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1.如图，AB是$\odot O$的直径，P是$\odot O$外一点，PO交$\odot O$于点C，连接BC，PA.若$∠ P=44°$，PA与$\odot O$相切，则$∠ B$的度数为（
A.$20°$
B.$23°$
C.$26°$
D.$30°$
B
）A.$20°$
B.$23°$
C.$26°$
D.$30°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质，切线与过切点的半径垂直，得到直角△PAO，结合已知∠P的度数可求出圆心角∠AOP的度数；再利用同圆半径相等得到△OBC为等腰三角形，结合三角形外角的性质，即可推导出∠B与∠AOP的数量关系，进而求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵PA是⊙O的切线，A为切点
∴OA⊥PA，即∠PAO=90°
在Rt△PAO中，∠P=44°
∴∠AOP=90°-∠P=90°-44°=46°
∵OB、OC都是⊙O的半径
∴OB=OC，即△OBC为等腰三角形
∴∠B=∠OCB
又
∵∠AOP是△OBC的外角
∴∠AOP=∠B+∠OCB=2∠B
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠AOP=$\frac{1}{2}$×46°=23°
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将切线的性质、等腰三角形性质和三角形外角性质相结合进行考察，解题关键是熟练掌握圆相关的基础性质，通过角度转化即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据切线的性质，切线与过切点的半径垂直，得到直角△PAO，结合已知∠P的度数可求出圆心角∠AOP的度数；再利用同圆半径相等得到△OBC为等腰三角形，结合三角形外角的性质，即可推导出∠B与∠AOP的数量关系，进而求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵PA是⊙O的切线，A为切点
∴OA⊥PA，即∠PAO=90°
在Rt△PAO中，∠P=44°
∴∠AOP=90°-∠P=90°-44°=46°
∵OB、OC都是⊙O的半径
∴OB=OC，即△OBC为等腰三角形
∴∠B=∠OCB
又
∵∠AOP是△OBC的外角
∴∠AOP=∠B+∠OCB=2∠B
∴∠B=$\frac{1}{2}$∠AOP=$\frac{1}{2}$×46°=23°
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将切线的性质、等腰三角形性质和三角形外角性质相结合进行考察，解题关键是熟练掌握圆相关的基础性质，通过角度转化即可求解。
【难度系数】
0.7
2.如图，点B在$\odot A$上，点C在$\odot A$外，以下条件不能判定BC是$\odot A$切线的是（
A.$∠ A=50°,∠ C=40°$
B.$∠ B - ∠ C=∠ A$
C.$AB^2 + BC^2=AC^2$
D.$\odot A$与AC的交点是AC的中点
D
）A.$∠ A=50°,∠ C=40°$
B.$∠ B - ∠ C=∠ A$
C.$AB^2 + BC^2=AC^2$
D.$\odot A$与AC的交点是AC的中点
答案
2.D
解析
【分析】
要判定BC是$\odot A$的切线，根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，已知B在$\odot A$上，AB是半径，因此只需证明$AB⊥ BC$（即$∠ ABC=90°$）即可，我们结合三角形相关性质逐一验证各选项是否能推出$∠ ABC=90°$。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：已知$∠ A=50°,∠ C=40°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ ABC=180°-50°-40°=90°$，即$AB⊥ BC$，可判定BC是$\odot A$的切线，不符合题意。
选项B：已知$∠ B-∠ C=∠ A$，即$∠ B=∠ A+∠ C$，结合三角形内角和$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，代入得$2∠ B=180°$，解得$∠ B=90°$，即$AB⊥ BC$，可判定BC是$\odot A$的切线，不符合题意。
选项C：$AB^2+BC^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ B=90°$，即$AB⊥ BC$，可判定BC是$\odot A$的切线，不符合题意。
选项D：$\odot A$与AC的交点是AC的中点，仅能推出$AB=\frac{1}{2}AC$，无法证明$∠ B=90°$，不能判定BC是$\odot A$的切线，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；勾股定理逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题围绕切线的判定条件设置，解题核心是明确切线判定的关键是证明直线与对应半径垂直，结合三角形的角度、边长性质逐一验证选项即可，易错点是误将“一边等于另一边一半”直接等同于直角三角形。
【难度系数】
0.7
要判定BC是$\odot A$的切线，根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，已知B在$\odot A$上，AB是半径，因此只需证明$AB⊥ BC$（即$∠ ABC=90°$）即可，我们结合三角形相关性质逐一验证各选项是否能推出$∠ ABC=90°$。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：已知$∠ A=50°,∠ C=40°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ ABC=180°-50°-40°=90°$，即$AB⊥ BC$，可判定BC是$\odot A$的切线，不符合题意。
