登录
2.如图，在△ABO中，∠ABO=90°，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，延长BO到点C，连接AC。若∠CAO=∠BAO，求证：AC所在直线与⊙O相切。
答案
2.证明:如图,过点O作$ON⊥AC$于点N.
因为$∠CAO=∠BAO$,$OB⊥AB$,$ON⊥AC$,
所以$ON=OB$,所以点N在$\odot O$上,
所以AC所在直线与$\odot O$相切.
解析
【分析】
要证明AC是⊙O的切线，当直线与圆的公共点未明确给出时，需使用“作垂线，证半径”的判定思路：过圆心O向AC作垂线段，证明该垂线段的长度等于⊙O的半径即可。本题已知AO平分∠CAB，且OB⊥AB、OB是⊙O的半径，可结合角平分线的性质得到O到AC的距离等于半径，进而完成证明。
【解析】
1. 作辅助线：过点O作$ON⊥AC$，垂足为N。
2. 利用角平分线性质：已知$∠CAO=∠BAO$，$OB⊥AB$，$ON⊥AC$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$ON=OB$。
3. 判定切线：因为OB是⊙O的半径，所以ON也为⊙O的半径，即点N在⊙O上，又因为$ON⊥AC$，根据切线的判定定理，可得AC所在直线与⊙O相切。
【答案】
证明:如图,过点O作$ON⊥AC$于点N.
因为$∠CAO=∠BAO$,$OB⊥AB$,$ON⊥AC$,
所以$ON=OB$,所以点N在$\odot O$上,
所以AC所在直线与$\odot O$相切.
【知识点】
切线的判定，角平分线的性质
【点评】
本题属于切线判定的基础题型，核心考查切线判定的常用思路，解题的关键是根据已知条件合理选择辅助线：未明确直线与圆的公共点时，优先选择“作垂线、证半径”的方法解题。
【难度系数】
0.8
要证明AC是⊙O的切线，当直线与圆的公共点未明确给出时，需使用“作垂线，证半径”的判定思路：过圆心O向AC作垂线段，证明该垂线段的长度等于⊙O的半径即可。本题已知AO平分∠CAB，且OB⊥AB、OB是⊙O的半径，可结合角平分线的性质得到O到AC的距离等于半径，进而完成证明。
【解析】
1. 作辅助线：过点O作$ON⊥AC$，垂足为N。
2. 利用角平分线性质：已知$∠CAO=∠BAO$，$OB⊥AB$，$ON⊥AC$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$ON=OB$。
3. 判定切线：因为OB是⊙O的半径，所以ON也为⊙O的半径，即点N在⊙O上，又因为$ON⊥AC$，根据切线的判定定理，可得AC所在直线与⊙O相切。
【答案】
证明:如图,过点O作$ON⊥AC$于点N.
因为$∠CAO=∠BAO$,$OB⊥AB$,$ON⊥AC$,
所以$ON=OB$,所以点N在$\odot O$上,
所以AC所在直线与$\odot O$相切.
【知识点】
切线的判定，角平分线的性质
【点评】
本题属于切线判定的基础题型，核心考查切线判定的常用思路，解题的关键是根据已知条件合理选择辅助线：未明确直线与圆的公共点时，优先选择“作垂线、证半径”的方法解题。
【难度系数】
0.8
【例3】如图，PA是$\odot O$的切线，A为切点，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上的一点，PA=PC=AB，连接PO，AC交于点D.
(1)试说明PC是$\odot O$的切线.
(2)当AC=4时，求AB的长.
解：
(1)试说明PC是$\odot O$的切线.
(2)当AC=4时，求AB的长.
解：
答案
【例3】(1)证明:如图,连接OC.
因为PA是$\odot O$的切线,A为切点,
所以$PA⊥OA$,
所以$∠PAO=90°$.
因为$OC=OA$,$PC=PA$,$OP=OP$,
所以$△ POC≌△ POA$(SSS),
所以$∠PCO=∠PAO=90°$,
所以$OC⊥CP$.
