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1. 用反证法证明“若$\odot O$的半径为$r$，点$P$到圆心的距离$d$大于$r$，则点$P$在$\odot O$外”，首先应假设（
A.$d≤ r$
B.点$P$在$\odot O$外
C.$d＞r$
D.点$P$在$\odot O$上或点$P$在$\odot O$内
D
）A.$d≤ r$
B.点$P$在$\odot O$外
C.$d＞r$
D.点$P$在$\odot O$上或点$P$在$\odot O$内
答案
1. D
解析
【分析】
解答本题首先要回忆反证法的基本步骤：反证法证明命题时，第一步要假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立，注意不能否定原命题的题设。首先明确本题原命题的结论是“点P在⊙O外”，我们需要找到该结论的反面：点和圆的位置关系共有三种，分别是点在圆外、点在圆上、点在圆内，因此“点在圆外”的反面就是点不在圆外，即点在圆上或者点在圆内，据此即可选出正确选项。
【解析】
反证法证明命题的第一步为：假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
本题要证明的结论是“点P在⊙O外”，它的反面是“点P不在⊙O外”，结合点与圆的三类位置关系可知，“点P不在⊙O外”等价于“点P在⊙O上或点P在⊙O内”，因此首先应假设点P在⊙O上或点P在⊙O内。
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；点与圆的位置关系
【点评】
本题考查反证法的初步应用，解题核心是明确反证法的假设需要否定原命题的结论，而非否定题设，同时要熟练掌握常见几何结论的反面表述，避免出现概念混淆的错误。
【难度系数】
0.7
解答本题首先要回忆反证法的基本步骤：反证法证明命题时，第一步要假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立，注意不能否定原命题的题设。首先明确本题原命题的结论是“点P在⊙O外”，我们需要找到该结论的反面：点和圆的位置关系共有三种，分别是点在圆外、点在圆上、点在圆内，因此“点在圆外”的反面就是点不在圆外，即点在圆上或者点在圆内，据此即可选出正确选项。
【解析】
反证法证明命题的第一步为：假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
本题要证明的结论是“点P在⊙O外”，它的反面是“点P不在⊙O外”，结合点与圆的三类位置关系可知，“点P不在⊙O外”等价于“点P在⊙O上或点P在⊙O内”，因此首先应假设点P在⊙O上或点P在⊙O内。
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；点与圆的位置关系
【点评】
本题考查反证法的初步应用，解题核心是明确反证法的假设需要否定原命题的结论，而非否定题设，同时要熟练掌握常见几何结论的反面表述，避免出现概念混淆的错误。
【难度系数】
0.7
2. 如图，CD是$\odot O$的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC=30°，则∠BOC的度数为（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
C
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先观察题干条件：CD是$\odot O$的直径且垂直于弦AB，首先联想到垂径定理，可得弧AC与弧BC相等，因此它们对应的圆心角$∠ AOC$和$∠ BOC$相等；再结合已知的圆周角$∠ ADC=30°$，联想到圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，先求出$∠ AOC$的度数，即可得到$∠ BOC$的度数。
【解析】
解：
∵CD是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，
∴根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠ AOC=∠ BOC$。
∵$∠ ADC$是圆周角，其所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，
∴根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
$∠ AOC=2∠ ADC=2×30°=60°$，
∴$∠ BOC=∠ AOC=60°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质基础应用题，解题的核心是熟练运用垂径定理得到等弧对应的圆心角相等，结合圆周角定理进行角度换算即可求解，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先观察题干条件：CD是$\odot O$的直径且垂直于弦AB，首先联想到垂径定理，可得弧AC与弧BC相等，因此它们对应的圆心角$∠ AOC$和$∠ BOC$相等；再结合已知的圆周角$∠ ADC=30°$，联想到圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，先求出$∠ AOC$的度数，即可得到$∠ BOC$的度数。
【解析】
解：
∵CD是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，
∴根据垂径定理可得：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$∠ AOC=∠ BOC$。
