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3. 已知点$A(-1,y_1)$，$B(-2,y_2)$，$C(-4,y_3)$在抛物线$y=2x^2+8x-1$上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_2＜y_3＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
D
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_2＜y_3＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
答案
3.D
解析
【分析】
要比较抛物线上三个点的纵坐标大小，有两种常用解题思路：思路1：先确定抛物线的开口方向和对称轴，对于开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，先计算对称轴，再分别求三个点到对称轴的距离即可快速比较y值大小，计算量较小；思路2：直接将三个点的横坐标代入抛物线解析式，算出对应的y₁、y₂、y₃的值后直接比较，更易理解，适合基础较弱的同学。
【解析】
方法一：利用二次函数性质解题
对于二次函数$y=2x^2+8x-1$，$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，在对称轴处取得最小值。
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=2、b=8$得：$x=-\frac{8}{2×2}=-2$，即点B在抛物线顶点处，因此$y_2$最小。
分别计算A、C两点到对称轴$x=-2$的距离：
点A到对称轴的距离：$|-1 - (-2)|=1$
点C到对称轴的距离：$|-4 - (-2)|=2$
开口向上的抛物线，点距离对称轴越远函数值越大，因为$2＞1$，所以$y_3＞y_1$。
综上可得$y_2＜y_1＜y_3$，故选D。
方法二：代入求值法
将三个点的横坐标分别代入解析式计算y值：
$y_1=2×(-1)^2+8×(-1)-1=2-8-1=-7$
$y_2=2×(-2)^2+8×(-2)-1=8-16-1=-9$
$y_3=2×(-4)^2+8×(-4)-1=32-32-1=-1$
因为$-9＜-7＜-1$，所以$y_2＜y_1＜y_3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质、二次函数对称轴计算、函数值大小比较
【点评】
本题考查二次函数相关知识的应用，两种解题方法中，利用二次函数增减性和对称性比较的方法计算量更小、解题效率更高，熟练掌握抛物线开口方向、对称轴与函数值的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要比较抛物线上三个点的纵坐标大小，有两种常用解题思路：思路1：先确定抛物线的开口方向和对称轴，对于开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，先计算对称轴，再分别求三个点到对称轴的距离即可快速比较y值大小，计算量较小；思路2：直接将三个点的横坐标代入抛物线解析式，算出对应的y₁、y₂、y₃的值后直接比较，更易理解，适合基础较弱的同学。
【解析】
方法一：利用二次函数性质解题
对于二次函数$y=2x^2+8x-1$，$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，在对称轴处取得最小值。
根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=2、b=8$得：$x=-\frac{8}{2×2}=-2$，即点B在抛物线顶点处，因此$y_2$最小。
分别计算A、C两点到对称轴$x=-2$的距离：
点A到对称轴的距离：$|-1 - (-2)|=1$
点C到对称轴的距离：$|-4 - (-2)|=2$
开口向上的抛物线，点距离对称轴越远函数值越大，因为$2＞1$，所以$y_3＞y_1$。
综上可得$y_2＜y_1＜y_3$，故选D。
方法二：代入求值法
将三个点的横坐标分别代入解析式计算y值：
$y_1=2×(-1)^2+8×(-1)-1=2-8-1=-7$
$y_2=2×(-2)^2+8×(-2)-1=8-16-1=-9$
$y_3=2×(-4)^2+8×(-4)-1=32-32-1=-1$
因为$-9＜-7＜-1$，所以$y_2＜y_1＜y_3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质、二次函数对称轴计算、函数值大小比较
【点评】
本题考查二次函数相关知识的应用，两种解题方法中，利用二次函数增减性和对称性比较的方法计算量更小、解题效率更高，熟练掌握抛物线开口方向、对称轴与函数值的对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 在平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，现给出以下结论：①$abc＜0$；②$c+2a＜0$；③$9a-3b+c=0$；④$a-b≥ m(am+b)$（$m$为实数）；⑤$b^2-4ac＞0$。其中正确的结论有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先从二次函数图像提取关键信息：①由开口方向确定a的符号；②由对称轴公式推导a和b的数量关系；③由与y轴交点确定c的符号；④由x轴交点和对称轴推导另一个交点坐标。再结合二次函数的性质逐一验证5个结论即可。
