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3.小明新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗.台灯的电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)满足反比例函数关系，其图象如图所示.
(1)求I关于R的函数解析式.
(2)若该台灯工作的最小电流为0.1 A，最大电流为0.25 A，分别求出该台灯在最小电流和最大电流下工作时，电阻R的值.
(1)求I关于R的函数解析式.
(2)若该台灯工作的最小电流为0.1 A，最大电流为0.25 A，分别求出该台灯在最小电流和最大电流下工作时，电阻R的值.
答案
解:(1)$I=\frac{220}{R}$.
(2)该台灯在最小电流下工作时,电阻$R$的值是2 200 $\Omega$,在最大电流下工作时,电阻$R$的值是880 $\Omega$.
(2)该台灯在最小电流下工作时,电阻$R$的值是2 200 $\Omega$,在最大电流下工作时,电阻$R$的值是880 $\Omega$.
解析
【分析】
(1) 由题意可知电流I与电阻R成反比例关系，可先设反比例函数的一般形式为$I=\frac{k}{R}$（$k≠0$，$R＞0$）。从图像中可读取一组对应值：当$R=1100\Omega$时，$I=0.2A$，将这组数值代入所设解析式，就能求出常数k，进而得到I关于R的函数解析式。
(2) 已知最小电流和最大电流，要求对应的电阻值，只需将两个电流值分别代入(1)中求得的函数解析式，解关于R的一元一次方程，即可得到对应的电阻值。
【解析】
(1) 设$I$关于$R$的反比例函数解析式为$I=\frac{k}{R}$（$k≠0$，$R＞0$）。
由函数图像可知，当$R=1100\Omega$时，$I=0.2A$，将其代入解析式得：
$0.2=\frac{k}{1100}$
解得$k=0.2×1100=220$
因此$I$关于$R$的函数解析式为$I=\frac{220}{R}$（$R＞0$）。
(2) ① 当台灯工作在最小电流$I=0.1A$时，代入$I=\frac{220}{R}$得：
$0.1=\frac{220}{R}$
解得$R=\frac{220}{0.1}=2200\Omega$
② 当台灯工作在最大电流$I=0.25A$时，代入$I=\frac{220}{R}$得：
$0.25=\frac{220}{R}$
解得$R=\frac{220}{0.25}=880\Omega$
【答案】
(1) $I=\frac{220}{R}$
(2) 最小电流下电阻值为$2200\Omega$，最大电流下电阻值为$880\Omega$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用，反比例函数求值
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题核心是先利用图像已知点求出函数解析式，再代入对应数值求解，侧重对基础方法的考查，和生活场景结合紧密。
【难度系数】
0.8
(1) 由题意可知电流I与电阻R成反比例关系，可先设反比例函数的一般形式为$I=\frac{k}{R}$（$k≠0$，$R＞0$）。从图像中可读取一组对应值：当$R=1100\Omega$时，$I=0.2A$，将这组数值代入所设解析式，就能求出常数k，进而得到I关于R的函数解析式。
(2) 已知最小电流和最大电流，要求对应的电阻值，只需将两个电流值分别代入(1)中求得的函数解析式，解关于R的一元一次方程，即可得到对应的电阻值。
【解析】
(1) 设$I$关于$R$的反比例函数解析式为$I=\frac{k}{R}$（$k≠0$，$R＞0$）。
由函数图像可知，当$R=1100\Omega$时，$I=0.2A$，将其代入解析式得：
$0.2=\frac{k}{1100}$
解得$k=0.2×1100=220$
因此$I$关于$R$的函数解析式为$I=\frac{220}{R}$（$R＞0$）。
(2) ① 当台灯工作在最小电流$I=0.1A$时，代入$I=\frac{220}{R}$得：
$0.1=\frac{220}{R}$
解得$R=\frac{220}{0.1}=2200\Omega$
② 当台灯工作在最大电流$I=0.25A$时，代入$I=\frac{220}{R}$得：
$0.25=\frac{220}{R}$
解得$R=\frac{220}{0.25}=880\Omega$
【答案】
(1) $I=\frac{220}{R}$
(2) 最小电流下电阻值为$2200\Omega$，最大电流下电阻值为$880\Omega$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用，反比例函数求值
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题核心是先利用图像已知点求出函数解析式，再代入对应数值求解，侧重对基础方法的考查，和生活场景结合紧密。
【难度系数】
0.8
【例4】验光师通过检测发现近视眼镜镜片的度数y(单位:度)与镜片焦距x(单位:m)成反比例，y关于x的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25 m调整到0.5 m，则小雪的近视眼镜镜片的度数减少了 (
A.100度
B.150度
C.200度
D.250度
【规律方法】
在物理的光学问题中，解题的关键是明确眼镜镜片的度数与镜片焦距是反比例函数关系，从而建立反比例函数模型，求出反比例函数解析式，再求解.