∵$∠ ADC$是圆周角，其所对的弧为$\overset{\frown}{AC}$，
∴根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得：
$∠ AOC=2∠ ADC=2×30°=60°$，
∴$∠ BOC=∠ AOC=60°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；圆周角定理
【点评】
本题是圆的性质基础应用题，解题的核心是熟练运用垂径定理得到等弧对应的圆心角相等，结合圆周角定理进行角度换算即可求解，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 若一条弦把圆分成1：5两部分，则劣弧所对的圆心角为
60°
.(填度数)答案
3. $60°$
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心知识点：一是整个圆周对应的圆心角为周角360°；二是同圆中弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此弦分圆得到的两段弧的度数比等于对应圆心角的比。题目中1:5是两段弧的占比，劣弧是较短的弧，对应占比为1份，总份数为1+5=6份，用总圆心角乘以劣弧的占比即可求出对应圆心角度数。
【解析】
∵ 整个圆的周角为360°，同圆中弧的度数等于其所对圆心角的度数，
∴ 弦分圆得到的两段弧所对的圆心角之比为1:5，
劣弧为占比更小的弧，其对应的占比为$\frac{1}{1+5}$，
因此劣弧所对的圆心角为：$360° × \frac{1}{1+5}=60°$。【答案】60°
【知识点】
弧与圆心角的关系
周角定义
比例计算
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，解题的核心是掌握弧的度数与对应圆心角度数的等量关系，结合比例计算即可得出结果，解题时需注意区分劣弧与优弧的占比，避免算反。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确两个核心知识点：一是整个圆周对应的圆心角为周角360°；二是同圆中弧的度数等于它所对圆心角的度数，因此弦分圆得到的两段弧的度数比等于对应圆心角的比。题目中1:5是两段弧的占比，劣弧是较短的弧，对应占比为1份，总份数为1+5=6份，用总圆心角乘以劣弧的占比即可求出对应圆心角度数。
【解析】
∵ 整个圆的周角为360°，同圆中弧的度数等于其所对圆心角的度数，
∴ 弦分圆得到的两段弧所对的圆心角之比为1:5，
劣弧为占比更小的弧，其对应的占比为$\frac{1}{1+5}$，
因此劣弧所对的圆心角为：$360° × \frac{1}{1+5}=60°$。【答案】60°
【知识点】
弧与圆心角的关系
周角定义
比例计算
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，解题的核心是掌握弧的度数与对应圆心角度数的等量关系，结合比例计算即可得出结果，解题时需注意区分劣弧与优弧的占比，避免算反。
【难度系数】
0.9
4. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=50°，则∠OBC=
40°
.(填度数)答案
4. $40°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察图形，∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理可先求出∠BOC的度数；再结合OB、OC都是⊙O的半径，可知△OBC是等腰三角形，最后利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，即可求出∠OBC的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴根据圆周角定理，∠BOC = 2∠BAC = 2×50° = 100°
又
∵OB、OC均为⊙O的半径，
∴OB = OC
∴△OBC为等腰三角形，∠OBC = ∠OCB
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OBC = (180° - ∠BOC)÷2 = (180° - 100°)÷2 = 40°
【答案】
40°
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆相关的基础常考题，将圆周角定理和等腰三角形的性质结合考察，解题关键是找到同弧所对的圆周角和圆心角的对应关系，熟练掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先观察图形，∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理可先求出∠BOC的度数；再结合OB、OC都是⊙O的半径，可知△OBC是等腰三角形，最后利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，即可求出∠OBC的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角
∴根据圆周角定理，∠BOC = 2∠BAC = 2×50° = 100°
又
∵OB、OC均为⊙O的半径，
∴OB = OC
∴△OBC为等腰三角形，∠OBC = ∠OCB
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OBC = (180° - ∠BOC)÷2 = (180° - 100°)÷2 = 40°
【答案】
40°
