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一个扇形的弧长是20π cm，面积是240π cm²，
则这个扇形的圆心角度数为 。

$150°$

【分析】
解题时先梳理已知条件：已知扇形弧长和面积，需求圆心角。首先回忆扇形相关公式：扇形面积有两种表达形式，分别为$S=\frac{1}{2}lr$（$l$为弧长，$r$为半径）、$S=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数），弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$。第一步可先用$S=\frac{1}{2}lr$求出半径$r$，再将$r$代入弧长公式即可求出圆心角$n$。
【解析】
设扇形的半径为$r\ \mathrm{cm}$，圆心角为$n°$。
1. 求半径$r$：
根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$，将$S=240π$、$l=20π$代入得：
$240π=\frac{1}{2}×20π× r$
化简得$240π=10π r$，两边同时除以$π$，解得$r=24\ \mathrm{cm}$。
2. 求圆心角$n$：
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，将$l=20π$、$r=24$代入得：
$20π=\frac{nπ×24}{180}$
两边同时约去$π$，化简得$20=\frac{24n}{180}$，解得$n=\frac{20×180}{24}=150$。
【答案】
$150°$
【知识点】
弧长计算公式；扇形面积计算公式
【点评】
本题属于扇形公式的基础应用类题型，核心考查对弧长、扇形面积公式的掌握程度，解题关键是先通过弧长和面积的关联公式求出半径，再代入公式求解圆心角，计算过程简单，熟记公式即可得分。
【难度系数】
0.7

交流总结
求阴影部分面积的常用方法有哪几种？
课时小结
请根据本课所学，构建知识体系。
弧长的计算公式
扇形的面积公式
扇形的定义
求阴影部分面积的方法
（1）公式法；
（2）法；
（3）等积变形法

解：求阴影部分面积的常用方法有以下三种.
(1)公式法：所求图形是规则图形，如扇形、特殊四边形等，可直接套用公式计算.
(2)和差法：所求图形不是规则图形，可通过转化成规则图形的面积的和或差计算.
(3)等积变形法：无法直接求解或求解较麻烦时，可通过对图形的平移、旋转、割补等手段，化不规则图形为规则图形，再应用公式法或和差法求解.

【分析】
本题考查求阴影部分面积的常用方法分类，解题时可结合三类方法的适用场景梳理思路：①若阴影是规则图形（如扇形、特殊四边形等），直接套用对应面积公式，即题干给出的公式法；②若阴影是不规则图形，可先拆分或拼接为几个规则图形的加、减组合，这类方法就是待填写的第二类方法；③若上述两种方法求解较麻烦，可通过平移、旋转、割补等方式转化为易计算的等面积图形，即题干给出的等积变形法，由此可确定第二类方法的名称。
【解析】
求阴影部分面积的常用方法共3类：
（1）公式法：所求阴影为规则图形（如扇形、特殊四边形、圆等）时，可直接代入对应面积公式计算。
（2）和差法：所求阴影为不规则图形时，可将其转化为若干个规则图形的面积和或差进行计算。
（3）等积变形法：直接求解难度较大时，可通过平移、旋转、割补等操作，将不规则阴影转化为易计算的规则图形，再结合公式法或和差法计算。
因此空缺处应填“和差”。
【答案】
和差
【知识点】
1. 阴影面积计算方法
2. 和差法求面积
3. 等积变形法求面积
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对几何阴影面积常用求解方法的掌握，熟练掌握这三类方法是解决各类阴影面积计算问题的核心基础。
【难度系数】
0.8

探究1:如图,从面动成体的角度看,圆锥是如何形成的?它由哪几部分围成?

圆锥可看作由一个直角三角形绕其某一直角边旋转一周形成的图形. 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体.