【解析】
1. 推导系数符号与关系：
抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
对称轴为直线$x=-1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a＞0$；
抛物线与y轴交于x轴下方，
∴$c＜0$；
抛物线过点$(1,0)$，代入解析式得$a+b+c=0$，将$b=2a$代入得$3a+c=0$，即$c=-3a$。
2. 逐一判断结论：
①$abc＜0$：$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$，三者乘积为负，①正确；
②$c+2a＜0$：将$c=-3a$代入得$c+2a=-3a+2a=-a$，
∵$a＞0$，
∴$-a＜0$，②正确；
③$9a-3b+c=0$：点$(1,0)$关于对称轴$x=-1$的对称点为$(-3,0)$，即$x=-3$时$y=0$，代入解析式得$9a-3b+c=0$，③正确；
④$a-b≥ m(am+b)$（m为实数）：抛物线开口向上，$x=-1$时函数取最小值，
∴对任意实数m，$am²+bm+c ≥ a·(-1)² +b·(-1)+c$，化简得$am²+bm ≥ a-b$，即$a-b ≤ m(am+b)$，故④错误；
⑤$b²-4ac＞0$：抛物线与x轴有2个交点，
∴判别式$b²-4ac＞0$，⑤正确。
综上，正确的结论共4个。
【答案】D
【知识点】
二次函数图像与系数的关系，二次函数的最值，抛物线与x轴的交点
【点评】
本题是二次函数图像性质的综合应用题，需要熟练掌握系数与图像特征的对应关系，结合对称性、最值等性质判断结论，是二次函数章节的典型考法。
【难度系数】
0.65
解题时首先从二次函数图像提取关键信息：①由开口方向确定a的符号；②由对称轴公式推导a和b的数量关系；③由与y轴交点确定c的符号；④由x轴交点和对称轴推导另一个交点坐标。再结合二次函数的性质逐一验证5个结论即可。
【解析】
1. 推导系数符号与关系：
抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
对称轴为直线$x=-1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a＞0$；
抛物线与y轴交于x轴下方，
∴$c＜0$；
抛物线过点$(1,0)$，代入解析式得$a+b+c=0$，将$b=2a$代入得$3a+c=0$，即$c=-3a$。
2. 逐一判断结论：
①$abc＜0$：$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$，三者乘积为负，①正确；
②$c+2a＜0$：将$c=-3a$代入得$c+2a=-3a+2a=-a$，
∵$a＞0$，
∴$-a＜0$，②正确；
③$9a-3b+c=0$：点$(1,0)$关于对称轴$x=-1$的对称点为$(-3,0)$，即$x=-3$时$y=0$，代入解析式得$9a-3b+c=0$，③正确；
④$a-b≥ m(am+b)$（m为实数）：抛物线开口向上，$x=-1$时函数取最小值，
∴对任意实数m，$am²+bm+c ≥ a·(-1)² +b·(-1)+c$，化简得$am²+bm ≥ a-b$，即$a-b ≤ m(am+b)$，故④错误；
⑤$b²-4ac＞0$：抛物线与x轴有2个交点，
∴判别式$b²-4ac＞0$，⑤正确。
综上，正确的结论共4个。
【答案】D
【知识点】
二次函数图像与系数的关系，二次函数的最值，抛物线与x轴的交点
【点评】
本题是二次函数图像性质的综合应用题，需要熟练掌握系数与图像特征的对应关系，结合对称性、最值等性质判断结论，是二次函数章节的典型考法。
【难度系数】
0.65
5. 已知$y=(m+1)x^{m^2+1}+2x-3$是二次函数，则$m$的值为（
A.0
B.1
C.-1
D.1或-1
B
）A.0
B.1
C.-1
D.1或-1
答案
5.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数叫做二次函数。因此判定一个函数是二次函数需要同时满足两个条件：第一，最高次项的次数为2；第二，二次项的系数不能为0。我们先根据次数要求列方程求出$m$的可能取值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2：
$m^2+1=2$
移项得$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0：
$m+1≠0$，解得$m≠-1$
结合两个条件，排除$m=-1$，最终得$m=1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义、一元二次方程求解、不等式的应用
