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10. 如图,抛物线与x轴交于A,B两点,且点A的坐标为(-3,0),抛物线顶点P的坐标为(-1,-4),经过点B的一次函数y=x-1的图象交抛物线于点D.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)当二次函数值小于一次函数值时,求x的取值范围.
(3)求△BPD的面积.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)当二次函数值小于一次函数值时,求x的取值范围.
(3)求△BPD的面积.
答案
10.(1)设点B的坐标为$(m,0)$.
∵ 一次函数$y=x-1$的图象经过点B,
∴ $0=m-1$.
∴ $m=1$.
∴ 点B的坐标为$(1,0)$.
∵ 抛物线顶点$P(-1,-4)$,
∴ 设$y=a(x+1)^2-4$.
将$A(-3,0)$代入,得$0=a(-3+1)^2-4$.
解得$a=1$.
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=(x+1)^2-4=x^2+2x-3$.
(2)由$\begin{cases}y=x-1, \\y=x^2+2x-3,\end{cases}$得
$\begin{cases}x_1=-2, \\y_1=-3,\end{cases}\begin{cases}x_2=1, \\y_2=0.\end{cases}$
∴ $D(-2,-3)$.
由图象可得当二次函数值小于一次函数值时,x的取值范围为$-2＜x＜1$.
(3)$△ BPD$的面积为3.
∵ 一次函数$y=x-1$的图象经过点B,
∴ $0=m-1$.
∴ $m=1$.
∴ 点B的坐标为$(1,0)$.
∵ 抛物线顶点$P(-1,-4)$,
∴ 设$y=a(x+1)^2-4$.
将$A(-3,0)$代入,得$0=a(-3+1)^2-4$.
解得$a=1$.
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=(x+1)^2-4=x^2+2x-3$.
(2)由$\begin{cases}y=x-1, \\y=x^2+2x-3,\end{cases}$得
$\begin{cases}x_1=-2, \\y_1=-3,\end{cases}\begin{cases}x_2=1, \\y_2=0.\end{cases}$
∴ $D(-2,-3)$.
由图象可得当二次函数值小于一次函数值时,x的取值范围为$-2＜x＜1$.
(3)$△ BPD$的面积为3.
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式时，已知顶点坐标，优先选择顶点式设表达式，仅需代入一个已知点求出参数a即可；本题可先通过一次函数与x轴交点的特征求出点B坐标，也可直接代入已知点A计算参数。
(2) 二次函数值小于一次函数值，对应图象中抛物线位于直线下方的部分，因此需先联立两个函数解析式，求出交点横坐标，再结合图象走势直接确定x的取值范围。
(3) 计算坐标系中三角形面积时，可采用铅垂高法：过顶点P作x轴的垂线交直线BD于一点，以该线段长度为铅垂高，以B、D两点的横坐标差为水平宽，用公式$S=\frac{1}{2}×铅垂高×水平宽$计算，也可通过割补法拆分图形求解。
【解析】
(1) 求点B坐标：点B是一次函数$y=x-1$与x轴的交点，令$y=0$，得$0=x-1$，解得$x=1$，即$B(1,0)$。
已知抛物线顶点$P(-1,-4)$，设抛物线解析式为顶点式$y=a(x+1)^2-4(a≠0)$，
将$A(-3,0)$代入解析式得：$0=a×(-3+1)^2 -4$，
解得$a=1$，
因此抛物线解析式为$y=(x+1)^2-4$，整理为一般式为$y=x^2+2x-3$。
(2) 联立一次函数与抛物线解析式得：
$\begin{cases}y=x-1 \\ y=x^2+2x-3\end{cases}$
将$y=x-1$代入二次函数解析式，整理得$x^2+x-2=0$，
解得$x_1=-2$，$x_2=1$，对应交点坐标为$D(-2,-3)$，$B(1,0)$，
结合图象可得，二次函数值小于一次函数值时，x的取值范围为$-2＜x＜1$。
(3) 过点P作$PE⊥x$轴，交直线BD于点E，