C
)A.100度
B.150度
C.200度
D.250度
【规律方法】
在物理的光学问题中，解题的关键是明确眼镜镜片的度数与镜片焦距是反比例函数关系，从而建立反比例函数模型，求出反比例函数解析式，再求解.
答案
C
解析
【分析】
已知近视眼镜镜片的度数y与镜片焦距x成反比例，我们可以先设反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，再结合函数图象给出的已知点$(0.2,500)$，代入求出常数k，得到完整的函数解析式。之后分别将焦距调整前后的x值代入解析式，求出对应的y值，作差即可得到度数减少的量。
【解析】
设y关于x的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
由图象可知，当$x=0.2$时，$y=500$，将其代入解析式得：
$500=\frac{k}{0.2}$，解得$k=0.2×500=100$，
因此函数解析式为$y=\frac{100}{x}(x＞0)$。
当$x=0.25\ \mathrm{m}$时，$y=\frac{100}{0.25}=400$（度）；
当$x=0.5\ \mathrm{m}$时，$y=\frac{100}{0.5}=200$（度）。
则镜片度数减少了$400-200=200$（度）。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的实际应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题关键是利用已知点求出反比例函数的解析式，再代入对应自变量计算即可，体现了数学知识在实际生活中的运用。
【难度系数】
0.7
已知近视眼镜镜片的度数y与镜片焦距x成反比例，我们可以先设反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，再结合函数图象给出的已知点$(0.2,500)$，代入求出常数k，得到完整的函数解析式。之后分别将焦距调整前后的x值代入解析式，求出对应的y值，作差即可得到度数减少的量。
【解析】
设y关于x的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
由图象可知，当$x=0.2$时，$y=500$，将其代入解析式得：
$500=\frac{k}{0.2}$，解得$k=0.2×500=100$，
因此函数解析式为$y=\frac{100}{x}(x＞0)$。
当$x=0.25\ \mathrm{m}$时，$y=\frac{100}{0.25}=400$（度）；
当$x=0.5\ \mathrm{m}$时，$y=\frac{100}{0.5}=200$（度）。
则镜片度数减少了$400-200=200$（度）。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的实际应用；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题关键是利用已知点求出反比例函数的解析式，再代入对应自变量计算即可，体现了数学知识在实际生活中的运用。
【难度系数】
0.7
4.近视眼镜镜片的度数$y$(单位:度)与镜片焦距$x$(单位:m)之间具有如图所示的反比例函数关系,若要配制一副度数小于400度的近视眼镜,则镜片焦距$x$的取值范围是 (
A.$0\ \mathrm{m}＜x＜0.25\ \mathrm{m}$
B.$x＞0.25\ \mathrm{m}$
C.$0\ \mathrm{m}＜x＜0.2\ \mathrm{m}$
D.$x＞0.2\ \mathrm{m}$
B
)A.$0\ \mathrm{m}＜x＜0.25\ \mathrm{m}$
B.$x＞0.25\ \mathrm{m}$
C.$0\ \mathrm{m}＜x＜0.2\ \mathrm{m}$
D.$x＞0.2\ \mathrm{m}$
答案
B
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：第一步，根据y与x成反比例函数关系，设出反比例函数的一般形式；第二步，利用图像给出的已知点坐标，用待定系数法求出反比例函数的解析式；第三步，结合题目要求“度数小于400度”列出不等式，结合自变量x（焦距）的实际意义（x＞0）解不等式，即可得到焦距的取值范围。
【解析】