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆相关的基础常考题，将圆周角定理和等腰三角形的性质结合考察，解题关键是找到同弧所对的圆周角和圆心角的对应关系，熟练掌握基础定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在$\odot O$中，直径$AB=6$，$BC$是$\odot O$的弦. 若$∠ B=60°$，则$\overset{\frown}{AC}$的长为 （
A.$6π$
B.$4π$
C.$2π$
D.$π$
C
）A.$6π$
B.$4π$
C.$2π$
D.$π$
答案
5. C
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{AC}$的长度，需用到弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为弧所对圆心角的度数，$R$为圆的半径），因此解题分两步走：第一步先确定圆的半径，由直径$AB=6$可直接得出半径$R=3$；第二步求$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，可通过连接$OC$，利用等腰三角形性质或圆周角定理求出圆心角的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
连接$OC$：
1. 求圆的半径：
因为$AB$是$\odot O$的直径，$AB=6$，所以$\odot O$的半径$R=\frac{AB}{2}=3$。
2. 求$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角：
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ B$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，因此$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角$∠ AOC=2∠ B=2×60°=120°$。
3. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{120×π×3}{180}=2π$。
【答案】
C
【知识点】
弧长的计算；圆周角定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关的基础计算题，核心考点是弧长公式的应用，解题的关键是结合圆的性质准确求出对应弧的圆心角和圆的半径，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
要计算$\overset{\frown}{AC}$的长度，需用到弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（$n$为弧所对圆心角的度数，$R$为圆的半径），因此解题分两步走：第一步先确定圆的半径，由直径$AB=6$可直接得出半径$R=3$；第二步求$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，可通过连接$OC$，利用等腰三角形性质或圆周角定理求出圆心角的度数，最后代入公式计算即可。
【解析】
连接$OC$：
1. 求圆的半径：
因为$AB$是$\odot O$的直径，$AB=6$，所以$\odot O$的半径$R=\frac{AB}{2}=3$。
2. 求$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角：
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ B$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，因此$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角$∠ AOC=2∠ B=2×60°=120°$。
3. 代入弧长公式计算：
$l_{\overset{\frown}{AC}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{120×π×3}{180}=2π$。
【答案】
C
【知识点】
弧长的计算；圆周角定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关的基础计算题，核心考点是弧长公式的应用，解题的关键是结合圆的性质准确求出对应弧的圆心角和圆的半径，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
6. 已知扇形面积为 $12π$，半径为6，求扇形的弧长。
答案
6. $4π$
解析
【分析】
拿到题目先梳理已知条件：扇形面积为12π，半径为6，要求的未知量是扇形弧长。我们学过扇形面积有两个常用公式：①$S=\frac{nπ R^2}{360}$（n为圆心角度数，R为半径）；②$S=\frac{1}{2}lR$（l为弧长，R为半径）。公式②直接关联了已知的面积、半径和未知的弧长，所以优先选择公式②求解，代入已知数值解方程即可得到弧长；如果只记得公式①，也可以先通过公式①算出圆心角n，再代入弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$求解，两种方法均可行，前者计算更简便。
【解析】
解：设扇形的弧长为$l$，已知扇形面积$S=12π$，半径$R=6$。
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$，代入已知数值得：
$12π=\frac{1}{2}× l×6$
化简得：$3l=12π$
解得：$l=4π$
