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1.圆的切线长:经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间
2.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长
线段
的长,叫作这点到圆的切线长.2.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长
相等
,并且这一点和圆心的连线平分
两条切线的夹角.答案
1.线段
2.相等 平分
2.相等 平分
解析
【分析】
本题为基础概念填空题，考查切线长的定义与切线长定理的内容，解题核心是准确记忆教材中的相关基础知识点。第1题需明确切线长是切线上两点之间的线段长度，要区别于切线（直线，无长度）的概念；第2题直接对应切线长定理的两个核心结论，回忆定理内容即可作答。
【解析】
1. 根据切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长，因此此处填“线段”。
2. 根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，因此两处依次填“相等”“平分”。
【答案】
1.线段
2.相等 平分
【知识点】
切线长的定义；切线长定理
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对教材核心概念、定理的掌握程度，牢记课本基础内容即可快速得分，是圆相关基础考点中的常见题型。
【难度系数】
0.9
本题为基础概念填空题，考查切线长的定义与切线长定理的内容，解题核心是准确记忆教材中的相关基础知识点。第1题需明确切线长是切线上两点之间的线段长度，要区别于切线（直线，无长度）的概念；第2题直接对应切线长定理的两个核心结论，回忆定理内容即可作答。
【解析】
1. 根据切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长，因此此处填“线段”。
2. 根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，因此两处依次填“相等”“平分”。
【答案】
1.线段
2.相等 平分
【知识点】
切线长的定义；切线长定理
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对教材核心概念、定理的掌握程度，牢记课本基础内容即可快速得分，是圆相关基础考点中的常见题型。
【难度系数】
0.9
【例1】如图，PA，PB为$\odot O$的两条切线，CD切$\odot O$于点E，分别交PA，PB于点C，D.F为$\odot O$上的点，连接AF，BF.若$PA = 5$，$∠ P = 40°$，则$△ PCD$的周长和$∠ AFB$的度数分别为（
A.$10,40°$
B.$10,80°$
C.$15,70°$
D.$10,70°$
D
）A.$10,40°$
B.$10,80°$
C.$15,70°$
D.$10,70°$
答案
D
解析
【分析】
解题时先从切线长定理入手求三角形周长，再结合切线性质、四边形内角和求圆心角，最后用圆周角定理求角的度数。①求△PCD周长：观察到CD由CE、DE组成，利用切线长定理，将CE替换为CA，DE替换为DB，把周长转化为PA+PB的和即可计算；②求∠AFB：先由切线垂直于过切点的半径，得∠OAP=∠OBP=90°，结合四边形内角和算出圆心角∠AOB，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠AFB的度数。
【解析】
1. 计算△PCD的周长：
∵PA、PB是$\odot O$的切线，CD切$\odot O$于点E
∴根据切线长定理可得：$PA=PB=5$，$CA=CE$，$DB=DE$
$△ PCD$的周长$=PC+CD+PD=PC+CE+ED+PD$
将$CE=CA$、$DE=DB$代入得：
周长$=PC+CA+DB+PD=PA+PB=5+5=10$
2. 计算$∠ AFB$的度数：
连接OA、OB
∵PA、PB是$\odot O$的切线
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
四边形OAPB内角和为$360°$，已知$∠ P=40°$
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-40°=140°$
∵$∠ AFB$是优弧AB所对的圆周角，同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半
∴$∠ AFB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×140°=70°$
综上，$△ PCD$周长为10，$∠ AFB$为$70°$，应选D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题是切线相关性质的基础综合题，解题核心是利用切线长定理完成周长的等量转换，再结合圆心角与圆周角的关系求解角度，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时先从切线长定理入手求三角形周长，再结合切线性质、四边形内角和求圆心角，最后用圆周角定理求角的度数。①求△PCD周长：观察到CD由CE、DE组成，利用切线长定理，将CE替换为CA，DE替换为DB，把周长转化为PA+PB的和即可计算；②求∠AFB：先由切线垂直于过切点的半径，得∠OAP=∠OBP=90°，结合四边形内角和算出圆心角∠AOB，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠AFB的度数。
【解析】
1. 计算△PCD的周长：
∵PA、PB是$\odot O$的切线，CD切$\odot O$于点E
∴根据切线长定理可得：$PA=PB=5$，$CA=CE$，$DB=DE$
$△ PCD$的周长$=PC+CD+PD=PC+CE+ED+PD$
将$CE=CA$、$DE=DB$代入得：
周长$=PC+CA+DB+PD=PA+PB=5+5=10$
2. 计算$∠ AFB$的度数：
连接OA、OB
∵PA、PB是$\odot O$的切线
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
四边形OAPB内角和为$360°$，已知$∠ P=40°$
