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8. 为测试家用轿车的刹车性能，测得数据如下表：
已知刹车距离y是关于刹车车速x的二次函数$y=ax^2+bx$。
(1)求y关于x的二次函数解析式。
(2)当刹车车速为50 km/h时，求汽车的刹车距离。
已知刹车距离y是关于刹车车速x的二次函数$y=ax^2+bx$。
(1)求y关于x的二次函数解析式。
(2)当刹车车速为50 km/h时，求汽车的刹车距离。
答案
8. (1)
∵ y 关于 x 的二次函数解析式为y=ax²+bx,
把(20,6),(40,16)代入上式,得
$\begin{cases}400a+20b=6,\\1\ 600a+40b=16.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=0.005,\\b=0.2.\end{cases}$
∴ 二次函数的解析式是 y = 0. 005x² + 0.2x.
(2)
∵ 当 x = 50 时,y = 0. 005×50²+ 0. 2×50=22.5,
∴ 当刹车车速为 50 km/h 时,汽车的刹车距离为 22.5 m.
∵ y 关于 x 的二次函数解析式为y=ax²+bx,
把(20,6),(40,16)代入上式,得
$\begin{cases}400a+20b=6,\\1\ 600a+40b=16.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=0.005,\\b=0.2.\end{cases}$
∴ 二次函数的解析式是 y = 0. 005x² + 0.2x.
(2)
∵ 当 x = 50 时,y = 0. 005×50²+ 0. 2×50=22.5,
∴ 当刹车车速为 50 km/h 时,汽车的刹车距离为 22.5 m.
解析
【分析】
本题考查二次函数的实际应用，解题思路如下：
(1) 题目已给出刹车距离y关于车速x的二次函数形式为$y=ax^2+bx$，仅存在a、b两个未知系数，因此选取表格中两组对应的x、y值，用待定系数法代入函数式，得到关于a、b的二元一次方程组，求解方程组得到a、b的值即可确定函数解析式，还可代入第三组数据验证解析式的正确性。
(2) 求车速为50km/h时的刹车距离，只需将$x=50$代入第一问求得的函数解析式，计算得到的y值就是所求刹车距离。
【解析】
(1) 已知二次函数解析式为$y=ax^2+bx$，将表格中$(20,6)$、$(40,16)$两组数据代入解析式，得：
$\begin{cases}400a+20b=6\\1600a+40b=16\end{cases}$
用消元法解方程组：用第二个方程减去第一个方程的2倍，得$800a=4$，解得$a=0.005$。
将$a=0.005$代入$400a+20b=6$，得$2+20b=6$，解得$b=0.2$。
代入第三组数据$(60,30)$验证：$y=0.005×60^2+0.2×60=30$，与表格数据一致，解析式正确。
(2) 当$x=50$时，代入解析式$y=0.005x^2+0.2x$得：
$y=0.005×50^2+0.2×50=12.5+10=22.5$
【答案】
(1) $y = 0.005x^2 + 0.2x$
(2) $22.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二元一次方程组求解，二次函数求值
【点评】
本题是二次函数的基础实际应用题，核心考查待定系数法的运用，解题步骤清晰，掌握函数解析式求解和代入求值的基本方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的实际应用，解题思路如下：
(1) 题目已给出刹车距离y关于车速x的二次函数形式为$y=ax^2+bx$，仅存在a、b两个未知系数，因此选取表格中两组对应的x、y值，用待定系数法代入函数式，得到关于a、b的二元一次方程组，求解方程组得到a、b的值即可确定函数解析式，还可代入第三组数据验证解析式的正确性。
(2) 求车速为50km/h时的刹车距离，只需将$x=50$代入第一问求得的函数解析式，计算得到的y值就是所求刹车距离。
【解析】
(1) 已知二次函数解析式为$y=ax^2+bx$，将表格中$(20,6)$、$(40,16)$两组数据代入解析式，得：
$\begin{cases}400a+20b=6\\1600a+40b=16\end{cases}$
用消元法解方程组：用第二个方程减去第一个方程的2倍，得$800a=4$，解得$a=0.005$。
将$a=0.005$代入$400a+20b=6$，得$2+20b=6$，解得$b=0.2$。
代入第三组数据$(60,30)$验证：$y=0.005×60^2+0.2×60=30$，与表格数据一致，解析式正确。
(2) 当$x=50$时，代入解析式$y=0.005x^2+0.2x$得：
$y=0.005×50^2+0.2×50=12.5+10=22.5$
【答案】
(1) $y = 0.005x^2 + 0.2x$
(2) $22.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二元一次方程组求解，二次函数求值
【点评】
本题是二次函数的基础实际应用题，核心考查待定系数法的运用，解题步骤清晰，掌握函数解析式求解和代入求值的基本方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
9. 行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种汽车进行测试，数据如下表所示：
(1)y是x的函数，估计函数的类型，并求出函数解析式.