（补充方法：若先求圆心角，由$S=\frac{nπ R^2}{360}$，代入得$12π=\frac{nπ×6^2}{360}$，解得$n=120°$，再代入弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{120π×6}{180}=4π$，结果一致）
【答案】
$4π$
【知识点】
扇形面积公式；扇形弧长计算
【点评】
本题是扇形相关计算的基础题型，重点考察对扇形公式的灵活运用能力，选择适配已知和未知条件的公式可以大幅简化计算步骤，这类基础计算是解决扇形综合题的前提，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
拿到题目先梳理已知条件：扇形面积为12π，半径为6，要求的未知量是扇形弧长。我们学过扇形面积有两个常用公式：①$S=\frac{nπ R^2}{360}$（n为圆心角度数，R为半径）；②$S=\frac{1}{2}lR$（l为弧长，R为半径）。公式②直接关联了已知的面积、半径和未知的弧长，所以优先选择公式②求解，代入已知数值解方程即可得到弧长；如果只记得公式①，也可以先通过公式①算出圆心角n，再代入弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$求解，两种方法均可行，前者计算更简便。
【解析】
解：设扇形的弧长为$l$，已知扇形面积$S=12π$，半径$R=6$。
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lR$，代入已知数值得：
$12π=\frac{1}{2}× l×6$
化简得：$3l=12π$
解得：$l=4π$
（补充方法：若先求圆心角，由$S=\frac{nπ R^2}{360}$，代入得$12π=\frac{nπ×6^2}{360}$，解得$n=120°$，再代入弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}=\frac{120π×6}{180}=4π$，结果一致）
【答案】
$4π$
【知识点】
扇形面积公式；扇形弧长计算
【点评】
本题是扇形相关计算的基础题型，重点考察对扇形公式的灵活运用能力，选择适配已知和未知条件的公式可以大幅简化计算步骤，这类基础计算是解决扇形综合题的前提，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
7. 有一直径为$\sqrt{2}$ m的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心角是$90°$的扇形ABC（如图）.
(1)求被剪掉的阴影部分的面积；
(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r是多少？
(3)求(2)中圆锥的全面积.
(1)求被剪掉的阴影部分的面积；
(2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r是多少？
(3)求(2)中圆锥的全面积.
答案
7. (1)$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{π}{4}\ \mathrm{m}^2$ (2)$r=\frac{1}{4}\ \mathrm{m}$ (3)$S_{\mathrm{全}}=\frac{5}{16}π\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
解题前先明确已知条件：圆O直径为$\sqrt{2}$ m，扇形ABC圆心角为$90°$且是能剪出的最大扇形。
(1) 求阴影面积思路：阴影面积=圆的总面积 - 扇形ABC的面积。首先利用$90°$圆周角对应的弦为直径，得出BC是圆O的直径，再通过等腰直角三角形ABC求出扇形半径AB的长度，分别计算圆面积和扇形面积作差即可。
(2) 求圆锥底面半径思路：扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先算出扇形弧长，再结合圆周长公式列方程求解r。
(3) 求圆锥全面积思路：圆锥全面积=侧面积（即扇形ABC的面积）+ 底面圆的面积，代入对应数值计算即可。
【解析】
已知圆O的直径为$\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，因此圆O的半径$R=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{m}$。
因为$∠ BAC=90°$，且扇形ABC是圆内最大的$90°$圆心角扇形，所以BC为圆O的直径，即$BC=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=AC$，由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2AB^2=(\sqrt{2})^2$，解得$AB=1\ \mathrm{m}$，即扇形ABC的半径为$1\ \mathrm{m}$。
(1) 计算阴影部分面积：
圆O的面积$S_{\mathrm{圆}}=π R^2=π×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{π}{2}\ \mathrm{m}^2$
扇形ABC的面积$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{90°}{360°}×π× AB^2=\frac{1}{4}×π×1^2=\frac{π}{4}\ \mathrm{m}^2$
因此$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{圆}}-S_{\mathrm{扇形}}=\frac{π}{2}-\frac{π}{4}=\frac{π}{4}\ \mathrm{m}^2$