设近视眼镜镜片度数y与镜片焦距x的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{k}{x}}$（$k≠0$，$x＞0$）。
由图像可知，函数过点$(0.5,200)$，将$x=0.5$，$y=200$代入解析式得：
$200=\frac{k}{0.5}$
解得$k=200×0.5=100$
因此函数解析式为$y=\frac{100}{x}$（$x＞0$）。
根据题意要求度数小于400度，即$y＜400$，代入解析式得：
$\frac{100}{x}＜400$
$\because$ 镜片焦距x为正数，即$x＞0$，不等式两边同时乘x，不等号方向不变：
$100＜400x$
解得$x＞0.25$
即镜片焦距的取值范围是$x＞0.25\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的性质
3. 实际问题中的不等式求解
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题的核心是先求出函数解析式，再根据限制条件列不等式求解，解题时需注意自变量的实际取值范围，避免解不等式时因忽略符号出错。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：第一步，根据y与x成反比例函数关系，设出反比例函数的一般形式；第二步，利用图像给出的已知点坐标，用待定系数法求出反比例函数的解析式；第三步，结合题目要求“度数小于400度”列出不等式，结合自变量x（焦距）的实际意义（x＞0）解不等式，即可得到焦距的取值范围。
【解析】
设近视眼镜镜片度数y与镜片焦距x的函数解析式为$\boldsymbol{y=\frac{k}{x}}$（$k≠0$，$x＞0$）。
由图像可知，函数过点$(0.5,200)$，将$x=0.5$，$y=200$代入解析式得：
$200=\frac{k}{0.5}$
解得$k=200×0.5=100$
因此函数解析式为$y=\frac{100}{x}$（$x＞0$）。
根据题意要求度数小于400度，即$y＜400$，代入解析式得：
$\frac{100}{x}＜400$
$\because$ 镜片焦距x为正数，即$x＞0$，不等式两边同时乘x，不等号方向不变：
$100＜400x$
解得$x＞0.25$
即镜片焦距的取值范围是$x＞0.25\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的性质
3. 实际问题中的不等式求解
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，解题的核心是先求出函数解析式，再根据限制条件列不等式求解，解题时需注意自变量的实际取值范围，避免解不等式时因忽略符号出错。
【难度系数】
0.7
1.已知博物馆到小明家的路程为8 km，小明从博物馆回家所需时间t(单位:h)随平均速度v(单位:km/h)的变化而变化，则t关于v的函数解析式为（
A.$t=8v$
B.$t=\frac{1}{8}v$
C.$t=\frac{8}{v}$
D.$t=8v^2$
C
）A.$t=8v$
B.$t=\frac{1}{8}v$
C.$t=\frac{8}{v}$
D.$t=8v^2$
答案
C
解析
【分析】
解决这类实际问题的函数解析式问题，首先要找到题目对应的核心等量关系。本题属于行程问题，核心等量关系为“路程=速度×时间”，已知路程是固定值8km，我们只需要对这个等量关系做变形，用含速度v的式子表示时间t，同时结合实际意义保证速度v为正数，即可得到对应的函数解析式，再匹配选项就能得出答案。
【解析】
解：根据行程问题的基本公式：$路程s=速度v×时间t$
已知博物馆到小明家的路程$s=8\mathrm{km}$，代入公式得：$8 = v· t$
将公式变形求t，两边同时除以v（$v＞0$，速度为正数，符合实际意义），可得：$t=\frac{8}{v}$
因此符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
行程问题基本公式；反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数在实际行程问题中的基础应用，解题关键是熟练掌握行程问题的等量关系，能正确对公式进行变形即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