(2)该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5 m，则刹车时的车速是多少？在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
(1)y是x的函数，估计函数的类型，并求出函数解析式.
(2)该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5 m，则刹车时的车速是多少？在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
答案
9. (1)估计 y 是 x 的二次函数.
∵ 函数图象经过点(0,0),(10,0.3),(20,1.0),
∴ 设该二次函数的解析式为 y=ax²+bx.
将点(10,0.3),(20,1.0)代入,得
$\begin{cases}100a+10b=0.3,\\400a+20b=1.0.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=0.002,\\b=0.01.\end{cases}$
∴ 二次函数的解析式为 y = 0. 002x² + 0.01x(x＞0).
(2)由(1)得该二次函数的解析式为y=0.002x²+0.01x(x＞0).
当 y=46.5 时,0. 002x²+0. 01x=46. 5,
解得 x₁=150,x₂=-155(舍去).
∴ 刹车时的车速为 150 km/h.
∵ 150 km/h＞140 km/h,
∴ 该汽车超速行驶.
∵ 函数图象经过点(0,0),(10,0.3),(20,1.0),
∴ 设该二次函数的解析式为 y=ax²+bx.
将点(10,0.3),(20,1.0)代入,得
$\begin{cases}100a+10b=0.3,\\400a+20b=1.0.\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=0.002,\\b=0.01.\end{cases}$
∴ 二次函数的解析式为 y = 0. 002x² + 0.01x(x＞0).
(2)由(1)得该二次函数的解析式为y=0.002x²+0.01x(x＞0).
当 y=46.5 时,0. 002x²+0. 01x=46. 5,
解得 x₁=150,x₂=-155(舍去).
∴ 刹车时的车速为 150 km/h.
∵ 150 km/h＞140 km/h,
∴ 该汽车超速行驶.
解析
【分析】
(1) 首先观察表格中x和y的变化规律：x每增加10km/h，y的增量依次为0.3m、0.7m、1.1m、1.5m，增量均匀增加，符合二次函数的变化特征，因此估计y是x的二次函数。由于x=0时y=0，所以二次函数常数项为0，设解析式为$y=ax^2+bx$，选取表格中两组非原点的坐标代入即可求出a、b的值，最后代入剩余点验证解析式是否正确。
(2) 第二问已知刹车距离y的值，将其代入第一问求出的二次函数解析式，得到关于x的一元二次方程，求解后根据实际意义舍去负根，得到刹车时的车速，再和最高限速140km/h比较，判断是否超速。
【解析】
(1) 观察数据变化规律，估计y是x的二次函数。
∵ 函数图象过点(0,0)，
∴ 设二次函数解析式为$y=ax^2+bx(a≠0)$。
将(10,0.3)、(20,1.0)代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}100a+10b=0.3\\400a+20b=1.0\end{cases}$
给第一个方程两边乘2得：$200a+20b=0.6$，用第二个方程减该式得：$200a=0.4$，解得$a=0.002$。
将$a=0.002$代入$100a+10b=0.3$，得$0.2+10b=0.3$，解得$b=0.01$。
验证：将x=30代入$y=0.002x^2+0.01x$，得$y=0.002×900+0.01×30=2.1$，与表格数据一致；将x=40代入得$y=0.002×1600+0.01×40=3.6$，也与表格数据一致，因此解析式成立。
∴ 函数解析式为$y=0.002x^2+0.01x(x＞0)$。
(2) 当刹车距离$y=46.5m$时，代入解析式得：
$0.002x^2+0.01x=46.5$
方程两边同时乘1000整理得：$2x^2+10x-46500=0$，化简为$x^2+5x-23250=0$。
解得$x_1=150$，$x_2=-155$（车速不能为负，舍去）。
∴ 刹车时车速为150km/h，已知该路段限速140km/h，$150＞140$，因此汽车超速行驶。
【答案】
(1) 函数为二次函数，解析式为$\boldsymbol{y=0.002x^2+0.01x(x＞0)}$；
(2) 刹车时车速为$\boldsymbol{150\ km/h}$，汽车超速行驶。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；一元二次方程的求解
【点评】