将$x=-1$代入$y=x-1$，得$y=-2$，即$E(-1,-2)$，
则$PE=|-2 - (-4)|=2$，B、D两点的水平距离为$|1 - (-2)|=3$，
因此$S_{△ BPD}=\frac{1}{2}×PE×水平距离=\frac{1}{2}×2×3=3$。
【答案】
(1) $y=x^2+2x-3$（或$y=(x+1)^2-4$）
(2) $-2＜x＜1$
(3) 3
【知识点】
二次函数解析式求解，函数图象与不等式关系，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，既考查了函数解析式的常规求解方法，也结合图象考查了不等式的几何意义，同时需要掌握坐标系内不规则图形面积的计算技巧，对函数综合应用能力有较好的锻炼作用。
【难度系数】
0.65
(1) 求解抛物线解析式时，已知顶点坐标，优先选择顶点式设表达式，仅需代入一个已知点求出参数a即可；本题可先通过一次函数与x轴交点的特征求出点B坐标，也可直接代入已知点A计算参数。
(2) 二次函数值小于一次函数值，对应图象中抛物线位于直线下方的部分，因此需先联立两个函数解析式，求出交点横坐标，再结合图象走势直接确定x的取值范围。
(3) 计算坐标系中三角形面积时，可采用铅垂高法：过顶点P作x轴的垂线交直线BD于一点，以该线段长度为铅垂高，以B、D两点的横坐标差为水平宽，用公式$S=\frac{1}{2}×铅垂高×水平宽$计算，也可通过割补法拆分图形求解。
【解析】
(1) 求点B坐标：点B是一次函数$y=x-1$与x轴的交点，令$y=0$，得$0=x-1$，解得$x=1$，即$B(1,0)$。
已知抛物线顶点$P(-1,-4)$，设抛物线解析式为顶点式$y=a(x+1)^2-4(a≠0)$，
将$A(-3,0)$代入解析式得：$0=a×(-3+1)^2 -4$，
解得$a=1$，
因此抛物线解析式为$y=(x+1)^2-4$，整理为一般式为$y=x^2+2x-3$。
(2) 联立一次函数与抛物线解析式得：
$\begin{cases}y=x-1 \\ y=x^2+2x-3\end{cases}$
将$y=x-1$代入二次函数解析式，整理得$x^2+x-2=0$，
解得$x_1=-2$，$x_2=1$，对应交点坐标为$D(-2,-3)$，$B(1,0)$，
结合图象可得，二次函数值小于一次函数值时，x的取值范围为$-2＜x＜1$。
(3) 过点P作$PE⊥x$轴，交直线BD于点E，
将$x=-1$代入$y=x-1$，得$y=-2$，即$E(-1,-2)$，
则$PE=|-2 - (-4)|=2$，B、D两点的水平距离为$|1 - (-2)|=3$，
因此$S_{△ BPD}=\frac{1}{2}×PE×水平距离=\frac{1}{2}×2×3=3$。
【答案】
(1) $y=x^2+2x-3$（或$y=(x+1)^2-4$）
(2) $-2＜x＜1$
(3) 3
【知识点】
二次函数解析式求解，函数图象与不等式关系，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，既考查了函数解析式的常规求解方法，也结合图象考查了不等式的几何意义，同时需要掌握坐标系内不规则图形面积的计算技巧，对函数综合应用能力有较好的锻炼作用。
【难度系数】
0.65
11. 某汽车清洗店清洗一辆汽车，当定价为20元时每天能清洗45辆，当定价为25元时每天能清洗30辆，假设清洗汽车数y（单位：辆）与定价x（单位：元，x取整数）是一次函数关系.
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水费和员工工资共计200元，问：当定价为多少时，该汽车清洗店每天获得的利润最大？最大利润是多少？
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水费和员工工资共计200元，问：当定价为多少时，该汽车清洗店每天获得的利润最大？最大利润是多少？
答案
11.(1)设y与x之间的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$.
由题得$\begin{cases}20k+b=45, \\25k+b=30.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-3, \\b=105.\end{cases}$
∴ y与x之间的函数解析式为$y=-3x+105$.