解决这类实际问题的函数解析式问题，首先要找到题目对应的核心等量关系。本题属于行程问题，核心等量关系为“路程=速度×时间”，已知路程是固定值8km，我们只需要对这个等量关系做变形，用含速度v的式子表示时间t，同时结合实际意义保证速度v为正数，即可得到对应的函数解析式，再匹配选项就能得出答案。
【解析】
解：根据行程问题的基本公式：$路程s=速度v×时间t$
已知博物馆到小明家的路程$s=8\mathrm{km}$，代入公式得：$8 = v· t$
将公式变形求t，两边同时除以v（$v＞0$，速度为正数，符合实际意义），可得：$t=\frac{8}{v}$
因此符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
行程问题基本公式；反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数在实际行程问题中的基础应用，解题关键是熟练掌握行程问题的等量关系，能正确对公式进行变形即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
2.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流$I$(单位:A)与电阻$R$(单位:$\Omega$)是反比例函数关系，其图象如图所示.当电阻$R$大于$9\ \Omega$时，电流$I$可能是 (
A.3 A
B.4 A
C.5 A
D.6 A
A
) A.3 A
B.4 A
C.5 A
D.6 A
答案
A
解析
【分析】
本题是反比例函数在电学中的实际应用，解题思路如下：首先根据电流与电阻成反比例关系，设出反比例函数的一般形式；再利用图象给出的已知点坐标，用待定系数法求出函数解析式，确定蓄电池的电压；最后结合反比例函数的增减性，判断当R＞9Ω时电流I的取值范围，对应选出符合条件的选项即可。
【解析】
解：
∵电流I与电阻R是反比例函数关系，
∴设该反比例函数的解析式为$ I=\frac{k}{R} $（$ k≠0, R＞0 $）。
由图象可知，函数图象过点$(9,4)$，将$ R=9 $，$ I=4 $代入解析式得：
$ 4=\frac{k}{9} $，解得$ k=4×9=36 $，
∴函数解析式为$ I=\frac{36}{R} $。
∵$ k=36＞0 $，且$ R＞0 $，
∴在第一象限内，I随R的增大而减小，
当$ R＞9\ \Omega $时，$ I＜\frac{36}{9}=4\ \mathrm{A} $，
结合选项，只有3A小于4A，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合物理电学背景考查反比例函数的相关知识，解题的核心是先求出反比例函数解析式，再利用函数的增减性判断电流的取值范围，注重对基础知识点和跨学科应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
本题是反比例函数在电学中的实际应用，解题思路如下：首先根据电流与电阻成反比例关系，设出反比例函数的一般形式；再利用图象给出的已知点坐标，用待定系数法求出函数解析式，确定蓄电池的电压；最后结合反比例函数的增减性，判断当R＞9Ω时电流I的取值范围，对应选出符合条件的选项即可。
【解析】
解：
∵电流I与电阻R是反比例函数关系，
∴设该反比例函数的解析式为$ I=\frac{k}{R} $（$ k≠0, R＞0 $）。
由图象可知，函数图象过点$(9,4)$，将$ R=9 $，$ I=4 $代入解析式得：
$ 4=\frac{k}{9} $，解得$ k=4×9=36 $，
∴函数解析式为$ I=\frac{36}{R} $。
∵$ k=36＞0 $，且$ R＞0 $，
∴在第一象限内，I随R的增大而减小，
当$ R＞9\ \Omega $时，$ I＜\frac{36}{9}=4\ \mathrm{A} $，
结合选项，只有3A小于4A，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合物理电学背景考查反比例函数的相关知识，解题的核心是先求出反比例函数解析式，再利用函数的增减性判断电流的取值范围，注重对基础知识点和跨学科应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
