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1. 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（
C
）答案
1.C
解析
【分析】
要判断三角形的类型，需结合三角形按角分类的规则分析：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的是直角三角形，三个角都是锐角的是锐角三角形，只需确定三角形最大内角的类型即可判断类别。
逐个分析选项：选项B和D露出的角是钝角，可直接判定为钝角三角形；选项A露出了2个内角，结合三角形内角和为180°，可以算出第三个角的度数，进而判断类型；选项C仅露出1个锐角，无法确定剩余两个角中是否存在直角或钝角，也就无法确定最大角的类型，因此不能判断三角形类型。
【解析】
解：根据三角形按角的分类规则和内角和定理分析：
1. 选项B、D：露出的内角为钝角，因此这两个三角形都属于钝角三角形，可以判断类型；
2. 选项A：露出2个内角，利用三角形内角和为180°，可计算出第三个内角的度数，因此可以判断三角形类型；
3. 选项C：仅露出1个锐角，剩余的两个内角可能有直角、钝角，也可能都是锐角，无法确定最大内角的类型，因此不能判断三角形类型。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的分类；三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形分类的实际应用，解题的关键是明确判断三角形类型只需确定其最大内角的类型，仅知道一个锐角无法确定三角形的具体类别。
【难度系数】
0.8
要判断三角形的类型，需结合三角形按角分类的规则分析：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的是直角三角形，三个角都是锐角的是锐角三角形，只需确定三角形最大内角的类型即可判断类别。
逐个分析选项：选项B和D露出的角是钝角，可直接判定为钝角三角形；选项A露出了2个内角，结合三角形内角和为180°，可以算出第三个角的度数，进而判断类型；选项C仅露出1个锐角，无法确定剩余两个角中是否存在直角或钝角，也就无法确定最大角的类型，因此不能判断三角形类型。
【解析】
解：根据三角形按角的分类规则和内角和定理分析：
1. 选项B、D：露出的内角为钝角，因此这两个三角形都属于钝角三角形，可以判断类型；
2. 选项A：露出2个内角，利用三角形内角和为180°，可计算出第三个内角的度数，因此可以判断三角形类型；
3. 选项C：仅露出1个锐角，剩余的两个内角可能有直角、钝角，也可能都是锐角，无法确定最大内角的类型，因此不能判断三角形类型。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的分类；三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形分类的实际应用，解题的关键是明确判断三角形类型只需确定其最大内角的类型，仅知道一个锐角无法确定三角形的具体类别。
【难度系数】
0.8
2. 若$△ ABC$的三个内角的比为$2:5:3$，则$△ ABC$的形状是（
A.等腰三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
C
）A.等腰三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先明确三角形内角和为180°，已知三个内角的比例关系，可通过设每份角度为未知数，根据内角和列方程求出各角的度数，再根据最大角的度数判断三角形的形状。具体步骤为：先根据比例设三个内角分别为2x、5x、3x，再结合内角和列方程求解x，最后计算最大角的度数判断形状。
【解析】
设△ABC的三个内角分别为2x、5x、3x。
根据三角形内角和定理，三个内角之和为180°，可列方程：
$2x + 5x + 3x = 180°$
合并同类项得：$10x = 180°$
解得：$x = 18°$
则最大内角的度数为$5x = 5×18° = 90°$，有一个角是直角的三角形是直角三角形，因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；按比例分配；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和定理的应用，通过比例关系设未知量求解角度是这类题的常用解法，熟练掌握内角和定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确三角形内角和为180°，已知三个内角的比例关系，可通过设每份角度为未知数，根据内角和列方程求出各角的度数，再根据最大角的度数判断三角形的形状。具体步骤为：先根据比例设三个内角分别为2x、5x、3x，再结合内角和列方程求解x，最后计算最大角的度数判断形状。
【解析】
设△ABC的三个内角分别为2x、5x、3x。
根据三角形内角和定理，三个内角之和为180°，可列方程：
$2x + 5x + 3x = 180°$
合并同类项得：$10x = 180°$
解得：$x = 18°$
则最大内角的度数为$5x = 5×18° = 90°$，有一个角是直角的三角形是直角三角形，因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；按比例分配；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和定理的应用，通过比例关系设未知量求解角度是这类题的常用解法，熟练掌握内角和定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 下列条件：①$∠ A+∠ B=∠ C$；②$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$；③$∠ A=90°-∠ B$；④$∠ A=∠ B=∠ C$；⑤$∠ A=2∠ B=3∠ C$。其中，能确定$△ ABC$是直角三角形的条件有（