(2)设该汽车清洗店每天获得的利润为w元,由题意,知
$w = xy-200$
$= x(-3x+105)-200$
$= -3x^2+105x-200$
$= -3(x-17.5)^2+718.75$.
∵ $-3＜0$,
∴ 抛物线开口向下.
∵ $15≤x≤50$,且x是整数,
∴ 当$x=17$或$x=18$时,w最大,$w_{最大}$为718.
∴ 当定价为17元或18元时,该汽车清洗店每天获得的利润最大,最大利润为718元.
由题得$\begin{cases}20k+b=45, \\25k+b=30.\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-3, \\b=105.\end{cases}$
∴ y与x之间的函数解析式为$y=-3x+105$.
(2)设该汽车清洗店每天获得的利润为w元,由题意,知
$w = xy-200$
$= x(-3x+105)-200$
$= -3x^2+105x-200$
$= -3(x-17.5)^2+718.75$.
∵ $-3＜0$,
∴ 抛物线开口向下.
∵ $15≤x≤50$,且x是整数,
∴ 当$x=17$或$x=18$时,w最大,$w_{最大}$为718.
∴ 当定价为17元或18元时,该汽车清洗店每天获得的利润最大,最大利润为718元.
解析
【分析】
(1) 已知y与x是一次函数关系，解题时优先使用待定系数法：先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将题目给出的两组定价和对应清洗数量（20元对应45辆、25元对应30辆）代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，求解方程组得到k、b的值即可确定函数解析式。
(2) 利润问题的核心公式为“总利润=总收入-固定成本”，本题中总收入为定价x乘以清洗数量y，固定成本为200元，因此可以先列出利润w关于x的函数关系式，整理后得到二次函数。结合二次函数的性质，开口向下的抛物线在顶点处取得最大值，同时要注意题目对x的限制：定价在15元到50元之间，且x为整数，因此需要取距离顶点横坐标最近的整数代入计算，得到最大利润。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$。
由题得$\begin{cases}20k+b=45, \\25k+b=30.\end{cases}$
两式相减得$5k=-15$，解得$k=-3$，将$k=-3$代入$20k+b=45$，得$-60+b=45$，解得$b=105$。
∴ y与x之间的函数解析式为$y=-3x+105$。
(2) 设该汽车清洗店每天获得的利润为w元，由题意得：
$w = xy-200$
$= x(-3x+105)-200$
$= -3x^2+105x-200$
配方得$w= -3(x-17.5)^2+718.75$。
∵ $-3＜0$，
∴ 抛物线开口向下，顶点处w取得最大值。
∵ $15≤x≤50$，且x是整数，
∴ 当$x=17$或$x=18$时，w取得最大值，代入计算得$w_{最大}=718$。
【答案】
(1) $y=-3x+105$；
(2) 当定价为17元或18元时，该汽车清洗店每天获得的利润最大，最大利润是718元。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 二次函数的实际应用
3. 二次函数的最值计算
【点评】
本题是函数结合实际场景的典型应用题，既考查了基础的函数解析式求解方法，也考查了利用二次函数性质解决实际最值问题的能力，解题时要格外注意自变量的实际取值限制，避免忽略整数、取值区间等条件出现错误。
【难度系数】
0.65
(1) 已知y与x是一次函数关系，解题时优先使用待定系数法：先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将题目给出的两组定价和对应清洗数量（20元对应45辆、25元对应30辆）代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，求解方程组得到k、b的值即可确定函数解析式。