【点评】
本题属于二次函数定义的基础考查题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，误选D选项，解题时只要同时满足次数为2、二次项系数不为0两个限定条件，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数叫做二次函数。因此判定一个函数是二次函数需要同时满足两个条件：第一，最高次项的次数为2；第二，二次项的系数不能为0。我们先根据次数要求列方程求出$m$的可能取值，再根据系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，需同时满足以下两个条件：
1. 最高次项的次数为2：
$m^2+1=2$
移项得$m^2=1$，解得$m=1$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0：
$m+1≠0$，解得$m≠-1$
结合两个条件，排除$m=-1$，最终得$m=1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义、一元二次方程求解、不等式的应用
【点评】
本题属于二次函数定义的基础考查题，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，误选D选项，解题时只要同时满足次数为2、二次项系数不为0两个限定条件，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.7
6. 在同一平面直角坐标系中,一次函数$y=ax+b$和二次函数$y=ax^2+bx$的图象可能是（
A
）答案
6.A
解析
【分析】
解决这类同一坐标系中两个函数图象共存的问题，核心是两个函数中相同字母的系数符号必须一致。首先可以先利用二次函数解析式的特征快速排除部分选项：二次函数$y=ax^2+bx$的常数项为0，因此抛物线一定经过坐标原点，先排除不符合该特征的选项；再对剩余选项，先从一次函数图象判断$a$、$b$的符号，再验证二次函数的开口方向、对称轴位置是否和该$a$、$b$符号匹配，一致的就是正确选项。
【解析】
步骤1：先分析二次函数的特征：
对于二次函数$y=ax^2+bx$，当$x=0$时，$y=0$，因此抛物线必然经过原点，观察选项，B、C中抛物线均不经过原点，直接排除B、C。
步骤2：分析剩余选项A、D：
① 看选项A：一次函数$y=ax+b$的图象过第一、三、四象限，因此一次项系数$a＞0$，常数项$b＜0$。
对应二次函数：$a＞0$，抛物线开口向上，符合A中抛物线特征；二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a＞0$、$b＜0$，得$x=-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴在$y$轴右侧，也符合A中抛物线特征，因此A正确。
② 看选项D：一次函数$y=ax+b$的图象过第一、二、三象限，因此$a＞0$，$b＞0$。对应二次函数若$a＞0$，开口应向上，但D中抛物线开口向下，$a＜0$，二者矛盾，排除D。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题关键是抓住两个函数共有系数的符号一致性，结合二次函数过原点的特殊性质，用排除法可快速得出答案，能有效考查对函数图象性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解决这类同一坐标系中两个函数图象共存的问题，核心是两个函数中相同字母的系数符号必须一致。首先可以先利用二次函数解析式的特征快速排除部分选项：二次函数$y=ax^2+bx$的常数项为0，因此抛物线一定经过坐标原点，先排除不符合该特征的选项；再对剩余选项，先从一次函数图象判断$a$、$b$的符号，再验证二次函数的开口方向、对称轴位置是否和该$a$、$b$符号匹配，一致的就是正确选项。
【解析】
步骤1：先分析二次函数的特征：
对于二次函数$y=ax^2+bx$，当$x=0$时，$y=0$，因此抛物线必然经过原点，观察选项，B、C中抛物线均不经过原点，直接排除B、C。
步骤2：分析剩余选项A、D：
① 看选项A：一次函数$y=ax+b$的图象过第一、三、四象限，因此一次项系数$a＞0$，常数项$b＜0$。
对应二次函数：$a＞0$，抛物线开口向上，符合A中抛物线特征；二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a＞0$、$b＜0$，得$x=-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴在$y$轴右侧，也符合A中抛物线特征，因此A正确。
② 看选项D：一次函数$y=ax+b$的图象过第一、二、三象限，因此$a＞0$，$b＞0$。对应二次函数若$a＞0$，开口应向上，但D中抛物线开口向下，$a＜0$，二者矛盾，排除D。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题关键是抓住两个函数共有系数的符号一致性，结合二次函数过原点的特殊性质，用排除法可快速得出答案，能有效考查对函数图象性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