本题结合汽车刹车的实际场景考查函数知识的应用，解题时要先根据数据特征判断函数类型，再用待定系数法求解析式，求解实际问题时要注意自变量的取值范围，舍去不符合实际意义的根，最后结合题目给定的限制条件作出判断。
【难度系数】
0.7
(1) 首先观察表格中x和y的变化规律：x每增加10km/h，y的增量依次为0.3m、0.7m、1.1m、1.5m，增量均匀增加，符合二次函数的变化特征，因此估计y是x的二次函数。由于x=0时y=0，所以二次函数常数项为0，设解析式为$y=ax^2+bx$，选取表格中两组非原点的坐标代入即可求出a、b的值，最后代入剩余点验证解析式是否正确。
(2) 第二问已知刹车距离y的值，将其代入第一问求出的二次函数解析式，得到关于x的一元二次方程，求解后根据实际意义舍去负根，得到刹车时的车速，再和最高限速140km/h比较，判断是否超速。
【解析】
(1) 观察数据变化规律，估计y是x的二次函数。
∵ 函数图象过点(0,0)，
∴ 设二次函数解析式为$y=ax^2+bx(a≠0)$。
将(10,0.3)、(20,1.0)代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}100a+10b=0.3\\400a+20b=1.0\end{cases}$
给第一个方程两边乘2得：$200a+20b=0.6$，用第二个方程减该式得：$200a=0.4$，解得$a=0.002$。
将$a=0.002$代入$100a+10b=0.3$，得$0.2+10b=0.3$，解得$b=0.01$。
验证：将x=30代入$y=0.002x^2+0.01x$，得$y=0.002×900+0.01×30=2.1$，与表格数据一致；将x=40代入得$y=0.002×1600+0.01×40=3.6$，也与表格数据一致，因此解析式成立。
∴ 函数解析式为$y=0.002x^2+0.01x(x＞0)$。
(2) 当刹车距离$y=46.5m$时，代入解析式得：
$0.002x^2+0.01x=46.5$
方程两边同时乘1000整理得：$2x^2+10x-46500=0$，化简为$x^2+5x-23250=0$。
解得$x_1=150$，$x_2=-155$（车速不能为负，舍去）。
∴ 刹车时车速为150km/h，已知该路段限速140km/h，$150＞140$，因此汽车超速行驶。
【答案】
(1) 函数为二次函数，解析式为$\boldsymbol{y=0.002x^2+0.01x(x＞0)}$；
(2) 刹车时车速为$\boldsymbol{150\ km/h}$，汽车超速行驶。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；一元二次方程的求解
【点评】
本题结合汽车刹车的实际场景考查函数知识的应用，解题时要先根据数据特征判断函数类型，再用待定系数法求解析式，求解实际问题时要注意自变量的取值范围，舍去不符合实际意义的根，最后结合题目给定的限制条件作出判断。
【难度系数】
0.7
10. 近年来我国无人机设备发展迅猛,新型号无人机不断面世,科研单位为保障无人机设备能安全投产,现对某种型号的无人机的降落情况进行测试,该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离$y$(单位:m)与滑行时间$x$(单位:s)之间满足的二次函数关系如图所示.
(1)求$y$关于$x$的函数关系式.
(2)若跑道长度为$700\ \mathrm{m}$,请通过计算说明是否够此无人机着陆.
(3)当跑道长度足够时,请求出无人机着陆后最后两秒滑行的距离.
(1)求$y$关于$x$的函数关系式.
(2)若跑道长度为$700\ \mathrm{m}$,请通过计算说明是否够此无人机着陆.
(3)当跑道长度足够时,请求出无人机着陆后最后两秒滑行的距离.
答案
10. (1)
∵ 函数图象过点(0,0),(10,600),(15,750),
∴ 设函数解析式为 y=ax²+bx.
把点(10,600),(15,750)代入,得
$\begin{cases}100a+10b=600,\\225a+15b=750.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-2,\\b=80.\end{cases}$
∴ y = -2x²+80x.
(2)
∵ y = -2x²+80x = -2(x-20)²+800,
∴ 当 x=20 时,y 有最大值 800.
∵ 800＞700,
∴ 跑道长度不够无人机降落.
(3)
∵ 当 x=20 时,y 有最大值 800,此时无人机停止,
∴ 当 x=18 时,y=-2×18²+80×18=792.
∵ 800-792=8,
∴ 无人机着陆后最后两秒滑行的距离为8 m.
∵ 函数图象过点(0,0),(10,600),(15,750),
∴ 设函数解析式为 y=ax²+bx.
把点(10,600),(15,750)代入,得
$\begin{cases}100a+10b=600,\\225a+15b=750.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-2,\\b=80.\end{cases}$
∴ y = -2x²+80x.