(2) 利润问题的核心公式为“总利润=总收入-固定成本”，本题中总收入为定价x乘以清洗数量y，固定成本为200元，因此可以先列出利润w关于x的函数关系式，整理后得到二次函数。结合二次函数的性质，开口向下的抛物线在顶点处取得最大值，同时要注意题目对x的限制：定价在15元到50元之间，且x为整数，因此需要取距离顶点横坐标最近的整数代入计算，得到最大利润。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$。
由题得$\begin{cases}20k+b=45, \\25k+b=30.\end{cases}$
两式相减得$5k=-15$，解得$k=-3$，将$k=-3$代入$20k+b=45$，得$-60+b=45$，解得$b=105$。
∴ y与x之间的函数解析式为$y=-3x+105$。
(2) 设该汽车清洗店每天获得的利润为w元，由题意得：
$w = xy-200$
$= x(-3x+105)-200$
$= -3x^2+105x-200$
配方得$w= -3(x-17.5)^2+718.75$。
∵ $-3＜0$，
∴ 抛物线开口向下，顶点处w取得最大值。
∵ $15≤x≤50$，且x是整数，
∴ 当$x=17$或$x=18$时，w取得最大值，代入计算得$w_{最大}=718$。
【答案】
(1) $y=-3x+105$；
(2) 当定价为17元或18元时，该汽车清洗店每天获得的利润最大，最大利润是718元。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 二次函数的实际应用
3. 二次函数的最值计算
【点评】
本题是函数结合实际场景的典型应用题，既考查了基础的函数解析式求解方法，也考查了利用二次函数性质解决实际最值问题的能力，解题时要格外注意自变量的实际取值限制，避免忽略整数、取值区间等条件出现错误。
【难度系数】
0.65
12. 已知抛物线 $ y = x^2 - 4x $ 经过 $ A(x_1, t) $，$ B(x_2, t) $，$ C(m, n) $ 三点，且 $ x_1 ＜ x_2 $。
(1) 用配方法求出此抛物线的顶点坐标和对称轴。
(2) 当 $ t = 5 $ 时，求点 $ A $ 和点 $ B $ 的坐标。
(3) 将点 $ C $ 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点 $ D $，若点 $ D $ 恰好落在此抛物线上，求 $ n $ 的值。
(1) 用配方法求出此抛物线的顶点坐标和对称轴。
(2) 当 $ t = 5 $ 时，求点 $ A $ 和点 $ B $ 的坐标。
(3) 将点 $ C $ 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到点 $ D $，若点 $ D $ 恰好落在此抛物线上，求 $ n $ 的值。
答案
12.(1)
∵ $ y = x^2 - 4x $
$= x^2 - 4x + 4 - 4$
$= (x-2)^2 - 4$,
∴ 抛物线的顶点坐标为$(2,-4)$,对称轴为直线$x=2$.
(2)$A(-1,5),B(5,5)$.
(3)
∵ 将点C先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,得点D,且$C(m,n)$,
∴ $D(m+1,n-2)$.
∵ 点C,D在该二次函数的图象上,
∴ $\begin{cases}n=m^2-4m, \\n-2=(m+1)^2-4(m+1),\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2}, \\n=-\frac{7}{4}.\end{cases}$
∴ n的值为$-\frac{7}{4}$.
∵ $ y = x^2 - 4x $
$= x^2 - 4x + 4 - 4$
$= (x-2)^2 - 4$,
∴ 抛物线的顶点坐标为$(2,-4)$,对称轴为直线$x=2$.
(2)$A(-1,5),B(5,5)$.
(3)
∵ 将点C先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,得点D,且$C(m,n)$,
∴ $D(m+1,n-2)$.
∵ 点C,D在该二次函数的图象上,
∴ $\begin{cases}n=m^2-4m, \\n-2=(m+1)^2-4(m+1),\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{1}{2}, \\n=-\frac{7}{4}.\end{cases}$
∴ n的值为$-\frac{7}{4}$.