7.已知二次函数$y=ax^2 -2ax +a +2(a≠0)$，若$-1≤x≤2$时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（
A.$\pm\frac{4}{3}$
B.$\pm1$
C.$-1$或$-\frac{4}{3}$
D.$1$或$\frac{4}{3}$
B
）A.$\pm\frac{4}{3}$
B.$\pm1$
C.$-1$或$-\frac{4}{3}$
D.$1$或$\frac{4}{3}$
答案
7.B
解析
【分析】
首先将二次函数解析式化为顶点式，确定对称轴为$x=1$，且对称轴落在给定区间$[-1,2]$内。二次函数的最值由开口方向决定，因此需要分$a＞0$（开口向上）和$a＜0$（开口向下）两种情况讨论，分别找到区间内的最大值和最小值，再根据最值差为4列方程求解$a$的值。
【解析】
先化简二次函数解析式：
$y=ax^2 -2ax +a +2 = a(x^2-2x+1)+2 = a(x-1)^2 +2$
∴该二次函数的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,2)$，且$-1≤1≤2$，对称轴在给定区间内。
① 当$a＞0$时，抛物线开口向上：
区间内最小值为顶点纵坐标，即$y_{\mathrm{min}}=2$；
离对称轴$x=1$最远的端点为$x=-1$，代入得最大值：
$y_{\mathrm{max}}=a×(-1-1)^2 +2=4a+2$
由最值差为4得：$(4a+2)-2=4$，解得$a=1$，符合$a＞0$。
② 当$a＜0$时，抛物线开口向下：
区间内最大值为顶点纵坐标，即$y_{\mathrm{max}}=2$；
最小值在离对称轴最远的端点$x=-1$处，代入得：
$y_{\mathrm{min}}=4a+2$
由最值差为4得：$2-(4a+2)=4$，解得$a=-1$，符合$a＜0$。
综上，$a$的值为$\pm1$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数区间最值；分类讨论
【点评】
本题核心是结合二次函数开口方向和对称轴位置判断闭区间内的最值，解题时需注意分类讨论开口方向，避免因漏考虑$a$的符号导致漏解。
【难度系数】
0.65
首先将二次函数解析式化为顶点式，确定对称轴为$x=1$，且对称轴落在给定区间$[-1,2]$内。二次函数的最值由开口方向决定，因此需要分$a＞0$（开口向上）和$a＜0$（开口向下）两种情况讨论，分别找到区间内的最大值和最小值，再根据最值差为4列方程求解$a$的值。
【解析】
先化简二次函数解析式：
$y=ax^2 -2ax +a +2 = a(x^2-2x+1)+2 = a(x-1)^2 +2$
∴该二次函数的对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,2)$，且$-1≤1≤2$，对称轴在给定区间内。
① 当$a＞0$时，抛物线开口向上：
区间内最小值为顶点纵坐标，即$y_{\mathrm{min}}=2$；
离对称轴$x=1$最远的端点为$x=-1$，代入得最大值：
$y_{\mathrm{max}}=a×(-1-1)^2 +2=4a+2$
由最值差为4得：$(4a+2)-2=4$，解得$a=1$，符合$a＞0$。
② 当$a＜0$时，抛物线开口向下：
区间内最大值为顶点纵坐标，即$y_{\mathrm{max}}=2$；
最小值在离对称轴最远的端点$x=-1$处，代入得：
$y_{\mathrm{min}}=4a+2$
由最值差为4得：$2-(4a+2)=4$，解得$a=-1$，符合$a＜0$。
综上，$a$的值为$\pm1$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数区间最值；分类讨论
【点评】
本题核心是结合二次函数开口方向和对称轴位置判断闭区间内的最值，解题时需注意分类讨论开口方向，避免因漏考虑$a$的符号导致漏解。
【难度系数】
0.65
8. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2+b$的图象经过正方形ABOC的顶点A,B,C,且A点为顶点,将该抛物线平移,使其顶点为C点,则平移后抛物线对应的函数解析式为 (
A.$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2$
B.$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2+2$
C.$y=2(x+2)^2-2$
D.$y=2(x-2)^2+2$
A
)A.$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2$
B.$y=-\dfrac{1}{2}(x+2)^2+2$
C.$y=2(x+2)^2-2$
D.$y=2(x-2)^2+2$
答案
8.A
解析
【分析】
解题思路：首先根据二次函数解析式确定顶点A的坐标，再结合正方形对角线相等且互相垂直平分的性质，表示出点C的坐标，将点C坐标代入原二次函数解析式求出b的值，即可得到点C的坐标，最后根据二次函数平移时二次项系数不变，利用顶点式写出平移后的函数解析式。
