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任务 利用一次函数解决实际问题
阅读材料，完成下列探究。
甲、乙两个制作团队分别同时制作两类文创产品，制作的产品数量y(单位：件)与时间x(单位：天)之间的函数关系如图所示。
探究1：甲团队在开工后6天内，每天制作文创产品
探究2：当2≤x≤6时，求乙团队制作的产品数量y关于时间x的函数表达式。
探究3：请直接写出x为何值时，甲、乙两个团队制作的文创产品数量相差100件。
阅读材料，完成下列探究。
甲、乙两个制作团队分别同时制作两类文创产品，制作的产品数量y(单位：件)与时间x(单位：天)之间的函数关系如图所示。
探究1：甲团队在开工后6天内，每天制作文创产品
200
件。探究2：当2≤x≤6时，求乙团队制作的产品数量y关于时间x的函数表达式。
探究3：请直接写出x为何值时，甲、乙两个团队制作的文创产品数量相差100件。
答案
探究1：200
探究2：解：由题意可知前两天一共制作了600件，从第2天开始平均每天制作$\frac{1000-600}{6-2}$=100(件)。
根据题意，得$y=600+100(x-2)=100x+400$。
所以$y=100x+400(2≤ x≤ 6)$。
探究3：解：当$x=1$或$x=3$或$x=5$时，甲、乙两个团队制作的文创产品数量相差100件。
探究2：解：由题意可知前两天一共制作了600件，从第2天开始平均每天制作$\frac{1000-600}{6-2}$=100(件)。
根据题意，得$y=600+100(x-2)=100x+400$。
所以$y=100x+400(2≤ x≤ 6)$。
探究3：解：当$x=1$或$x=3$或$x=5$时，甲、乙两个团队制作的文创产品数量相差100件。
解析
【分析】
探究1：要求甲团队日均制作量，从图象读取甲6天的总产量，用总产量除以总天数即可直接计算得到结果。
探究2：求2≤x≤6时乙的函数表达式，首先从图象提取该段函数经过的两个点(2,600)和(6,1000)，先计算该段乙的日均产量，再根据“总产出=前2天产量+后续天数产出”的关系列表达式，也可通过待定系数法设一次函数解析式代入两点求解，符合一次函数的求解逻辑。
探究3：要找两团队产量相差100件的x值，需先写出甲、乙全段的函数解析式，分0≤x＜2和2≤x≤6两段讨论，根据“产量差的绝对值为100”列方程求解，最后验证解是否在对应取值范围内即可。
【解析】
探究1：由图象可知，甲6天共制作1200件文创产品，
日均制作量为：$1200÷6=200$（件）。
探究2：当$2≤ x≤6$时，乙团队的函数图象过点$(2,600)$和$(6,1000)$，
该段乙的日均制作量为：$\frac{1000-600}{6-2}=100$（件），
则总产出为前2天的600件加上超出2天部分的产量，即：
$y=600+100(x-2)$，
整理得：$y=100x+400\quad(2≤ x≤6)$。
探究3：先写出两个团队的产量函数：
①甲的解析式：日均产200件，故$y_甲=200x\quad(0≤ x≤6)$；
②乙的解析式：当$0≤ x＜2$时，日均产$600÷2=300$件，故$y_乙=300x$；当$2≤ x≤6$时，$y_乙=100x+400$。
根据产量相差100件，即$\left|y_甲-y_乙\right|=100$，分情况求解：
1. 当$0≤ x＜2$时，$\left|200x-300x\right|=100$，解得$x=1$，符合取值范围；
2. 当$2≤ x≤6$时，$\left|200x-(100x+400)\right|=100$，即$\left|100x-400\right|=100$，
解得$x=3$或$x=5$，均符合取值范围。
综上，符合要求的x值为1、3、5。
【答案】
探究1：$\boldsymbol{200}$
探究2：$\boldsymbol{y=100x+400(2≤ x≤6)}$
探究3：$\boldsymbol{x=1}$或$\boldsymbol{x=3}$或$\boldsymbol{x=5}$
【知识点】
一次函数的应用，一次函数解析式求解，分类讨论思想
【点评】
本题以实际生产场景为载体，结合函数图象考查一次函数的相关应用，要求学生能准确提取图象中的坐标信息，掌握一次函数解析式的求解方法，求解产量差问题时需注意分段讨论避免漏解，可有效锻炼学生的读图分析能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
