探究1：如图有5个三角形，你能按它们各自边长之间的关系分类吗？如何分类？

解：分为两类，三角形(1)(4)，它们的三条边各不相等；三角形(2)(3)(5)，它们至少有两条边相等。

【分析】
解题时首先明确三角形按边分类的标准：分为三边都不相等的三角形和等腰三角形（至少有两条边相等，等边三角形是特殊的等腰三角形，也属于此类）。接下来逐一观察每个三角形的边长特征，判断其属于哪一类别即可完成分类。
【解析】
我们按照三角形边长的相等关系进行分类：
1. 首先明确分类规则：若三角形三条边长度均不相等，属于三边都不相等的三角形；若三角形至少有两条边长度相等，属于等腰三角形（三条边都相等的等边三角形是特殊的等腰三角形）。
2. 逐个观察图形：
三角形(1)：三条边长度各不相等；
三角形(2)：两条腰长度相等，属于等腰三角形；
三角形(3)：三条边长度都相等，是特殊的等腰三角形；
三角形(4)：三条边长度各不相等；
三角形(5)：两条直角边长度相等，属于等腰三角形。
因此可以将5个三角形分为两类。
【答案】
分为两类，三角形(1)(4)，它们的三条边各不相等；三角形(2)(3)(5)，它们至少有两条边相等。
【知识点】
三角形按边分类、等腰三角形的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握三角形按边分类的标准，需要注意等边三角形满足“至少两条边相等”的要求，属于等腰三角形的范畴，分类时不要将其遗漏。
【难度系数】
0.8

探究2：阅读教科书内容，完成下列问题。
(1)什么叫作等腰三角形？什么叫作等边三角形？什么叫作等腰直角三角形？
的三角形叫作等腰三角形；
的三角形叫作等边三角形，也叫作正三角形；
的直角三角形叫作等腰直角三角形。
(2)等腰三角形的各部分分别叫作什么？
的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作，腰与底边的夹角叫作。

(1)有两边相等 三边都相等 两条直角边相等 (2)相等 顶角 底角

【分析】
本题考查特殊三角形的基础概念与等腰三角形的各部分名称，属于识记类题目。解题时首先回忆对应概念：第一问分别对应等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形的定义，直接根据课本定义填写即可；第二问对应等腰三角形各部分的命名规则，明确腰、顶角、底角的定义后对应填空。
【解析】
(1)根据特殊三角形的定义：有两边相等的三角形叫作等腰三角形；三边都相等的三角形叫作等边三角形，也叫正三角形；两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形。
(2)根据等腰三角形各部分的命名规则：相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角。
【答案】
(1)有两边相等；三边都相等；两条直角边相等
(2)相等；顶角；底角
【知识点】
等腰三角形定义、等边三角形定义、等腰三角形各部分名称
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，核心是对课本基础定义的记忆，掌握相关概念是后续学习特殊三角形性质、判定的重要前提。
【难度系数】
0.9

用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是 （）

D

【分析】
解题时首先要明确三角形的两类分类标准：①按边分类的包含关系：三角形分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，因此三角形包含等腰三角形，等腰三角形包含等边三角形；②按角分类的并列关系：三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类，三者互不交叉、互不包含，共同覆盖所有三角形。接下来逐一比对四个选项的分类逻辑是否符合上述规则，即可找出错误选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：三角形为最大范畴，包含等腰三角形，等腰三角形又包含特殊的等边三角形，符合按边分类的包含关系，表述正确。
2. 选项B：将三角形按角分为并列的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类，符合按角分类的规则，表述正确。
3. 选项C：按边将三角形分为两类：三边都不相等的三角形、等腰三角形，等腰三角形范畴内包含等边三角形，分类逻辑正确，表述正确。
4. 选项D：按角分类时，锐角三角形和钝角三角形是互不包含的并列关系，图中将锐角三角形画在钝角三角形内部，分类逻辑错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形的分类、按边分类、按角分类
【点评】
本题考查三角形分类的逻辑关系，解题的关键是明确按边分类是包含从属关系，按角分类是并列互斥关系，不要混淆两类分类的逻辑规则。
【难度系数】
0.8

探究1：如图，从A地到B地有两条路径：(1)从A地直接到B地；(2)从A地经过C地到B地。你认为哪条路径较长？为什么？

探究2：显然，上图中的A，B，C三地作为三点构成了$△ ABC$，探究1的结论即$AC+BC＞AB$。同理，可得$AB+BC$$AC$，$AC+AB$$BC$。由此得到：三角形的任意两边之和第三边。
探究3：如图，在$△ ABC$中，以点A为圆心，以AC的长为半径作弧，交AB于点D，则$AC=AD$。因为$AB-AD=BD$$BC$，所以$AB-AC$$BC$。同理，还可得出$AB-BC$$AC$，$AC-BC$$AB$。由此猜想：三角形的任意两边之差第三边。

探究1 解：路径(2)较长，因为两点之间线段最短。
探究2 ＞ ＞ 大于
探究3 ＜ ＜ ＜ ＜ 小于

【分析】
解题时我们可以结合已学的基本事实和逻辑推导逐步解决三个探究问题：
1. 探究1：先明确路径（1）是连接A、B的线段，路径（2）是A到C再到B的折线，回忆“两点之间线段最短”的基本事实即可直接判断长短。
2. 探究2：和探究1的逻辑一致，对三角形另外两组边，同样用“两点之间线段最短”判断，即可得到另外两个不等关系，总结得出两边之和与第三边的关系。
3. 探究3：先根据作图得到AD=AC，将AB-AC转化为BD，再结合探究2得到的两边之和大于第三边的结论变形推导，就能得到两边之差与第三边的大小关系，类比得出另外几组不等关系后总结规律即可。
【解析】
探究1
路径（2）是A经C到B的折线，路径（1）是A、B两点之间的线段，根据两点之间线段最短的基本事实，可得$AC+BC＞AB$，因此路径（2）更长。
探究2
根据两点之间线段最短，从A到C的所有连线中线段AC最短，因此$AB+BC＞AC$；同理从B到C的所有连线中线段BC最短，因此$AC+AB＞BC$。由此可总结出三角形的任意两边之和大于第三边。
探究3
由作图规则可知$AC=AD$，因此$AB-AD=AB-AC=BD$。根据三角形两边之和大于第三边的结论，在$△ ABC$中有$AC+BC＞AB$，移项可得$BC＞AB-AC$，即$BD＜BC$，因此$AB-AC＜BC$。同理可推导得$AB-BC＜AC$，$AC-BC＜AB$，由此总结出三角形的任意两边之差小于第三边。
【答案】
探究1：路径(2)较长，因为两点之间线段最短。
探究2：$\boldsymbol{＞}$；$\boldsymbol{＞}$；$\boldsymbol{大于}$
探究3：$\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{小于}$
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 三角形两边之和大于第三边
3. 三角形两边之差小于第三边
【点评】
本题是三角形三边关系的探究类基础题，从生活中的路径比较问题出发，结合已学的基本事实逐步推导得到三角形三边的和、差与第三边的关系，侧重对定理推导过程的理解，掌握基本事实和简单的不等关系变形即可顺利作答。
【难度系数】
0.85