} $。
根据弧长公式，扇形的弧长为：
$ l=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π×40}{180}=20π\ \mathrm{cm} $
由于圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，可得：
$ 2π r = 20π $
两边同时除以$ π $，解得$ r=10 $。
因此该圆锥底面圆半径为10 cm，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面展开特征；弧长公式；圆周长计算
【点评】
本题是圆锥侧面积相关的基础常考题，解题关键是牢记“侧面展开扇形的弧长等于底面圆周长”这一核心等量关系，代入公式计算即可，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
新知生成：如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形.这个扇形的半径等于圆锥的母线长$ l $，扇形的弧长等于圆锥的
底面圆的周长
，即$ 2π r $.因此，圆锥的侧面积为$π rl$
，圆锥的全面积为$π r(r+l)$或$π r^2+π rl$
.答案
扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，圆锥的侧面积为$π rl$，圆锥的全面积为$π r(r+l)$或$π r^2+π rl$。
解析
【分析】
解题时先明确圆锥与其侧面展开图的对应关系：圆锥侧面展开为扇形，折叠后扇形的两条半径重合为圆锥的母线，扇形的弧刚好围成圆锥的底面，因此弧长等于底面圆的周长。再借助扇形面积公式推导圆锥侧面积，最后在侧面积基础上加底面积得到全面积即可。
【解析】
1. 对应关系推导：将圆锥侧面展开图的扇形折叠还原为圆锥时，扇形的弧恰好围成圆锥的底面，因此扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，即$2π r$。
2. 圆锥侧面积计算：圆锥的侧面积等于侧面展开扇形的面积，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇}}=\frac{1}{2}×\mathrm{弧长}×\mathrm{半径}$，此处弧长为$2π r$，扇形半径为圆锥母线长$l$，代入得：
$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×2π r× l=π rl$。
3. 圆锥全面积计算：全面积为侧面积加底面圆的面积，底面圆面积为$π r^2$，因此：
$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=π rl+π r^2=π r(r+l)$。
【答案】
底面圆的周长；$π rl$；$π r^2+π rl$（或$π r(r+l)$）
【知识点】
圆锥侧面展开图特征；圆锥侧面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，核心考查圆锥和其侧面展开图的量的对应关系，只有准确记忆弧长对应底面周长、扇形半径对应母线长，才能正确推导侧面积和全面积公式，为后续复杂的圆锥计算打好基础。
【难度系数】
0.8
解题时先明确圆锥与其侧面展开图的对应关系：圆锥侧面展开为扇形，折叠后扇形的两条半径重合为圆锥的母线，扇形的弧刚好围成圆锥的底面，因此弧长等于底面圆的周长。再借助扇形面积公式推导圆锥侧面积，最后在侧面积基础上加底面积得到全面积即可。
【解析】
1. 对应关系推导：将圆锥侧面展开图的扇形折叠还原为圆锥时，扇形的弧恰好围成圆锥的底面，因此扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，即$2π r$。
2. 圆锥侧面积计算：圆锥的侧面积等于侧面展开扇形的面积，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇}}=\frac{1}{2}×\mathrm{弧长}×\mathrm{半径}$，此处弧长为$2π r$，扇形半径为圆锥母线长$l$，代入得：
$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×2π r× l=π rl$。
3. 圆锥全面积计算：全面积为侧面积加底面圆的面积，底面圆面积为$π r^2$，因此：
$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=π rl+π r^2=π r(r+l)$。
【答案】
底面圆的周长；$π rl$；$π r^2+π rl$（或$π r(r+l)$）
【知识点】
圆锥侧面展开图特征；圆锥侧面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，核心考查圆锥和其侧面展开图的量的对应关系，只有准确记忆弧长对应底面周长、扇形半径对应母线长，才能正确推导侧面积和全面积公式，为后续复杂的圆锥计算打好基础。
【难度系数】
0.8
已知圆锥的底面半径为 12 cm，母线长为 20 cm. 求这个圆锥的侧面积和全面积.