探究1：要求甲团队日均制作量，从图象读取甲6天的总产量，用总产量除以总天数即可直接计算得到结果。
探究2：求2≤x≤6时乙的函数表达式，首先从图象提取该段函数经过的两个点(2,600)和(6,1000)，先计算该段乙的日均产量，再根据“总产出=前2天产量+后续天数产出”的关系列表达式，也可通过待定系数法设一次函数解析式代入两点求解，符合一次函数的求解逻辑。
探究3：要找两团队产量相差100件的x值，需先写出甲、乙全段的函数解析式，分0≤x＜2和2≤x≤6两段讨论，根据“产量差的绝对值为100”列方程求解，最后验证解是否在对应取值范围内即可。
【解析】
探究1：由图象可知，甲6天共制作1200件文创产品，
日均制作量为：$1200÷6=200$（件）。
探究2：当$2≤ x≤6$时，乙团队的函数图象过点$(2,600)$和$(6,1000)$，
该段乙的日均制作量为：$\frac{1000-600}{6-2}=100$（件），
则总产出为前2天的600件加上超出2天部分的产量，即：
$y=600+100(x-2)$，
整理得：$y=100x+400\quad(2≤ x≤6)$。
探究3：先写出两个团队的产量函数：
①甲的解析式：日均产200件，故$y_甲=200x\quad(0≤ x≤6)$；
②乙的解析式：当$0≤ x＜2$时，日均产$600÷2=300$件，故$y_乙=300x$；当$2≤ x≤6$时，$y_乙=100x+400$。
根据产量相差100件，即$\left|y_甲-y_乙\right|=100$，分情况求解：
1. 当$0≤ x＜2$时，$\left|200x-300x\right|=100$，解得$x=1$，符合取值范围；
2. 当$2≤ x≤6$时，$\left|200x-(100x+400)\right|=100$，即$\left|100x-400\right|=100$，
解得$x=3$或$x=5$，均符合取值范围。
综上，符合要求的x值为1、3、5。
【答案】
探究1：$\boldsymbol{200}$
探究2：$\boldsymbol{y=100x+400(2≤ x≤6)}$
探究3：$\boldsymbol{x=1}$或$\boldsymbol{x=3}$或$\boldsymbol{x=5}$
【知识点】
一次函数的应用，一次函数解析式求解，分类讨论思想
【点评】
本题以实际生产场景为载体，结合函数图象考查一次函数的相关应用，要求学生能准确提取图象中的坐标信息，掌握一次函数解析式的求解方法，求解产量差问题时需注意分段讨论避免漏解，可有效锻炼学生的读图分析能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
即时测评
小明和爸爸各买了一个保温壶，分别记为甲和乙。小明对这两个保温壶进行了保温测试，他同时分别向甲、乙两个保温壶中倒入了同样多的90 ℃的热水，经过一段时间的测试发现：乙的保温性能更好，且这段时间内，甲、乙两壶中的水温y（单位：℃）与时间x（单位：min）之间都近似满足一次函数关系，其函数图象如图所示。根据相关信息，解答下列问题：
(1)求乙壶中的水温y关于x的函数表达式；（不必写自变量的取值范围）
(2)当乙壶中的水温是70 ℃时，求甲壶中水的温度是多少。
小明和爸爸各买了一个保温壶，分别记为甲和乙。小明对这两个保温壶进行了保温测试，他同时分别向甲、乙两个保温壶中倒入了同样多的90 ℃的热水，经过一段时间的测试发现：乙的保温性能更好，且这段时间内，甲、乙两壶中的水温y（单位：℃）与时间x（单位：min）之间都近似满足一次函数关系，其函数图象如图所示。根据相关信息，解答下列问题：
(1)求乙壶中的水温y关于x的函数表达式；（不必写自变量的取值范围）
(2)当乙壶中的水温是70 ℃时，求甲壶中水的温度是多少。
答案
(1)$y=-\frac{1}{10}x+90$。
(2)当乙壶中的水温是70 ℃时，甲壶中水的温度是50 ℃。
(2)当乙壶中的水温是70 ℃时，甲壶中水的温度是50 ℃。
解析
【分析】
(1) 求乙壶的水温函数表达式，我们用待定系数法，一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，从图像中可提取乙的函数经过的两个点：初始点$(0,90)$和300min时的点$(300,60)$，将两点代入解析式即可求出$k$和$b$，得到乙的函数表达式。