选项B：已知$∠ B-∠ C=∠ A$，即$∠ B=∠ A+∠ C$，结合三角形内角和$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，代入得$2∠ B=180°$，解得$∠ B=90°$，即$AB⊥ BC$，可判定BC是$\odot A$的切线，不符合题意。
选项C：$AB^2+BC^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，可得$△ ABC$是直角三角形，且$∠ B=90°$，即$AB⊥ BC$，可判定BC是$\odot A$的切线，不符合题意。
选项D：$\odot A$与AC的交点是AC的中点，仅能推出$AB=\frac{1}{2}AC$，无法证明$∠ B=90°$，不能判定BC是$\odot A$的切线，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；勾股定理逆定理；三角形内角和定理
【点评】
本题围绕切线的判定条件设置，解题核心是明确切线判定的关键是证明直线与对应半径垂直，结合三角形的角度、边长性质逐一验证选项即可，易错点是误将“一边等于另一边一半”直接等同于直角三角形。
【难度系数】
0.7
3.如图，将量角器和含$30°$角的一把直角三角尺紧靠着放在同一平面内，点B，C，D在同一条直线上，直径DC是直角边BC的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则$∠ EAC$的度数是________。
答案
3.$60°$
解析
【分析】
要求∠EAC的度数，首先回忆切线相关问题的常用辅助线：连接切点与圆心，可得半径与切线垂直。首先设量角器所在圆的圆心为DC的中点O，连接OE、OA；结合已知DC=2BC，可推得OC=BC，再结合直角三角尺的AC⊥BD，能得到AC垂直平分OB，可得∠OAC=∠BAC；再通过HL证明Rt△AEO和Rt△ACO全等，得到∠EAO=∠OAC，最后结合三角尺的30°角即可算出∠EAC的度数。
【解析】
设量角器圆弧所在圆的圆心为O（即DC的中点），连接OE、OA。
1. 因为DC是圆O的直径，所以$OC=\frac{1}{2}DC$，已知$DC=2BC$，因此$OC=BC$。
2. 由直角三角尺的性质可知$AC⊥ BD$，即$∠ ACO=∠ ACB=90°$，又$AC=AC$，所以$△ ACO≌△ ACB(\mathrm{SAS})$，因此$∠ OAC=∠ BAC$。
3. 已知三角尺为含$30°$角的直角三角尺，$∠ BAC=30°$，所以$∠ OAC=30°$。
4. 因为AE是圆O的切线，E为切点，根据切线的性质可得$OE⊥ AE$，即$∠ AEO=90°=∠ ACO$。
5. 又$OE=OC$（都是圆O的半径），$OA=OA$，所以$\mathrm{Rt}△ AEO≌\mathrm{Rt}△ ACO(\mathrm{HL})$，因此$∠ EAO=∠ OAC=30°$。
6. 所以$∠ EAC=∠ EAO+∠ OAC=30°+30°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
切线的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的切线性质的典型应用问题，解题关键是熟练掌握切线相关辅助线的添加方法，结合线段的数量关系推导角的等量关系，综合性较强，能很好地考察几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
要求∠EAC的度数，首先回忆切线相关问题的常用辅助线：连接切点与圆心，可得半径与切线垂直。首先设量角器所在圆的圆心为DC的中点O，连接OE、OA；结合已知DC=2BC，可推得OC=BC，再结合直角三角尺的AC⊥BD，能得到AC垂直平分OB，可得∠OAC=∠BAC；再通过HL证明Rt△AEO和Rt△ACO全等，得到∠EAO=∠OAC，最后结合三角尺的30°角即可算出∠EAC的度数。
【解析】
设量角器圆弧所在圆的圆心为O（即DC的中点），连接OE、OA。
1. 因为DC是圆O的直径，所以$OC=\frac{1}{2}DC$，已知$DC=2BC$，因此$OC=BC$。
2. 由直角三角尺的性质可知$AC⊥ BD$，即$∠ ACO=∠ ACB=90°$，又$AC=AC$，所以$△ ACO≌△ ACB(\mathrm{SAS})$，因此$∠ OAC=∠ BAC$。
3. 已知三角尺为含$30°$角的直角三角尺，$∠ BAC=30°$，所以$∠ OAC=30°$。
4. 因为AE是圆O的切线，E为切点，根据切线的性质可得$OE⊥ AE$，即$∠ AEO=90°=∠ ACO$。
5. 又$OE=OC$（都是圆O的半径），$OA=OA$，所以$\mathrm{Rt}△ AEO≌\mathrm{Rt}△ ACO(\mathrm{HL})$，因此$∠ EAO=∠ OAC=30°$。
6. 所以$∠ EAC=∠ EAO+∠ OAC=30°+30°=60°$。
【答案】
$60°$
【知识点】
切线的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的切线性质的典型应用问题，解题关键是熟练掌握切线相关辅助线的添加方法，结合线段的数量关系推导角的等量关系，综合性较强，能很好地考察几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
4.如图，O是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边AC上一点，以OA为半径的$\odot O$与边BC相切于点D.求证:AD平分$∠ BAC.$
答案
4.证明:如图,连接OD.
