如图,在平面直角坐标系中,抛物线$C_1:y=x^2-2x-3$交$x$轴于$A,B$两点(点$A$在点$B$左侧),交$y$轴于点$C$.
(1)求点$A,B,C$的坐标;
(2)将抛物线$C_1$绕某点旋转$180°$得到抛物线$C_2$,且抛物线$C_2$也经过$B,C$两点,求抛物线$C_2$对应的函数解析式.

(1)
∵ 当x=0时,y=-3,
∴ C(0,-3).
∵ 当y=0时,x²-2x-3=0,
解得x=3或x=-1.
∴ A(-1,0),B(3,0).
(2)设抛物线$C_2$对应的函数解析式为$y=-x^2+bx+c$.
将$B(3,0),C(0,-3)$代入,得
$\begin{cases}c=-3, \\-9+3b+c=0.\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=4, \\c=-3.\end{cases}$
∴ 抛物线$C_2$对应的函数解析式为$y=-x^2+4x-3$.

【分析】
(1) 求解抛物线与坐标轴交点的思路：求与y轴交点时，令x=0代入解析式，计算得到的y值即为交点纵坐标；求与x轴交点时，令y=0，解对应的一元二次方程，得到的x值为交点横坐标，再结合A在B左侧的位置关系即可确定A、B坐标。
(2) 抛物线旋转180°后，开口大小不变、方向相反，因此二次项系数变为原抛物线二次项系数的相反数，原抛物线$C_1$二次项系数为1，故$C_2$二次项系数为-1，可设$C_2$的解析式为$y=-x^2+bx+c$，再将已知的B、C两点坐标代入，解方程组求出未知系数即可得到$C_2$的解析式。
【解析】
(1) 求A、B、C三点坐标：
对于抛物线$C_1:y=x^2-2x-3$，
当$x=0$时，$y=-3$，因此$C(0,-3)$；
当$y=0$时，$x^2-2x-3=0$，因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
∵点A在点B左侧，
∴$A(-1,0)$，$B(3,0)$。
(2) 求抛物线$C_2$的解析式：
∵抛物线$C_1$绕点旋转180°得到$C_2$，
∴$C_2$的二次项系数为$-1$，
设$C_2$对应的函数解析式为$y=-x^2+bx+c$，
将$B(3,0)$、$C(0,-3)$代入解析式，得：
$\begin{cases}c=-3 \\-9+3b+c=0\end{cases}$
将$c=-3$代入第二个方程，解得$b=4$，
即$\begin{cases}b=4 \\c=-3\end{cases}$
因此抛物线$C_2$对应的函数解析式为$y=-x^2+4x-3$。
【答案】
(1) $A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,-3)$；
(2) $y=-x^2+4x-3$
【知识点】
1. 二次函数与坐标轴交点求解
2. 二次函数旋转变换
3. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于二次函数基础考题，主要考察二次函数与坐标轴交点的计算方法，以及旋转180°后二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题核心，解题逻辑清晰，是二次函数章节的常规题型。
【难度系数】
0.8

1. 若二次函数$y=ax^2$的图象经过点$P(-2,4)$，则该图象必经过点 ()

A.$(2,4)$
B.$(-2,-4)$
C.$(-4,2)$
D.$(4,-2)$

1.A

【分析】
解题思路有两种：①先利用待定系数法，将已知点P的坐标代入二次函数解析式求出a的值，得到完整的函数表达式，再逐一验证各选项的点是否满足解析式；②利用二次函数$y=ax^2$的图象关于y轴对称的性质，若点在图象上，则它关于y轴的对称点（横坐标互为相反数，纵坐标相等）也一定在图象上，可直接判断结果。
【解析】
方法一：将点$P(-2,4)$代入$y=ax^2$，得：
$4=a×(-2)^2$
解得$a=1$，因此二次函数解析式为$y=x^2$。
逐一验证选项：
A. 当$x=2$时，$y=2^2=4$，故点$(2,4)$在函数图象上；
B. 当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4≠-4$，故点$(-2,-4)$不在图象上；
C. 当$x=-4$时，$y=(-4)^2=16≠2$，故点$(-4,2)$不在图象上；
D. 当$x=4$时，$y=4^2=16≠-2$，故点$(4,-2)$不在图象上。
方法二：二次函数$y=ax^2$的图象对称轴为y轴，因此图象上关于y轴对称的点（横坐标互为相反数，纵坐标相同）均在函数图象上。点$P(-2,4)$关于y轴的对称点为$(2,4)$，故该点必在函数图象上。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象性质；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数基础题，两种解题方法都较为简单，利用对称性可以更快得出答案，熟练掌握$y=ax^2$类二次函数的图象特征是解题的核心。
【难度系数】
0.9

2. 关于抛物线$y=-\dfrac{1}{3}(x-5)^2+3$，下列说法错误的是（）

A.对称轴是直线$x=5$
B.函数的最大值是3
C.开口向下，顶点坐标为$(5,3)$
D.当$x＞5$时，$y$随$x$的增大而增大

2.D

【分析】
这道题考查二次函数顶点式的相关性质，解题时先明确抛物线顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$中各参数的含义，再结合$a$的正负依次判断对称轴、顶点坐标、最值、增减性等性质，逐一验证选项找出错误说法即可。
【解析】
对于抛物线顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；若$a＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值$k$，且在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小，左侧$y$随$x$的增大而增大。
本题中抛物线$y=-\dfrac{1}{3}(x-5)^2+3$对应参数：$a=-\dfrac{1}{3}＜0$，$h=5$，$k=3$。
A选项：对称轴是直线$x=h=5$，说法正确，不符合题意；
B选项：抛物线开口向下，函数最大值为$k=3$，说法正确，不符合题意；
C选项：$a=-\dfrac{1}{3}＜0$故开口向下，顶点坐标为$(h,k)=(5,3)$，说法正确，不符合题意；
D选项：抛物线开口向下，对称轴为$x=5$，因此当$x＞5$时，$y$随$x$的增大而减小，该选项说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，围绕二次函数顶点式的核心性质命题，只要牢记顶点式中各参数对应的几何意义，以及开口方向对函数最值、增减性的影响，就能快速判断选项正误。
【难度系数】
0.8