又因为点C在$\odot O$上,
所以PC是$\odot O$的切线.
(2)解:因为$PA=PC$,$OC=OA$,
所以OP垂直平分AC.
所以$∠PDA=90°$,$AD=\frac{1}{2}AC=2$.
所以$∠APD=90°-∠PAD=∠BAC$.
因为AB是$\odot O$的直径,
所以$∠BCA=90°$.
所以$∠PDA=∠BCA$.
在$△ PAD$和$△ ABC$中,
$\begin{cases}∠APD=∠BAC,\\∠PDA=∠ACB,\\PA=AB,\end{cases}$
所以$△ PAD≌△ ABC$(AAS).
所以$BC=AD=2$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理,得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1) 要证明PC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明PC垂直于过点C的半径，因此先作辅助线连接OC。已知PA是$\odot O$的切线，可得$∠ PAO=90°$，结合题目给出的边相等的条件，可通过SSS证明$△ POC ≌ △ POA$，推出$∠ PCO=90°$即可完成证明。
(2) 要求AB的长，已知AC=4，首先根据$PA=PC$、$OC=OA$，可判断PO是AC的垂直平分线，得到$AD=2$且$∠ PDA=90°$；再结合AB是直径可得$∠ ACB=90°$，通过角的互余关系可推出$∠ APD=∠ BAC$，结合$PA=AB$的条件可证明$△ PAD ≌ △ ABC$，得到$BC=AD=2$，最后在$Rt△ ABC$中用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
(1) 证明:如图,连接OC.
因为PA是$\odot O$的切线,A为切点,
所以$PA⊥OA$,
所以$∠PAO=90°$.
因为$OC=OA$,$PC=PA$,$OP=OP$,
所以$△ POC≌△ POA$(SSS),
所以$∠PCO=∠PAO=90°$,
所以$OC⊥CP$.
又因为点C在$\odot O$上,
所以PC是$\odot O$的切线.
(2) 解:因为$PA=PC$,$OC=OA$,
所以OP垂直平分AC.
所以$∠PDA=90°$,$AD=\frac{1}{2}AC=2$.
所以$∠APD=90°-∠PAD=∠BAC$.
因为AB是$\odot O$的直径,
所以$∠BCA=90°$.
所以$∠PDA=∠BCA$.
在$△ PAD$和$△ ABC$中,
$\begin{cases}∠APD=∠BAC,\\∠PDA=∠ACB,\\PA=AB,\end{cases}$
所以$△ PAD≌△ ABC$(AAS).
所以$BC=AD=2$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理,得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.
【答案】
(1) PC是$\odot O$的切线，证明如上；
(2) AB的长为$2\sqrt{5}$。
【知识点】
切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，第一问考查切线判定的常用辅助线思路：连半径、证垂直，通过全等转化角度是常见解题方法；第二问结合垂直平分线、直径所对圆周角为直角的性质构造全等三角形转化线段长度，再用勾股定理求解，综合性适中，能很好地考查圆相关性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明PC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明PC垂直于过点C的半径，因此先作辅助线连接OC。已知PA是$\odot O$的切线，可得$∠ PAO=90°$，结合题目给出的边相等的条件，可通过SSS证明$△ POC ≌ △ POA$，推出$∠ PCO=90°$即可完成证明。
(2) 要求AB的长，已知AC=4，首先根据$PA=PC$、$OC=OA$，可判断PO是AC的垂直平分线，得到$AD=2$且$∠ PDA=90°$；再结合AB是直径可得$∠ ACB=90°$，通过角的互余关系可推出$∠ APD=∠ BAC$，结合$PA=AB$的条件可证明$△ PAD ≌ △ ABC$，得到$BC=AD=2$，最后在$Rt△ ABC$中用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
(1) 证明:如图,连接OC.
因为PA是$\odot O$的切线,A为切点,
所以$PA⊥OA$,
所以$∠PAO=90°$.