思考步骤：①先明确二次函数$y=ax^2+k$的顶点在y轴上，得$A(0,b)$；②利用正方形ABOC的对角线AO、BC的性质，推导C点坐标和b的关系；③代入解析式求b，得到C点坐标；④根据平移后顶点为C，写出顶点式解析式。
【解析】
1. 求点A坐标：二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2+b$的顶点在y轴上，因此顶点A的坐标为$(0,b)$，线段$OA$的长度为$b$。
2. 推导点C坐标：因为四边形ABOC是正方形，正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线$OA$竖直，因此另一条对角线$BC$水平，且$BC=OA=b$，$BC$的中点为$OA$的中点$(0,\dfrac{b}{2})$，因此点C的坐标为$(\dfrac{b}{2},\dfrac{b}{2})$。
3. 求b的值：将点C$(\dfrac{b}{2},\dfrac{b}{2})$代入原二次函数解析式，得：
$\dfrac{b}{2}=-\dfrac{1}{2}× (\dfrac{b}{2})^2 + b$
整理得：$\dfrac{b}{2}=-\dfrac{b^2}{8}+b$，移项化简得$b^2-4b=0$，解得$b=4$（$b=0$不符合题意舍去）。
4. 求平移后解析式：由$b=4$得点C坐标为$(2,2)$，抛物线平移时二次项系数不变，因此平移后顶点为$(2,2)$的抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的平移；正方形的性质
【点评】
本题综合考查了正方形的性质和二次函数的平移规律，解题的关键是利用正方形对角线的性质建立点C坐标与参数b的关系，求出参数b后结合平移不改变二次项系数的特点即可求解。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据二次函数解析式确定顶点A的坐标，再结合正方形对角线相等且互相垂直平分的性质，表示出点C的坐标，将点C坐标代入原二次函数解析式求出b的值，即可得到点C的坐标，最后根据二次函数平移时二次项系数不变，利用顶点式写出平移后的函数解析式。
思考步骤：①先明确二次函数$y=ax^2+k$的顶点在y轴上，得$A(0,b)$；②利用正方形ABOC的对角线AO、BC的性质，推导C点坐标和b的关系；③代入解析式求b，得到C点坐标；④根据平移后顶点为C，写出顶点式解析式。
【解析】
1. 求点A坐标：二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2+b$的顶点在y轴上，因此顶点A的坐标为$(0,b)$，线段$OA$的长度为$b$。
2. 推导点C坐标：因为四边形ABOC是正方形，正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线$OA$竖直，因此另一条对角线$BC$水平，且$BC=OA=b$，$BC$的中点为$OA$的中点$(0,\dfrac{b}{2})$，因此点C的坐标为$(\dfrac{b}{2},\dfrac{b}{2})$。
3. 求b的值：将点C$(\dfrac{b}{2},\dfrac{b}{2})$代入原二次函数解析式，得：
$\dfrac{b}{2}=-\dfrac{1}{2}× (\dfrac{b}{2})^2 + b$
整理得：$\dfrac{b}{2}=-\dfrac{b^2}{8}+b$，移项化简得$b^2-4b=0$，解得$b=4$（$b=0$不符合题意舍去）。
4. 求平移后解析式：由$b=4$得点C坐标为$(2,2)$，抛物线平移时二次项系数不变，因此平移后顶点为$(2,2)$的抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2+2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的平移；正方形的性质
【点评】
本题综合考查了正方形的性质和二次函数的平移规律，解题的关键是利用正方形对角线的性质建立点C坐标与参数b的关系，求出参数b后结合平移不改变二次项系数的特点即可求解。
【难度系数】
0.7
9. 如图, 抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 与 x 轴交于 $ A(1,0), B(3,0) $ 两点, 与 y 轴交于点 $ C(0,3) $.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)若 $ D( \frac{7}{2}, m ) $ 是抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 上的一点, 请求出 m 的值.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)若 $ D( \frac{7}{2}, m ) $ 是抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 上的一点, 请求出 m 的值.