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
C
）A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
3.C
解析
【分析】
解题核心依据是三角形内角和为180°，若能通过条件推导出三角形有一个内角为90°，即可判定为直角三角形。我们只需将每个条件分别结合三角形内角和定理计算，验证是否存在90°的内角即可。
【解析】
已知任意三角形内角和为$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，逐个验证条件：
1. 对条件①：将$∠ A+∠ B=∠ C$代入内角和公式，得$∠ C+∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，可判定是直角三角形；
2. 对条件②：设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，可判定是直角三角形；
3. 对条件③：将$∠ A=90°-∠ B$移项得$∠ A+∠ B=90°$，则$∠ C=180°-90°=90°$，可判定是直角三角形；
4. 对条件④：$∠ A=∠ B=∠ C$，则每个角度数为$180°÷3=60°$，是等边三角形，不是直角三角形；
5. 对条件⑤：设$∠ A=3k$，则$∠ B=\frac{3}{2}k$，$∠ C=k$，代入得$3k+\frac{3}{2}k+k=180°$，解得$k=\frac{360°}{11}$，最大角$∠ A=\frac{1080°}{11}\approx98.2°≠90°$，不是直角三角形。
综上，能确定是直角三角形的条件有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形判定；角度计算
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题，需要结合内角和定理逐个验证条件，易错点是处理条件⑤时容易误判，需仔细计算角度后再判断。
【难度系数】
0.7
解题核心依据是三角形内角和为180°，若能通过条件推导出三角形有一个内角为90°，即可判定为直角三角形。我们只需将每个条件分别结合三角形内角和定理计算，验证是否存在90°的内角即可。
【解析】
已知任意三角形内角和为$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，逐个验证条件：
1. 对条件①：将$∠ A+∠ B=∠ C$代入内角和公式，得$∠ C+∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，可判定是直角三角形；
2. 对条件②：设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入得$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，可判定是直角三角形；
3. 对条件③：将$∠ A=90°-∠ B$移项得$∠ A+∠ B=90°$，则$∠ C=180°-90°=90°$，可判定是直角三角形；
4. 对条件④：$∠ A=∠ B=∠ C$，则每个角度数为$180°÷3=60°$，是等边三角形，不是直角三角形；
5. 对条件⑤：设$∠ A=3k$，则$∠ B=\frac{3}{2}k$，$∠ C=k$，代入得$3k+\frac{3}{2}k+k=180°$，解得$k=\frac{360°}{11}$，最大角$∠ A=\frac{1080°}{11}\approx98.2°≠90°$，不是直角三角形。
综上，能确定是直角三角形的条件有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形判定；角度计算
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题，需要结合内角和定理逐个验证条件，易错点是处理条件⑤时容易误判，需仔细计算角度后再判断。
【难度系数】
0.7
探究1：如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$与$∠ B$有什么关系？请说明理由。
探究2：在$△ ABC$中，若$∠ A$与$∠ B$互余，你能确定三角形的形状吗？为什么？
探究2：在$△ ABC$中，若$∠ A$与$∠ B$互余，你能确定三角形的形状吗？为什么？
答案
探究1 解：$∠ A$与$∠ B$互余。理由如下：
因为$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，$∠ C=90°$，
所以$∠ A+∠ B=180°-90°=90°$，
即$∠ A$与$∠ B$互余。
探究2 解：$△ ABC$是直角三角形。理由如下：
因为$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，$∠ A+∠ B=90°$，
所以$∠ C=180°-90°=90°$。所以$△ ABC$是直角三角形。
因为$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，$∠ C=90°$，
所以$∠ A+∠ B=180°-90°=90°$，
即$∠ A$与$∠ B$互余。
探究2 解：$△ ABC$是直角三角形。理由如下：