答案
这个圆锥的侧面积为$π × 12 × 20 = 240π (\mathrm{cm}^2)$，这个圆锥的全面积为$240π + π × 12^2 = 384π (\mathrm{cm}^2)$。
解析
【分析】
求解本题首先要明确圆锥侧面积和全面积的计算公式：①圆锥的侧面展开图为扇形，侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，其中$r$是底面半径，$l$是母线长；②圆锥的全面积为侧面积加底面圆的面积，底面圆面积公式为$S_{\mathrm{底}}=π r^2$。题目已经直接给出底面半径$r=12\mathrm{cm}$、母线长$l=20\mathrm{cm}$，先代入侧面积公式算出侧面积，再计算底面积，二者相加即可得到全面积。
【解析】
已知圆锥底面半径$r=12\mathrm{cm}$，母线长$l=20\mathrm{cm}$：
1. 计算圆锥侧面积：
根据侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入数值可得：
$S_{\mathrm{侧}}=π × 12 × 20 = 240π \ (\mathrm{cm}^2)$
2. 计算圆锥底面积：
底面为圆形，根据圆的面积公式$S_{\mathrm{底}}=π r^2$，代入数值可得：
$S_{\mathrm{底}}=π × 12^2=144π \ (\mathrm{cm}^2)$
3. 计算圆锥全面积：
$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=240π + 144π = 384π \ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
这个圆锥的侧面积为$240π \ \mathrm{cm}^2$，全面积为$384π \ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
圆锥侧面积计算；圆的面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥面积相关的基础题型，核心考查对公式的准确记忆和直接应用，解题时只要明确各参数对应的数值，代入计算即可，注意不要混淆母线长和圆锥的高的概念。
【难度系数】
0.9
求解本题首先要明确圆锥侧面积和全面积的计算公式：①圆锥的侧面展开图为扇形，侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，其中$r$是底面半径，$l$是母线长；②圆锥的全面积为侧面积加底面圆的面积，底面圆面积公式为$S_{\mathrm{底}}=π r^2$。题目已经直接给出底面半径$r=12\mathrm{cm}$、母线长$l=20\mathrm{cm}$，先代入侧面积公式算出侧面积，再计算底面积，二者相加即可得到全面积。
【解析】
已知圆锥底面半径$r=12\mathrm{cm}$，母线长$l=20\mathrm{cm}$：
1. 计算圆锥侧面积：
根据侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，代入数值可得：
$S_{\mathrm{侧}}=π × 12 × 20 = 240π \ (\mathrm{cm}^2)$
2. 计算圆锥底面积：
底面为圆形，根据圆的面积公式$S_{\mathrm{底}}=π r^2$，代入数值可得：
$S_{\mathrm{底}}=π × 12^2=144π \ (\mathrm{cm}^2)$
3. 计算圆锥全面积：
$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=240π + 144π = 384π \ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
这个圆锥的侧面积为$240π \ \mathrm{cm}^2$，全面积为$384π \ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
圆锥侧面积计算；圆的面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题是圆锥面积相关的基础题型，核心考查对公式的准确记忆和直接应用，解题时只要明确各参数对应的数值，代入计算即可，注意不要混淆母线长和圆锥的高的概念。
【难度系数】
0.9
2. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面圆的周长为$24π$ cm，侧面积为$240π$ cm$^2$，则该吊灯外罩的高是
16
cm.答案
2.16
解析
【分析】
要计算圆锥的高，需先求出圆锥的底面半径和母线长，再结合圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形的特点，用勾股定理求解。首先根据底面周长公式计算底面半径，再利用圆锥侧面积公式求出母线长，最后代入勾股公式算出高即可。
【解析】
解：设圆锥的底面半径为$r$ cm，母线长为$l$ cm，高为$h$ cm。
1. 求底面半径：
已知底面圆周长为$24π$ cm，由圆的周长公式$C=2π r$，可得：
$2π r=24π$，解得$r=12$。
2. 求母线长：
已知圆锥侧面积为$240π\ \mathrm{cm}^2$，圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，代入$r=12$、$S_{\mathrm{侧}}=240π$得：