答案
9.(1)由题意,得
$\begin{cases}a+b+c=0, \\9a+3b+c=0, \\c=3.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1, \\b=-4, \\c=3.\end{cases}$
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-4x+3$.
(2)把点$D(\frac{7}{2},m)$代入函数解析式$y=x^2-4x+3$中,得$m=(\frac{7}{2})^2 -4×\frac{7}{2}+3=\frac{5}{4}$.
$\begin{cases}a+b+c=0, \\9a+3b+c=0, \\c=3.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1, \\b=-4, \\c=3.\end{cases}$
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-4x+3$.
(2)把点$D(\frac{7}{2},m)$代入函数解析式$y=x^2-4x+3$中,得$m=(\frac{7}{2})^2 -4×\frac{7}{2}+3=\frac{5}{4}$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线的函数解析式时，已知抛物线经过A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)三个定点，我们可以将三个点的坐标分别代入二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$，得到关于$a$、$b$、$c$的三元一次方程组，解方程组求出三个系数的值，即可确定函数解析式。
(2) 点D在抛物线上，说明它的坐标满足抛物线的函数解析式，只需将D点的横坐标$x=\frac{7}{2}$代入第一问求出的解析式，计算得到的函数值就是$m$的值。
【解析】
(1) 将$A(1,0)$、$B(3,0)$、$C(0,3)$代入$y=ax^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}a+b+c=0, \\9a+3b+c=0, \\c=3.\end{cases}$
把$c=3$代入前两个方程，化简求解得$\begin{cases}a=1, \\b=-4, \\c=3.\end{cases}$
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-4x+3$。
(2) 把点$D(\frac{7}{2}, m)$代入$y=x^2-4x+3$中，得：
$m=(\frac{7}{2})^2 -4×\frac{7}{2}+3=\frac{49}{4}-14+3=\frac{5}{4}$
【答案】
(1) $y=x^2-4x+3$；(2) $m=\frac{5}{4}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查待定系数法的应用以及函数图象与解析式的对应关系，计算难度低，掌握基础方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
(1) 求抛物线的函数解析式时，已知抛物线经过A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)三个定点，我们可以将三个点的坐标分别代入二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$，得到关于$a$、$b$、$c$的三元一次方程组，解方程组求出三个系数的值，即可确定函数解析式。
(2) 点D在抛物线上，说明它的坐标满足抛物线的函数解析式，只需将D点的横坐标$x=\frac{7}{2}$代入第一问求出的解析式，计算得到的函数值就是$m$的值。
【解析】
(1) 将$A(1,0)$、$B(3,0)$、$C(0,3)$代入$y=ax^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}a+b+c=0, \\9a+3b+c=0, \\c=3.\end{cases}$
把$c=3$代入前两个方程，化简求解得$\begin{cases}a=1, \\b=-4, \\c=3.\end{cases}$
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=x^2-4x+3$。
(2) 把点$D(\frac{7}{2}, m)$代入$y=x^2-4x+3$中，得：
$m=(\frac{7}{2})^2 -4×\frac{7}{2}+3=\frac{49}{4}-14+3=\frac{5}{4}$
【答案】
(1) $y=x^2-4x+3$；(2) $m=\frac{5}{4}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数基础题，核心考查待定系数法的应用以及函数图象与解析式的对应关系，计算难度低，掌握基础方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.85