因为$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，$∠ A+∠ B=90°$，
所以$∠ C=180°-90°=90°$。所以$△ ABC$是直角三角形。
解析
【分析】
解答本题首先要明确三角形内角和为180°这个基础定理。探究1已知三角形是直角三角形，有一个内角为90°，用内角和减去直角的度数，就能得到另外两个角的和，再结合互余的定义即可判断两角关系；探究2已知两个角互余即两角和为90°，用内角和减去这两个角的和得到第三个角的度数，根据直角三角形的定义即可判断三角形形状。
【解析】
探究1
∠A与∠B互余，理由如下：
∵ 三角形的内角和为180°，即$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，且$∠ C=90°$，
∴ $∠ A + ∠ B = 180° - ∠ C = 180° - 90° = 90°$，
即∠A与∠B互余。
探究2
$△ ABC$是直角三角形，理由如下：
∵ 三角形的内角和为180°，即$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，且∠A与∠B互余，即$∠ A + ∠ B =90°$，
∴ $∠ C = 180° - (∠ A + ∠ B) = 180° -90° =90°$，
∴ $△ ABC$是直角三角形。
【答案】
探究1：∠A与∠B互余；
探究2：$△ ABC$是直角三角形。
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；直角三角形的判定
【点评】
本题围绕直角三角形角的性质与判定展开，核心考查对三角形内角和定理、互余定义的理解与运用，属于基础类题目，能帮助学生建立直角三角形和角互余之间的关联，为后续直角三角形的相关学习夯实基础。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要明确三角形内角和为180°这个基础定理。探究1已知三角形是直角三角形，有一个内角为90°，用内角和减去直角的度数，就能得到另外两个角的和，再结合互余的定义即可判断两角关系；探究2已知两个角互余即两角和为90°，用内角和减去这两个角的和得到第三个角的度数，根据直角三角形的定义即可判断三角形形状。
【解析】
探究1
∠A与∠B互余，理由如下：
∵ 三角形的内角和为180°，即$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，且$∠ C=90°$，
∴ $∠ A + ∠ B = 180° - ∠ C = 180° - 90° = 90°$，
即∠A与∠B互余。
探究2
$△ ABC$是直角三角形，理由如下：
∵ 三角形的内角和为180°，即$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，且∠A与∠B互余，即$∠ A + ∠ B =90°$，
∴ $∠ C = 180° - (∠ A + ∠ B) = 180° -90° =90°$，
∴ $△ ABC$是直角三角形。
【答案】
探究1：∠A与∠B互余；
探究2：$△ ABC$是直角三角形。
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；直角三角形的判定
【点评】
本题围绕直角三角形角的性质与判定展开，核心考查对三角形内角和定理、互余定义的理解与运用，属于基础类题目，能帮助学生建立直角三角形和角互余之间的关联，为后续直角三角形的相关学习夯实基础。
【难度系数】
0.9
1. 如图，在$△ ADE$与$△ BFC$中，点B在AE上，点A在FC上，且$∠ F = 30°$，$∠ E = 45°$，$∠ D = 90°$，则$∠ ABF$的度数为（
A.$30°$
B.$15°$
C.$60°$
D.$25°$
B
）A.$30°$
B.$15°$
C.$60°$
D.$25°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先从已知的直角△ADE入手，利用三角形内角和定理先求出∠EAD的度数；再观察图形可知∠EAD是△FAB的外角，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），将已知的∠F的度数代入，即可求出∠ABF的度数。
【解析】
1. 在△ADE中，已知∠D=90°，∠E=45°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ EAD = 180° - ∠ D - ∠ E = 180° - 90° - 45° = 45°$
2. 因为∠EAD是△FAB的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以：
$∠ EAD = ∠ F + ∠ ABF$
已知$∠ F=30°$，代入计算得：
$∠ ABF = ∠ EAD - ∠ F = 45° - 30° = 15°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，解题的关键是能正确识别图形中的外角及其对应的不相邻内角，将已知角和未知角建立关联即可快速求解。
【难度系数】
0.75
解题时先从已知的直角△ADE入手，利用三角形内角和定理先求出∠EAD的度数；再观察图形可知∠EAD是△FAB的外角，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），将已知的∠F的度数代入，即可求出∠ABF的度数。
【解析】
1. 在△ADE中，已知∠D=90°，∠E=45°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ EAD = 180° - ∠ D - ∠ E = 180° - 90° - 45° = 45°$