解析
【分析】
(1) 本小问考查用配方法转化二次函数解析式，思路是对二次项和一次项组合，加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数保证式子值不变，化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$后，直接对应得到顶点坐标$(h,k)$和对称轴直线$x=h$。
(2) A、B两点纵坐标相同，说明两点是抛物线上关于对称轴对称的点，将$y=t=5$代入抛物线解析式，解一元二次方程得到两个根，结合$x_1＜x_2$的条件即可确定A、B的坐标。
(3) 先根据“横坐标右加左减、纵坐标上加下减”的平移规则，由$C(m,n)$写出平移后点D的坐标，再将C、D两点坐标都代入抛物线解析式，联立方程组求解即可得到n的值。
【解析】
(1) 对抛物线解析式配方：
$\begin{aligned}y &= x^2 - 4x \\&= x^2 - 4x + 4 - 4 \\&= (x-2)^2 - 4\end{aligned}$
根据顶点式的性质，可得抛物线的顶点坐标为$(2,-4)$，对称轴为直线$x=2$。
(2) 当$t=5$时，令$y=5$，即$x^2 - 4x = 5$，
整理得$x^2-4x-5=0$，因式分解得$(x+1)(x-5)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=5$，
结合$x_1＜x_2$，得$A(-1,5)$，$B(5,5)$。
(3) 点$C(m,n)$向右平移1个单位长度、向下平移2个单位长度后，得到点$D$的坐标为$(m+1,n-2)$。
因为C、D都在抛物线上，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}n=m^2-4m \\n-2=(m+1)^2-4(m+1)\end{cases}$
将第一个式子代入第二个式子化简：
$m^2-4m-2=m^2-2m-3$
解得$m=\frac{1}{2}$，代入$n=m^2-4m$得$n=(\frac{1}{2})^2-4×\frac{1}{2}=-\frac{7}{4}$。
【答案】
(1) 顶点坐标为$(2,-4)$，对称轴为直线$x=2$；
(2) $A(-1,5)$，$B(5,5)$；
(3) $n=-\frac{7}{4}$
【知识点】
1. 配方法化二次函数顶点式
2. 二次函数图象的性质
3. 坐标平移规律
【点评】
本题围绕二次函数基础考点设计，设问循序渐进，侧重考查基础知识掌握情况和基本运算能力，是二次函数章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 本小问考查用配方法转化二次函数解析式，思路是对二次项和一次项组合，加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数保证式子值不变，化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$后，直接对应得到顶点坐标$(h,k)$和对称轴直线$x=h$。
(2) A、B两点纵坐标相同，说明两点是抛物线上关于对称轴对称的点，将$y=t=5$代入抛物线解析式，解一元二次方程得到两个根，结合$x_1＜x_2$的条件即可确定A、B的坐标。
(3) 先根据“横坐标右加左减、纵坐标上加下减”的平移规则，由$C(m,n)$写出平移后点D的坐标，再将C、D两点坐标都代入抛物线解析式，联立方程组求解即可得到n的值。
【解析】
(1) 对抛物线解析式配方：
$\begin{aligned}y &= x^2 - 4x \\&= x^2 - 4x + 4 - 4 \\&= (x-2)^2 - 4\end{aligned}$
根据顶点式的性质，可得抛物线的顶点坐标为$(2,-4)$，对称轴为直线$x=2$。
(2) 当$t=5$时，令$y=5$，即$x^2 - 4x = 5$，
整理得$x^2-4x-5=0$，因式分解得$(x+1)(x-5)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=5$，
结合$x_1＜x_2$，得$A(-1,5)$，$B(5,5)$。
(3) 点$C(m,n)$向右平移1个单位长度、向下平移2个单位长度后，得到点$D$的坐标为$(m+1,n-2)$。
因为C、D都在抛物线上，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}n=m^2-4m \\n-2=(m+1)^2-4(m+1)\end{cases}$
将第一个式子代入第二个式子化简：
$m^2-4m-2=m^2-2m-3$
解得$m=\frac{1}{2}$，代入$n=m^2-4m$得$n=(\frac{1}{2})^2-4×\frac{1}{2}=-\frac{7}{4}$。
【答案】
(1) 顶点坐标为$(2,-4)$，对称轴为直线$x=2$；
(2) $A(-1,5)$，$B(5,5)$；
(3) $n=-\frac{7}{4}$
【知识点】
1. 配方法化二次函数顶点式
2. 二次函数图象的性质
3. 坐标平移规律
【点评】
本题围绕二次函数基础考点设计，设问循序渐进，侧重考查基础知识掌握情况和基本运算能力，是二次函数章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