(2) 先将$y=70$代入乙的函数表达式，求出对应的时间$x$；再用同样的待定系数法求出甲壶的水温函数表达式，将得到的$x$代入甲的解析式，即可算出此时甲壶的水温。
【解析】
(1) 设乙壶中水温$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
由函数图象可知，该函数过点$(0,90)$和$(300,60)$：
将$(0,90)$代入得：$b=90$；
将$(300,60)$、$b=90$代入得：$60=300k+90$，
解得$k=\frac{60-90}{300}=-\frac{1}{10}$。
因此乙壶的水温函数表达式为$y=-\frac{1}{10}x+90$。
(2) 先求甲壶的水温函数表达式，设甲的解析式为$y=mx+n(m≠0)$：
甲的函数图象过点$(0,90)$和$(300,30)$，
将$(0,90)$代入得$n=90$；
将$(300,30)$、$n=90$代入得$30=300m+90$，
解得$m=\frac{30-90}{300}=-\frac{1}{5}$，即甲的解析式为$y=-\frac{1}{5}x+90$。
当乙壶水温为$70° C$时，将$y=70$代入乙的解析式：
$70=-\frac{1}{10}x+90$，
解得$x=200$。
将$x=200$代入甲的解析式得：
$y=-\frac{1}{5}×200+90=50(° C)$。
【答案】
(1)$y=-\frac{1}{10}x+90$
(2)$50° C$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数应用，图像信息提取
【点评】
本题结合生活中的保温场景考查一次函数的相关应用，解题核心是从图像中获取对应点的坐标，熟练运用待定系数法求解函数解析式，再代入数值计算即可，需要注意计算过程中系数的正负避免出错。
【难度系数】
0.7
(1) 求乙壶的水温函数表达式，我们用待定系数法，一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，从图像中可提取乙的函数经过的两个点：初始点$(0,90)$和300min时的点$(300,60)$，将两点代入解析式即可求出$k$和$b$，得到乙的函数表达式。
(2) 先将$y=70$代入乙的函数表达式，求出对应的时间$x$；再用同样的待定系数法求出甲壶的水温函数表达式，将得到的$x$代入甲的解析式，即可算出此时甲壶的水温。
【解析】
(1) 设乙壶中水温$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
由函数图象可知，该函数过点$(0,90)$和$(300,60)$：
将$(0,90)$代入得：$b=90$；
将$(300,60)$、$b=90$代入得：$60=300k+90$，
解得$k=\frac{60-90}{300}=-\frac{1}{10}$。
因此乙壶的水温函数表达式为$y=-\frac{1}{10}x+90$。
(2) 先求甲壶的水温函数表达式，设甲的解析式为$y=mx+n(m≠0)$：
甲的函数图象过点$(0,90)$和$(300,30)$，
将$(0,90)$代入得$n=90$；
将$(300,30)$、$n=90$代入得$30=300m+90$，
解得$m=\frac{30-90}{300}=-\frac{1}{5}$，即甲的解析式为$y=-\frac{1}{5}x+90$。
当乙壶水温为$70° C$时，将$y=70$代入乙的解析式：
$70=-\frac{1}{10}x+90$，
解得$x=200$。
将$x=200$代入甲的解析式得：
$y=-\frac{1}{5}×200+90=50(° C)$。
【答案】
(1)$y=-\frac{1}{10}x+90$
(2)$50° C$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数应用，图像信息提取
【点评】
本题结合生活中的保温场景考查一次函数的相关应用，解题核心是从图像中获取对应点的坐标，熟练运用待定系数法求解函数解析式，再代入数值计算即可，需要注意计算过程中系数的正负避免出错。
【难度系数】
0.7