(2) 计算圆锥底面半径r：
扇形ABC的弧长$l=\frac{90°}{180°}×π× AB=\frac{1}{2}×π×1=\frac{π}{2}\ \mathrm{m}$
因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，所以$2π r=l=\frac{π}{2}$
解得$r=\frac{1}{4}\ \mathrm{m}$
(3) 计算圆锥全面积：
圆锥的侧面积就是扇形ABC的面积$\frac{π}{4}\ \mathrm{m}^2$，
圆锥的底面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×(\frac{1}{4})^2=\frac{π}{16}\ \mathrm{m}^2$
因此$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=\frac{π}{4}+\frac{π}{16}=\frac{5π}{16}\ \mathrm{m}^2$
【答案】
(1) $\frac{π}{4}\ \mathrm{m}^2$
(2) $\frac{1}{4}\ \mathrm{m}$
(3) $\frac{5}{16}π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
扇形弧长与面积计算；圆锥与扇形的关系；圆的基本性质
【点评】
本题综合考查了圆、扇形、圆锥的相关计算，核心是明确扇形围圆锥时弧长与底面周长的对应关系，各步骤衔接紧密，有利于巩固几何图形的面积、周长计算公式。
【难度系数】
0.7
解题前先明确已知条件：圆O直径为$\sqrt{2}$ m，扇形ABC圆心角为$90°$且是能剪出的最大扇形。
(1) 求阴影面积思路：阴影面积=圆的总面积 - 扇形ABC的面积。首先利用$90°$圆周角对应的弦为直径，得出BC是圆O的直径，再通过等腰直角三角形ABC求出扇形半径AB的长度，分别计算圆面积和扇形面积作差即可。
(2) 求圆锥底面半径思路：扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先算出扇形弧长，再结合圆周长公式列方程求解r。
(3) 求圆锥全面积思路：圆锥全面积=侧面积（即扇形ABC的面积）+ 底面圆的面积，代入对应数值计算即可。
【解析】
已知圆O的直径为$\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，因此圆O的半径$R=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \mathrm{m}$。
因为$∠ BAC=90°$，且扇形ABC是圆内最大的$90°$圆心角扇形，所以BC为圆O的直径，即$BC=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=AC$，由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，即$2AB^2=(\sqrt{2})^2$，解得$AB=1\ \mathrm{m}$，即扇形ABC的半径为$1\ \mathrm{m}$。
(1) 计算阴影部分面积：
圆O的面积$S_{\mathrm{圆}}=π R^2=π×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{π}{2}\ \mathrm{m}^2$
扇形ABC的面积$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{90°}{360°}×π× AB^2=\frac{1}{4}×π×1^2=\frac{π}{4}\ \mathrm{m}^2$
因此$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{圆}}-S_{\mathrm{扇形}}=\frac{π}{2}-\frac{π}{4}=\frac{π}{4}\ \mathrm{m}^2$
(2) 计算圆锥底面半径r：
扇形ABC的弧长$l=\frac{90°}{180°}×π× AB=\frac{1}{2}×π×1=\frac{π}{2}\ \mathrm{m}$
因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，所以$2π r=l=\frac{π}{2}$
解得$r=\frac{1}{4}\ \mathrm{m}$
(3) 计算圆锥全面积：
圆锥的侧面积就是扇形ABC的面积$\frac{π}{4}\ \mathrm{m}^2$，
圆锥的底面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×(\frac{1}{4})^2=\frac{π}{16}\ \mathrm{m}^2$
因此$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=\frac{π}{4}+\frac{π}{16}=\frac{5π}{16}\ \mathrm{m}^2$
【答案】
(1) $\frac{π}{4}\ \mathrm{m}^2$
(2) $\frac{1}{4}\ \mathrm{m}$
(3) $\frac{5}{16}π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
扇形弧长与面积计算；圆锥与扇形的关系；圆的基本性质
【点评】
本题综合考查了圆、扇形、圆锥的相关计算，核心是明确扇形围圆锥时弧长与底面周长的对应关系，各步骤衔接紧密，有利于巩固几何图形的面积、周长计算公式。
【难度系数】
0.7