2. 因为∠EAD是△FAB的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以：
$∠ EAD = ∠ F + ∠ ABF$
已知$∠ F=30°$，代入计算得：
$∠ ABF = ∠ EAD - ∠ F = 45° - 30° = 15°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础的角度计算类题目，解题的关键是能正确识别图形中的外角及其对应的不相邻内角，将已知角和未知角建立关联即可快速求解。
【难度系数】
0.75
2. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，若 $∠ A = 30°$，则 $∠ B = \_\_\_\_\_\_$。（填度数）
答案
2. 60°
解析
【分析】
解题时首先提取题干已知条件：△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°，要求∠B的度数。我们可以依据三角形内角和为180°的性质，用三个内角的总和减去已知的两个角的度数，即可求出∠B的度数；也可以利用直角三角形两个锐角的和为90°的结论，直接计算更简便。
【解析】
解：
∵ 三角形的内角和为180°，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ C = 90°$
∴ $∠A + ∠B = 180° - ∠C = 180° - 90° = 90°$
又
∵ $∠A = 30°$
∴ $∠B = 90° - 30° = 60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查直角三角形内角的相关计算，熟练掌握三角形内角和性质以及直角三角形的特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取题干已知条件：△ABC是直角三角形，∠C=90°，∠A=30°，要求∠B的度数。我们可以依据三角形内角和为180°的性质，用三个内角的总和减去已知的两个角的度数，即可求出∠B的度数；也可以利用直角三角形两个锐角的和为90°的结论，直接计算更简便。
【解析】
解：
∵ 三角形的内角和为180°，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ C = 90°$
∴ $∠A + ∠B = 180° - ∠C = 180° - 90° = 90°$
又
∵ $∠A = 30°$
∴ $∠B = 90° - 30° = 60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查直角三角形内角的相关计算，熟练掌握三角形内角和性质以及直角三角形的特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$∠ A = 4∠ B$，求$∠ B$的度数。
答案
3. 解：因为在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
所以$∠ A+∠ B=90°$。
因为$∠ A=4∠ B$，
所以$4∠ B+∠ B=5∠ B=90°$。
所以$∠ B=18°$。
所以$∠ A+∠ B=90°$。
因为$∠ A=4∠ B$，
所以$4∠ B+∠ B=5∠ B=90°$。
所以$∠ B=18°$。
解析
【分析】
解题时首先回忆直角三角形的基本性质：直角三角形中两个锐角的和为90°。题目明确给出了∠A与∠B的倍数关系∠A=4∠B，我们可以通过等量代换，将∠A用4∠B替换，代入到两个锐角和为90°的关系式中，得到仅含∠B的等式，计算即可求出∠B的度数。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
所以$∠ A + ∠ B = 90°$。
因为$∠ A = 4∠ B$，
所以代入得$4∠ B + ∠ B = 5∠ B = 90°$，
解得$∠ B = 18°$。
【答案】
$∠ B=18°$
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 角度运算
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用，解题核心是利用直角三角形两锐角和为90°的性质，结合已知的角度倍数关系代换求解，属于基础题型，掌握对应性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆直角三角形的基本性质：直角三角形中两个锐角的和为90°。题目明确给出了∠A与∠B的倍数关系∠A=4∠B，我们可以通过等量代换，将∠A用4∠B替换，代入到两个锐角和为90°的关系式中，得到仅含∠B的等式，计算即可求出∠B的度数。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
所以$∠ A + ∠ B = 90°$。
因为$∠ A = 4∠ B$，
所以代入得$4∠ B + ∠ B = 5∠ B = 90°$，
解得$∠ B = 18°$。
【答案】
$∠ B=18°$
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 角度运算
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用，解题核心是利用直角三角形两锐角和为90°的性质，结合已知的角度倍数关系代换求解，属于基础题型，掌握对应性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