(2)
∵ y = -2x²+80x = -2(x-20)²+800,
∴ 当 x=20 时,y 有最大值 800.
∵ 800＞700,
∴ 跑道长度不够无人机降落.
(3)
∵ 当 x=20 时,y 有最大值 800,此时无人机停止,
∴ 当 x=18 时,y=-2×18²+80×18=792.
∵ 800-792=8,
∴ 无人机着陆后最后两秒滑行的距离为8 m.
解析
【分析】
（1）求二次函数关系式时，观察图象可知函数过原点，因此可设不含常数项的二次函数解析式$y=ax^2+bx$，再将已知的两个点$(10,600)$、$(15,750)$代入解析式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出系数得到解析式。
（2）判断跑道是否够用，需要先求出无人机滑行的最大距离，也就是二次函数的最大值，通过配方法将解析式化为顶点式得到最大值，再和700m比较大小即可判断。
（3）求最后两秒的滑行距离，首先明确无人机停止滑行的时间是二次函数取得最大值对应的$x$值，先算出总滑行距离，再算出$x=18\ \mathrm{s}$时的滑行距离，二者的差就是最后两秒的滑行距离。
【解析】
(1) 由图象可知二次函数过点$(0,0)$，因此设函数解析式为$y=ax^2+bx$。
将点$(10,600)$、$(15,750)$代入解析式，得：
$\begin{cases} 100a+10b=600 \\ 225a+15b=750 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-2\\b=80\end{cases}$，因此$y$关于$x$的函数关系式为$y=-2x^2+80x$。
(2) 将函数解析式配方：
$y=-2x^2+80x=-2(x-20)^2+800$
$\because a=-2＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$当$x=20$时，$y$取得最大值800m，即无人机最多滑行800m。
$\because 800＞700$，$\therefore$长度为700m的跑道不够此无人机着陆。
(3) 由(2)可知，$x=20\ \mathrm{s}$时无人机停止，总滑行距离为800m。
当$x=18\ \mathrm{s}$时，$y=-2×18^2+80×18=792\ \mathrm{m}$。
因此最后两秒滑行距离为$800-792=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x^2+80x}$
(2) 跑道长度不够无人机着陆
(3) $\boldsymbol{8\ \mathrm{m}}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合无人机降落的实际场景考查二次函数的相关知识，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式，以及利用配方法求二次函数最值解决实际问题，计算最后两秒滑行距离时要先确定无人机停止的时间，避免出现时间段计算错误的问题。
【难度系数】
0.7
（1）求二次函数关系式时，观察图象可知函数过原点，因此可设不含常数项的二次函数解析式$y=ax^2+bx$，再将已知的两个点$(10,600)$、$(15,750)$代入解析式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出系数得到解析式。
（2）判断跑道是否够用，需要先求出无人机滑行的最大距离，也就是二次函数的最大值，通过配方法将解析式化为顶点式得到最大值，再和700m比较大小即可判断。
（3）求最后两秒的滑行距离，首先明确无人机停止滑行的时间是二次函数取得最大值对应的$x$值，先算出总滑行距离，再算出$x=18\ \mathrm{s}$时的滑行距离，二者的差就是最后两秒的滑行距离。
【解析】
(1) 由图象可知二次函数过点$(0,0)$，因此设函数解析式为$y=ax^2+bx$。
将点$(10,600)$、$(15,750)$代入解析式，得：
$\begin{cases} 100a+10b=600 \\ 225a+15b=750 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-2\\b=80\end{cases}$，因此$y$关于$x$的函数关系式为$y=-2x^2+80x$。
(2) 将函数解析式配方：
$y=-2x^2+80x=-2(x-20)^2+800$
$\because a=-2＜0$，抛物线开口向下，$\therefore$当$x=20$时，$y$取得最大值800m，即无人机最多滑行800m。
$\because 800＞700$，$\therefore$长度为700m的跑道不够此无人机着陆。
(3) 由(2)可知，$x=20\ \mathrm{s}$时无人机停止，总滑行距离为800m。
当$x=18\ \mathrm{s}$时，$y=-2×18^2+80×18=792\ \mathrm{m}$。
因此最后两秒滑行距离为$800-792=8\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x^2+80x}$
(2) 跑道长度不够无人机着陆
(3) $\boldsymbol{8\ \mathrm{m}}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合无人机降落的实际场景考查二次函数的相关知识，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式，以及利用配方法求二次函数最值解决实际问题，计算最后两秒滑行距离时要先确定无人机停止的时间，避免出现时间段计算错误的问题。
【难度系数】
0.7