$π×12× l=240π$，两边同时除以$π$得$12l=240$，解得$l=20$。
3. 求圆锥的高：
圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，母线为斜边，由勾股定理得：
$h=\sqrt{l^2 - r^2}=\sqrt{20^2 - 12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$。
【答案】
16
【知识点】
圆锥侧面积计算，勾股定理，圆的周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查圆锥各参数之间的关系，只要熟记相关公式，理清各量的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥的高，需先求出圆锥的底面半径和母线长，再结合圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形的特点，用勾股定理求解。首先根据底面周长公式计算底面半径，再利用圆锥侧面积公式求出母线长，最后代入勾股公式算出高即可。
【解析】
解：设圆锥的底面半径为$r$ cm，母线长为$l$ cm，高为$h$ cm。
1. 求底面半径：
已知底面圆周长为$24π$ cm，由圆的周长公式$C=2π r$，可得：
$2π r=24π$，解得$r=12$。
2. 求母线长：
已知圆锥侧面积为$240π\ \mathrm{cm}^2$，圆锥侧面积公式为$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，代入$r=12$、$S_{\mathrm{侧}}=240π$得：
$π×12× l=240π$，两边同时除以$π$得$12l=240$，解得$l=20$。
3. 求圆锥的高：
圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，母线为斜边，由勾股定理得：
$h=\sqrt{l^2 - r^2}=\sqrt{20^2 - 12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$。
【答案】
16
【知识点】
圆锥侧面积计算，勾股定理，圆的周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查圆锥各参数之间的关系，只要熟记相关公式，理清各量的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
归纳总结
(1)圆锥的母线与侧面展开后扇形的半径对应，圆锥底面圆的周长与侧面展开后扇形的弧长对应，根据这两个对应关系列方程是解决圆锥计算问题的常用方法。
(2)要求圆锥的高，一般需借助母线、半径和高组成直角三角形，利用勾股定理求解。
课时小结
请根据本课所学，构建知识体系。
圆锥的有关概念 → 母线
圆锥的侧面展开图 → 是一个扇形
是一个扇形
├─ 扇形的半径等于
└─ 扇形的弧长等于
圆锥的侧面积和全面积公式
(1)圆锥的母线与侧面展开后扇形的半径对应，圆锥底面圆的周长与侧面展开后扇形的弧长对应，根据这两个对应关系列方程是解决圆锥计算问题的常用方法。
(2)要求圆锥的高，一般需借助母线、半径和高组成直角三角形，利用勾股定理求解。
课时小结
请根据本课所学，构建知识体系。
圆锥的有关概念 → 母线
圆锥的侧面展开图 → 是一个扇形
是一个扇形
├─ 扇形的半径等于
母线长
└─ 扇形的弧长等于
底面圆的周长
圆锥的侧面积和全面积公式
答案
扇形的半径等于母线长，扇形的弧长等于底面圆的周长。
解析
【分析】
这道题考查圆锥侧面展开图与圆锥各要素的对应关系，解题时可结合圆锥侧面展开的操作过程推导对应关系：首先回忆圆锥侧面展开的操作：将圆锥侧面沿母线剪开可得到扇形，只需判断展开前后重合的边、重合的弧分别对应圆锥的哪些部分，即可得出正确结论。
【解析】
将圆锥侧面沿任意一条母线剪开，得到的侧面展开图为扇形：
1. 剪开时的边为圆锥的母线，展开后母线恰好是扇形的半径，因此扇形的半径等于圆锥的母线长；
2. 展开前扇形的弧与圆锥底面圆周完全重合，二者长度相等，因此扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。
【答案】
扇形的半径等于母线长，扇形的弧长等于底面圆的周长。
【知识点】
1.圆锥侧面展开图特征
2.圆锥与展开扇形的元素对应
【点评】
本题属于基础概念类题目，所考察的对应关系是圆锥侧面积、全面积计算的核心依据，牢记这组对应关系是解决圆锥相关计算问题的基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查圆锥侧面展开图与圆锥各要素的对应关系，解题时可结合圆锥侧面展开的操作过程推导对应关系：首先回忆圆锥侧面展开的操作：将圆锥侧面沿母线剪开可得到扇形，只需判断展开前后重合的边、重合的弧分别对应圆锥的哪些部分，即可得出正确结论。
【解析】
将圆锥侧面沿任意一条母线剪开，得到的侧面展开图为扇形：
1. 剪开时的边为圆锥的母线，展开后母线恰好是扇形的半径，因此扇形的半径等于圆锥的母线长；
2. 展开前扇形的弧与圆锥底面圆周完全重合，二者长度相等，因此扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。
【答案】
扇形的半径等于母线长，扇形的弧长等于底面圆的周长。
【知识点】
1.圆锥侧面展开图特征
2.圆锥与展开扇形的元素对应
【点评】
本题属于基础概念类题目，所考察的对应关系是圆锥侧面积、全面积计算的核心依据，牢记这组对应关系是解决圆锥相关计算问题的基础。
【难度系数】
0.9