【分析】
解题时先结合“面动成体”的基本原理思考：首先回忆常见旋转体对应的原始平面图形，圆锥属于旋转体，对应的平面图形是直角三角形；再判断旋转轴的选择，若绕直角三角形的斜边旋转会得到两个同底圆锥的组合体，只有绕其中一条直角边旋转一周时，才能得到单个圆锥；最后区分圆锥的组成部分，判断旋转过程中不同边形成的面，即可得出圆锥的围成结构。
【解析】
从面动成体的角度分析：将一个直角三角形绕它的其中一条直角边所在直线旋转一周，运动后形成的立体图形就是圆锥。
分析其围成部分：旋转过程中，直角三角形的另一条直角边旋转形成圆形的平面，为圆锥的底面；直角三角形的斜边旋转形成曲面，为圆锥的侧面，因此圆锥由1个底面和1个侧面两部分围成。
【答案】
圆锥可看作由一个直角三角形绕其某一直角边旋转一周形成的图形. 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体.
【知识点】
面动成体；圆锥的形成；圆锥的构成
【点评】
本题属于基础概念考查题，围绕圆锥的基础定义设置，掌握好圆锥的形成原理和基本组成，是后续学习圆锥侧面积、全面积计算的前提。
【难度系数】
0.9

探究2：如图，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线叫作圆锥的母线，则
圆锥有条母线，它们都.
从圆锥的顶点到圆锥之间的距离是圆锥的高.

新知生成：如果用r表示圆锥底面圆的半径，h表示圆锥的高，l表示圆锥的母线长，那么r，h，l之间的数量关系是.

圆锥有无数条母线，它们都相等。从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高。r，h，l之间的数量关系是$r^2+h^2=l^2$。

【分析】
解题时可结合圆锥的特征和几何定理逐步推导：1. 结合母线定义，底面圆周上有无数个点，每个点与顶点的连线都是母线，可判断母线的数量；再根据圆锥是旋转体的特征，判断母线的长度关系。2. 圆锥的高是顶点向底面作的垂线段，垂足为底面圆心，据此补全高的定义。3. 观察图形可知，圆锥的高、底面半径、母线构成直角三角形，母线为斜边，结合勾股定理即可推导三者的数量关系。
【解析】
1. 根据母线的定义，连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线是母线，底面圆周上有无数个点，因此圆锥有无数条母线；圆锥可看作直角三角形绕一条直角边旋转一周得到的旋转体，所有母线都是旋转前的斜边旋转得到的，因此所有母线长度都相等。
2. 从圆锥顶点向底面作垂线，垂足为底面圆心，因此圆锥的高是顶点到圆锥底面圆心之间的距离。
3. 图中圆锥的高$h$、底面半径$r$、母线$l$构成直角三角形，其中$l$为斜边，根据勾股定理可得$r^2+h^2=l^2$。
【答案】
无数；相等；底面圆心；$r^2+h^2=l^2$
【知识点】
圆锥的基本概念；勾股定理
【点评】
本题是圆锥相关知识的基础考查题，熟练掌握圆锥的定义和性质即可快速解答，相关结论是后续学习圆锥侧面积、全面积计算的核心基础。
【难度系数】
0.9

根据下列条件求值(其中r，h，l分别是圆锥的底面圆的半径、高、母线长)：
(1)$l=2$，$r=1$，则$h=$；
(2)$h=3$，$r=4$，则$l=$；
(3)$l=10$，$h=8$，则$r=$。

(1)$\sqrt{3}$；(2)5；(3)6

【分析】
圆锥的母线长$l$、底面半径$r$、高$h$可构成直角三角形，其中母线$l$为斜边，$r$和$h$为两条直角边，满足勾股定理$l^2=r^2+h^2$。已知三个量中的任意两个，只需将勾股公式变形后代入对应数值即可求出第三个量：求$h$用$h=\sqrt{l^2-r^2}$，求$l$用$l=\sqrt{r^2+h^2}$，求$r$用$r=\sqrt{l^2-h^2}$。
【解析】
解：根据圆锥的结构特征，底面半径$r$、高$h$、母线长$l$满足勾股定理：$l^2=r^2+h^2$
(1) 当$l=2$，$r=1$时，$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$
(2) 当$h=3$，$r=4$时，$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$
(3) 当$l=10$，$h=8$时，$r=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$
【答案】
(1)$\sqrt{3}$；(2)5；(3)6
【知识点】
圆锥的结构特征、勾股定理的应用
【点评】
本题是基础运算题，核心考查圆锥三个核心量的数量关系，只要明确三者构成直角三角形的规律，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9