因为$\odot O$与边BC相切于点D,
所以$OD⊥BC$,即$∠ODC=90°$.
因为$△ ABC$为直角三角形,
所以$∠ODC=∠B=90°$,
所以$OD// AB$,
所以$∠1=∠3$.
因为$OD=OA$,
所以$∠1=∠2$,
所以$∠3=∠2$,
所以AD平分$∠BAC$.
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，即证∠2=∠3。首先遇到切线条件时，常规辅助线是连接圆心和切点，因此先连接OD，根据切线性质可得到OD⊥BC；结合Rt△ABC中∠B=90°，可推出OD与AB平行，得到内错角∠1=∠3；再根据OD和OA都是圆的半径，可知△ODA为等腰三角形，得∠1=∠2；最后通过等量代换即可证明∠2=∠3，得到AD平分∠BAC的结论。
【解析】
证明：如图，连接OD。
因为$\odot O$与边BC相切于点D，
所以$OD⊥BC$，即$∠ODC=90°$。
因为$△ ABC$为直角三角形，$∠B=90°$，
所以$∠ODC=∠B=90°$，
所以$OD// AB$，
所以$∠1=∠3$。
因为$OD=OA$，
所以$∠1=∠2$，
所以$∠3=∠2$，
所以AD平分$∠BAC$。
【答案】
证明:如图,连接OD.
因为$\odot O$与边BC相切于点D,
所以$OD⊥BC$,即$∠ODC=90°$.
因为$△ ABC$为直角三角形,
所以$∠ODC=∠B=90°$,
所以$OD// AB$,
所以$∠1=∠3$.
因为$OD=OA$,
所以$∠1=∠2$,
所以$∠3=∠2$,
所以AD平分$∠BAC$.
【知识点】
切线的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础典型题，关键要掌握切线问题中“见切点，连圆心，得垂直”的辅助线作法，结合平行线、等腰三角形的角的性质即可顺利推导。
【难度系数】
0.85
要证明AD平分∠BAC，即证∠2=∠3。首先遇到切线条件时，常规辅助线是连接圆心和切点，因此先连接OD，根据切线性质可得到OD⊥BC；结合Rt△ABC中∠B=90°，可推出OD与AB平行，得到内错角∠1=∠3；再根据OD和OA都是圆的半径，可知△ODA为等腰三角形，得∠1=∠2；最后通过等量代换即可证明∠2=∠3，得到AD平分∠BAC的结论。
【解析】
证明：如图，连接OD。
因为$\odot O$与边BC相切于点D，
所以$OD⊥BC$，即$∠ODC=90°$。
因为$△ ABC$为直角三角形，$∠B=90°$，
所以$∠ODC=∠B=90°$，
所以$OD// AB$，
所以$∠1=∠3$。
因为$OD=OA$，
所以$∠1=∠2$，
所以$∠3=∠2$，
所以AD平分$∠BAC$。
【答案】
证明:如图,连接OD.
因为$\odot O$与边BC相切于点D,
所以$OD⊥BC$,即$∠ODC=90°$.
因为$△ ABC$为直角三角形,
所以$∠ODC=∠B=90°$,
所以$OD// AB$,
所以$∠1=∠3$.
因为$OD=OA$,
所以$∠1=∠2$,
所以$∠3=∠2$,
所以AD平分$∠BAC$.
【知识点】
切线的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础典型题，关键要掌握切线问题中“见切点，连圆心，得垂直”的辅助线作法，结合平行线、等腰三角形的角的性质即可顺利推导。
【难度系数】
0.85
5.如图，AB是$\odot O$的弦，C为过点B的切线上一点，且$BC=AC$，D，E，F三点分别在AB，BC，AC上，且$AD = BE$，$AF = BD$，连接EF.
(1)求证：AC是$\odot O$的切线.
(2)若$∠ C=50°$，求$∠ EDF$的度数.
(1)求证：AC是$\odot O$的切线.
(2)若$∠ C=50°$，求$∠ EDF$的度数.
答案
5.(1)证明:如图,连接OA,OB.
因为$AC=BC$,
所以$∠CAB=∠CBA$.
因为$OA=OB$,
所以$∠OAB=∠OBA$,
所以$∠CAO=∠CBO$.
因为BC是$\odot O$的切线,
所以$∠CBO=90°$,所以$∠CAO=90°$.
因为OA是$\odot O$的半径,
所以AC是$\odot O$的切线.
(2)解:$∠EDF=65°$.