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-40°=140°$
∵$∠ AFB$是优弧AB所对的圆周角，同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半
∴$∠ AFB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×140°=70°$
综上，$△ PCD$周长为10，$∠ AFB$为$70°$，应选D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，切线的性质，圆周角定理
【点评】
本题是切线相关性质的基础综合题，解题核心是利用切线长定理完成周长的等量转换，再结合圆心角与圆周角的关系求解角度，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
变式训练
1.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接AB，PO，PO交AB于点D，交⊙O于点C，CD=1，AB=4，则⊙O的半径长为
1.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接AB，PO，PO交AB于点D，交⊙O于点C，CD=1，AB=4，则⊙O的半径长为
2.5
.答案
2.5
解析
【分析】
看到PA、PB是⊙O从同一点P出发的两条切线，首先联想到切线长定理，可得PA=PB，且PO平分∠APB。结合等腰三角形“三线合一”的性质，可推出PO垂直平分AB，因此得到AD=½AB=2，且∠ODA=90°。要求圆的半径，我们可以设半径为r，将Rt△ODA的三边均用含r的代数式表示：OA=r，OD=r-CD=r-1，AD=2，最后利用勾股定理列方程即可求解r的值。
【解析】
解：设⊙O的半径长为r，则OA=OC=r。
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，
∴PA=PB，PO平分∠APB，
∴PO⊥AB，AD=BD=½AB=½×4=2。
∵CD=1，
∴OD=OC - CD = r - 1。
在Rt△ODA中，∠ODA=90°，由勾股定理得：
$OA^2 = OD^2 + AD^2$
代入得：$r^2 = (r - 1)^2 + 2^2$
展开得：$r^2 = r^2 - 2r + 1 + 4$
化简得：$2r = 5$
解得：$r = 2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
切线长定理、勾股定理、等腰三角形性质
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题型，解题核心是利用切线长定理得到垂直与线段相等的关系，构造直角三角形后通过勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
看到PA、PB是⊙O从同一点P出发的两条切线，首先联想到切线长定理，可得PA=PB，且PO平分∠APB。结合等腰三角形“三线合一”的性质，可推出PO垂直平分AB，因此得到AD=½AB=2，且∠ODA=90°。要求圆的半径，我们可以设半径为r，将Rt△ODA的三边均用含r的代数式表示：OA=r，OD=r-CD=r-1，AD=2，最后利用勾股定理列方程即可求解r的值。
【解析】
解：设⊙O的半径长为r，则OA=OC=r。
∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，
∴PA=PB，PO平分∠APB，
∴PO⊥AB，AD=BD=½AB=½×4=2。
∵CD=1，
∴OD=OC - CD = r - 1。
在Rt△ODA中，∠ODA=90°，由勾股定理得：
$OA^2 = OD^2 + AD^2$
代入得：$r^2 = (r - 1)^2 + 2^2$
展开得：$r^2 = r^2 - 2r + 1 + 4$
化简得：$2r = 5$
解得：$r = 2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
切线长定理、勾股定理、等腰三角形性质
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题型，解题核心是利用切线长定理得到垂直与线段相等的关系，构造直角三角形后通过勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
【例2】如图，P为$\odot O$外一点，PA，PB均为$\odot O$的切线，A和B是切点，BC是直径.求证：
(1)$∠ APB=2∠ ABC$.
(2)$AC// OP$.
证明：
【规律方法】
利用切线长定理解决证明问题
常用的辅助线构造技巧
(1)连接圆心与切点，构造直角三角形.
(2)连接两切点，构造等腰三角形.
(3)连接直径端点，利用直径所对圆周角为直角，构造直角三角形.
(4)连接圆心与弦的中点，结合垂径定理解决问题.
(1)$∠ APB=2∠ ABC$.
(2)$AC// OP$.
证明：
【规律方法】
利用切线长定理解决证明问题
常用的辅助线构造技巧
(1)连接圆心与切点，构造直角三角形.
(2)连接两切点，构造等腰三角形.
(3)连接直径端点，利用直径所对圆周角为直角，构造直角三角形.
(4)连接圆心与弦的中点，结合垂径定理解决问题.
答案
(1)设 AB 交 OP 于点 F,连接 AO(图略).
因为 PA,PB 均为$\odot O$的切线,A 和 B 是切点,所以$∠APO=∠BPO,PA=PB$,$OB⊥BP$,
所以$∠BPO+∠BOP=90^{\circ },∠APB=2∠BPO.$
因为$OA=OB$,
所以 PO 垂直平分 AB.
所以$∠OFB=90^{\circ }.$
所以$∠OBA+∠BOP=90^{\circ },$
所以$∠ABC=∠BPO.$
所以$∠APB=2∠ABC.$
(2)由(1)知$∠OFB=90^{\circ }.$
因为 BC 是$\odot O$的直径,
所以$∠CAB=90^{\circ }.$
所以$∠CAB=∠OFB.$所以$AC// OP.$
因为 PA,PB 均为$\odot O$的切线,A 和 B 是切点,所以$∠APO=∠BPO,PA=PB$,$OB⊥BP$,
所以$∠BPO+∠BOP=90^{\circ },∠APB=2∠BPO.$
因为$OA=OB$,
所以 PO 垂直平分 AB.