因为$OC=OA$,$PC=PA$,$OP=OP$,
所以$△ POC≌△ POA$(SSS),
所以$∠PCO=∠PAO=90°$,
所以$OC⊥CP$.
又因为点C在$\odot O$上,
所以PC是$\odot O$的切线.
(2) 解:因为$PA=PC$,$OC=OA$,
所以OP垂直平分AC.
所以$∠PDA=90°$,$AD=\frac{1}{2}AC=2$.
所以$∠APD=90°-∠PAD=∠BAC$.
因为AB是$\odot O$的直径,
所以$∠BCA=90°$.
所以$∠PDA=∠BCA$.
在$△ PAD$和$△ ABC$中,
$\begin{cases}∠APD=∠BAC,\\∠PDA=∠ACB,\\PA=AB,\end{cases}$
所以$△ PAD≌△ ABC$(AAS).
所以$BC=AD=2$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,由勾股定理,得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.
【答案】
(1) PC是$\odot O$的切线，证明如上；
(2) AB的长为$2\sqrt{5}$。
【知识点】
切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，第一问考查切线判定的常用辅助线思路：连半径、证垂直，通过全等转化角度是常见解题方法；第二问结合垂直平分线、直径所对圆周角为直角的性质构造全等三角形转化线段长度，再用勾股定理求解，综合性适中，能很好地考查圆相关性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
3.如图，AB为$\odot O$的切线，B为切点，过点B作$BC⊥ OA$，垂足为E，交$\odot O$于点C，延长CO与AB的延长线交于点D.
(1)求证：AC为$\odot O$的切线.
(2)若$OC=3$，$OD=5$，求线段AC的长.
(1)求证：AC为$\odot O$的切线.
(2)若$OC=3$，$OD=5$，求线段AC的长.
答案
3.(1)证明:如图,连接OB.
因为AB为$\odot O$的切线,所以$OB⊥AB$,
所以$∠OBA=90°$.
因为$OC=OB$,
所以$△ OBC$是等腰三角形.
因为$OA⊥BC$,所以$EC=BE$,
所以OA是CB的垂直平分线,
所以$AC=AB$.
因为$AO=AO$,
所以$△ CAO≌△ BAO$(SSS),
所以$∠OCA=∠OBA=90°$,即$OC⊥AC$.
又因为OC是$\odot O$的半径,
所以AC为$\odot O$的切线.
(2)解:$AC=6$.
解析
【分析】
(1)要证明AC为$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明AC垂直于$\odot O$的半径OC。首先连接OB，利用AB是切线可得$OB⊥AB$；再结合$OA⊥BC$、OC=OB，可推出OA是BC的垂直平分线，得到AC=AB，通过SSS证明$△ CAO≌△ BAO$，即可得到$∠OCA=∠OBA=90°$，从而证得结论。
(2)先在$Rt△ OBD$中，利用勾股定理求出BD的长度；再根据切线长相等得到AC=AB，设AC的长为x，用含x的式子表示AD的长度，最后在$Rt△ ACD$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)证明：如图，连接OB.
因为AB为$\odot O$的切线，B为切点，所以$OB⊥AB$，即$∠OBA=90°$。
因为OC、OB都是$\odot O$的半径，所以$OC=OB$，$△ OBC$是等腰三角形。
又因为$OA⊥BC$，根据等腰三角形三线合一，得$EC=BE$，即OA是线段CB的垂直平分线，所以$AC=AB$。
在$△ CAO$和$△ BAO$中：
$\{\begin{array}{l}OC=OB\\ AC=AB\\ AO=AO\end{array} $
所以$△ CAO≌△ BAO$（SSS），因此$∠OCA=∠OBA=90°$，即$OC⊥AC$。
又因为OC是$\odot O$的半径，所以AC为$\odot O$的切线。
(2)解：在$Rt△ OBD$中，$OB=OC=3$，$OD=5$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{OD^2-OB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
由(1)可知$AC=AB$，设$AC=x$，则$AB=x$，$AD=AB+BD=x+4$，$CD=OC+OD=3+5=8$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ACD=90°$，由勾股定理得：
$AC^2+CD^2=AD^2$，代入得$x^2+8^2=(x+4)^2$。
展开计算：$x^2+64=x^2+8x+16$，
移项化简得：$8x=48$，解得$x=6$。
【答案】
3.(1)证明:如图,连接OB.