解析
【分析】
(1) 要证明AC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明AC垂直于过切点的半径，因此先连接OA、OB。已知BC是$\odot O$的切线，可得$∠ CBO=90°$；再结合AC=BC、OA=OB的等腰三角形等边对等角的性质，推导得出$∠ CAO=∠ CBO=90°$，即可证明OA⊥AC，从而证得AC是切线。
(2) 求$∠ EDF$的度数时，先根据已知边的等量关系$AD=BE$、$AF=BD$，结合$∠ A=∠ B$的条件证明$△ ADF≌△ BED$，再利用全等三角形对应角相等的性质进行角的转化，结合$△ ABC$的内角和计算出$∠ B$的度数，即可得到$∠ EDF$的度数。
【解析】
(1) 证明：如图，连接OA，OB。
$\because AC=BC$，
$\therefore ∠ CAB=∠ CBA$。
$\because OA=OB$，
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA$，
$\therefore ∠ CAB+∠ OAB=∠ CBA+∠ OBA$，即$∠ CAO=∠ CBO$。
$\because BC$是$\odot O$的切线，
$\therefore OB⊥ BC$，即$∠ CBO=90°$，
$\therefore ∠ CAO=90°$，即$OA⊥ AC$。
又$\because OA$是$\odot O$的半径，
$\therefore AC$是$\odot O$的切线。
(2) 解：在$△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ C=50°$，
$\therefore ∠ A=∠ B=\frac{180°-∠ C}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$。
在$△ ADF$和$△ BED$中：
$\begin{cases}AD=BE \\∠ A=∠ B \\AF=BD\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ BED(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ADF=∠ BED$。
$\because ∠ BED+∠ BDE+∠ B=180°$，$∠ ADF+∠ BDE+∠ EDF=180°$，
$\therefore ∠ EDF=∠ B=65°$。
【答案】
(1) 证明:如图,连接OA,OB.
因为$AC=BC$,
所以$∠CAB=∠CBA$.
因为$OA=OB$,
所以$∠OAB=∠OBA$,
所以$∠CAO=∠CBO$.
因为BC是$\odot O$的切线,
所以$∠CBO=90°$,所以$∠CAO=90°$.
因为OA是$\odot O$的半径,
所以AC是$\odot O$的切线.
(2)$∠EDF=65°$
【知识点】
切线的判定与性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，解题核心是合理添加辅助线，灵活运用等腰三角形、全等三角形的性质完成角的等量转化，能有效巩固基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明AC垂直于过切点的半径，因此先连接OA、OB。已知BC是$\odot O$的切线，可得$∠ CBO=90°$；再结合AC=BC、OA=OB的等腰三角形等边对等角的性质，推导得出$∠ CAO=∠ CBO=90°$，即可证明OA⊥AC，从而证得AC是切线。
(2) 求$∠ EDF$的度数时，先根据已知边的等量关系$AD=BE$、$AF=BD$，结合$∠ A=∠ B$的条件证明$△ ADF≌△ BED$，再利用全等三角形对应角相等的性质进行角的转化，结合$△ ABC$的内角和计算出$∠ B$的度数，即可得到$∠ EDF$的度数。
【解析】
(1) 证明：如图，连接OA，OB。
$\because AC=BC$，
$\therefore ∠ CAB=∠ CBA$。
$\because OA=OB$，
$\therefore ∠ OAB=∠ OBA$，
$\therefore ∠ CAB+∠ OAB=∠ CBA+∠ OBA$，即$∠ CAO=∠ CBO$。
$\because BC$是$\odot O$的切线，
$\therefore OB⊥ BC$，即$∠ CBO=90°$，
$\therefore ∠ CAO=90°$，即$OA⊥ AC$。
又$\because OA$是$\odot O$的半径，
$\therefore AC$是$\odot O$的切线。
(2) 解：在$△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ C=50°$，
$\therefore ∠ A=∠ B=\frac{180°-∠ C}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$。
在$△ ADF$和$△ BED$中：
$\begin{cases}AD=BE \\∠ A=∠ B \\AF=BD\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ BED(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ADF=∠ BED$。
$\because ∠ BED+∠ BDE+∠ B=180°$，$∠ ADF+∠ BDE+∠ EDF=180°$，
$\therefore ∠ EDF=∠ B=65°$。
【答案】
(1) 证明:如图,连接OA,OB.
因为$AC=BC$,
所以$∠CAB=∠CBA$.
因为$OA=OB$,
所以$∠OAB=∠OBA$,
所以$∠CAO=∠CBO$.
因为BC是$\odot O$的切线,
所以$∠CBO=90°$,所以$∠CAO=90°$.
因为OA是$\odot O$的半径,
所以AC是$\odot O$的切线.
(2)$∠EDF=65°$
【知识点】
切线的判定与性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础综合题，解题核心是合理添加辅助线，灵活运用等腰三角形、全等三角形的性质完成角的等量转化，能有效巩固基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