所以$∠OFB=90^{\circ }.$
所以$∠OBA+∠BOP=90^{\circ },$
所以$∠ABC=∠BPO.$
所以$∠APB=2∠ABC.$
(2)由(1)知$∠OFB=90^{\circ }.$
因为 BC 是$\odot O$的直径,
所以$∠CAB=90^{\circ }.$
所以$∠CAB=∠OFB.$所以$AC// OP.$
解析
【分析】
本题是切线相关的综合证明题，解题思路可分两问梳理：
(1) 要证$∠APB=2∠ABC$，首先根据切线长定理，PA、PB是圆的切线可得OP平分$∠APB$，即$∠APB=2∠BPO$，因此只需证$∠BPO=∠ABC$即可。先作辅助线：连接AO，设AB交OP于点F，由切线性质得$OB⊥BP$，结合$OA=OB$、$PA=PB$可推出PO垂直平分AB，可得$∠BPO$与$∠BOP$互余、$∠ABC$与$∠BOP$互余，根据同角的余角相等即可得$∠BPO=∠ABC$，进而推导出结论。
(2) 要证$AC// OP$，可通过同位角相等判定：已知BC是直径，由直径所对的圆周角是直角可得$∠CAB=90°$，由(1)的结论可得$OP⊥AB$即$∠OFB=90°$，两个直角为同位角，即可判定两直线平行。
【解析】
(1) 设AB交OP于点F，连接AO。
∵ PA、PB均为$\odot O$的切线，A、B为切点，
∴ $∠APO=∠BPO$，$PA=PB$，$OB⊥BP$，
∴ $∠BPO+∠BOP=90°$，$∠APB=2∠BPO$。
又
∵ $OA=OB$，
∴ PO垂直平分AB，
∴ $∠OFB=90°$，
∴ $∠OBA+∠BOP=90°$，
∴ $∠ABC=∠BPO$，
∴ $∠APB=2∠ABC$。
(2) 由(1)可知$∠OFB=90°$，
∵ BC是$\odot O$的直径，
∴ $∠CAB=90°$，
∴ $∠CAB=∠OFB$，
∴ $AC// OP$。
【答案】
(1) $∠APB=2∠ABC$得证；(2) $AC// OP$得证
【知识点】
切线长定理；圆周角定理；平行线的判定
【点评】
本题属于圆的基础综合题，主要考查切线长定理的应用和圆中常见辅助线的构造，解题时需灵活利用直角的性质完成角的等量转化，是切线相关证明的典型常规题型。
【难度系数】
0.7
本题是切线相关的综合证明题，解题思路可分两问梳理：
(1) 要证$∠APB=2∠ABC$，首先根据切线长定理，PA、PB是圆的切线可得OP平分$∠APB$，即$∠APB=2∠BPO$，因此只需证$∠BPO=∠ABC$即可。先作辅助线：连接AO，设AB交OP于点F，由切线性质得$OB⊥BP$，结合$OA=OB$、$PA=PB$可推出PO垂直平分AB，可得$∠BPO$与$∠BOP$互余、$∠ABC$与$∠BOP$互余，根据同角的余角相等即可得$∠BPO=∠ABC$，进而推导出结论。
(2) 要证$AC// OP$，可通过同位角相等判定：已知BC是直径，由直径所对的圆周角是直角可得$∠CAB=90°$，由(1)的结论可得$OP⊥AB$即$∠OFB=90°$，两个直角为同位角，即可判定两直线平行。
【解析】
(1) 设AB交OP于点F，连接AO。
∵ PA、PB均为$\odot O$的切线，A、B为切点，
∴ $∠APO=∠BPO$，$PA=PB$，$OB⊥BP$，
∴ $∠BPO+∠BOP=90°$，$∠APB=2∠BPO$。
又
∵ $OA=OB$，
∴ PO垂直平分AB，
∴ $∠OFB=90°$，
∴ $∠OBA+∠BOP=90°$，
∴ $∠ABC=∠BPO$，
∴ $∠APB=2∠ABC$。
(2) 由(1)可知$∠OFB=90°$，
∵ BC是$\odot O$的直径，
∴ $∠CAB=90°$，
∴ $∠CAB=∠OFB$，
∴ $AC// OP$。
【答案】
(1) $∠APB=2∠ABC$得证；(2) $AC// OP$得证
【知识点】
切线长定理；圆周角定理；平行线的判定
【点评】
本题属于圆的基础综合题，主要考查切线长定理的应用和圆中常见辅助线的构造，解题时需灵活利用直角的性质完成角的等量转化，是切线相关证明的典型常规题型。
【难度系数】
0.7