因为AB为$\odot O$的切线,所以$OB⊥AB$,
所以$∠OBA=90°$.
因为$OC=OB$,
所以$△ OBC$是等腰三角形.
因为$OA⊥BC$,所以$EC=BE$,
所以OA是CB的垂直平分线,
所以$AC=AB$.
因为$AO=AO$,
所以$△ CAO≌△ BAO$(SSS),
所以$∠OCA=∠OBA=90°$,即$OC⊥AC$.
又因为OC是$\odot O$的半径,
所以AC为$\odot O$的切线.
(2)解:$AC=6$.
【知识点】
切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，将切线的判定、全等三角形、勾股定理相结合，解题的关键是正确作出辅助线，利用切线的性质构造直角关系，再通过勾股定理建立方程求解，有助于巩固圆的切线相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
(1)要证明AC为$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明AC垂直于$\odot O$的半径OC。首先连接OB，利用AB是切线可得$OB⊥AB$；再结合$OA⊥BC$、OC=OB，可推出OA是BC的垂直平分线，得到AC=AB，通过SSS证明$△ CAO≌△ BAO$，即可得到$∠OCA=∠OBA=90°$，从而证得结论。
(2)先在$Rt△ OBD$中，利用勾股定理求出BD的长度；再根据切线长相等得到AC=AB，设AC的长为x，用含x的式子表示AD的长度，最后在$Rt△ ACD$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)证明：如图，连接OB.
因为AB为$\odot O$的切线，B为切点，所以$OB⊥AB$，即$∠OBA=90°$。
因为OC、OB都是$\odot O$的半径，所以$OC=OB$，$△ OBC$是等腰三角形。
又因为$OA⊥BC$，根据等腰三角形三线合一，得$EC=BE$，即OA是线段CB的垂直平分线，所以$AC=AB$。
在$△ CAO$和$△ BAO$中：
$\{\begin{array}{l}OC=OB\\ AC=AB\\ AO=AO\end{array} $
所以$△ CAO≌△ BAO$（SSS），因此$∠OCA=∠OBA=90°$，即$OC⊥AC$。
又因为OC是$\odot O$的半径，所以AC为$\odot O$的切线。
(2)解：在$Rt△ OBD$中，$OB=OC=3$，$OD=5$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{OD^2-OB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
由(1)可知$AC=AB$，设$AC=x$，则$AB=x$，$AD=AB+BD=x+4$，$CD=OC+OD=3+5=8$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ACD=90°$，由勾股定理得：
$AC^2+CD^2=AD^2$，代入得$x^2+8^2=(x+4)^2$。
展开计算：$x^2+64=x^2+8x+16$，
移项化简得：$8x=48$，解得$x=6$。
【答案】
3.(1)证明:如图,连接OB.
因为AB为$\odot O$的切线,所以$OB⊥AB$,
所以$∠OBA=90°$.
因为$OC=OB$,
所以$△ OBC$是等腰三角形.
因为$OA⊥BC$,所以$EC=BE$,
所以OA是CB的垂直平分线,
所以$AC=AB$.
因为$AO=AO$,
所以$△ CAO≌△ BAO$(SSS),
所以$∠OCA=∠OBA=90°$,即$OC⊥AC$.
又因为OC是$\odot O$的半径,
所以AC为$\odot O$的切线.
(2)解:$AC=6$.
【知识点】
切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的综合基础题，将切线的判定、全等三角形、勾股定理相结合，解题的关键是正确作出辅助线，利用切线的性质构造直角关系，再通过勾股定理建立方程求解，有助于巩固圆的切线相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
