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5.一个仓库有一批货物，一批工人负责运走这批货物，如果增加1名工人，则30天可以运完；如果增加2名工人，则24天可以运完；如果增加3名工人，则
20
天可以运完。答案
5. 20
解析
【分析】
本题属于工程类应用题，核心不变量是货物的总工作量。解题时首先设原有工人的数量为x名，默认每名工人每天的工作效率为1，根据“增加1名工人30天运完”和“增加2名工人24天运完”两种情况分别表示总工作量，利用总工作量相等列一元一次方程，求出原有工人数量后计算总工作量，最后代入增加3名工人的情况即可求出所需天数。
【解析】
设原有x名工人，每名工人每天的工作效率为1，由货物总工作量不变可得方程：
$\begin{aligned}(x+1)×30&=(x+2)×24\\30x+30&=24x+48\\30x-24x&=48-30\\6x&=18\\x&=3\end{aligned}$
则货物总工作量为：$(3+1)×30=120$
增加3名工人后，工人总数为$3+3=6$名，所需天数为：$120÷6=20$（天）
【答案】
20
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用；工作总量计算
【点评】
本题解题的核心是抓住工作总量不变的隐含条件，通过设未知数列方程求解，是工程问题的典型考法，熟练掌握等量关系的建立方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题属于工程类应用题，核心不变量是货物的总工作量。解题时首先设原有工人的数量为x名，默认每名工人每天的工作效率为1，根据“增加1名工人30天运完”和“增加2名工人24天运完”两种情况分别表示总工作量，利用总工作量相等列一元一次方程，求出原有工人数量后计算总工作量，最后代入增加3名工人的情况即可求出所需天数。
【解析】
设原有x名工人，每名工人每天的工作效率为1，由货物总工作量不变可得方程：
$\begin{aligned}(x+1)×30&=(x+2)×24\\30x+30&=24x+48\\30x-24x&=48-30\\6x&=18\\x&=3\end{aligned}$
则货物总工作量为：$(3+1)×30=120$
增加3名工人后，工人总数为$3+3=6$名，所需天数为：$120÷6=20$（天）
【答案】
20
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用；工作总量计算
【点评】
本题解题的核心是抓住工作总量不变的隐含条件，通过设未知数列方程求解，是工程问题的典型考法，熟练掌握等量关系的建立方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
6.一个蓄水池中有两个进水管甲、乙和一个排水管丙。单独打开甲进水管，6 h可将空水池注满；单独打开乙进水管，8 h可将空水池注满；单独打开丙排水管，9 h可将满池水排空。如果先将甲、乙两个进水管同时打开2 h，然后打开丙排水管，那么要将空水池注满总共所需的时间为
$\frac{56}{13}$
h。答案
6. $\frac{56}{13}$
解析
【分析】
这是典型的工程问题，我们将蓄水池的总容量看作单位“1”，首先根据“工作效率=总工作量÷单独工作时间”，分别求出甲、乙的进水效率和丙的排水效率。先计算甲、乙同时开2小时的注水量，再设打开丙管后还需要x小时可注满水池，此时的净进水效率为甲、乙进水效率之和减去丙的排水效率，根据“前2小时注水量+后续x小时净注水量=总容量1”列方程求解，最终总时间为2小时加后续x小时。
【解析】
将水池总容量看作单位“1”，则：
甲的进水效率为$\frac{1}{6}$/h，乙的进水效率为$\frac{1}{8}$/h，丙的排水效率为$\frac{1}{9}$/h。
1. 计算甲、乙同时开2小时的注水量：
$2×(\frac{1}{6}+\frac{1}{8})=2×\frac{7}{24}=\frac{7}{12}$
2. 设打开丙管后还需要$x$小时可将水池注满，此时每小时净进水量为$(\frac{1}{6}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9})$，根据总水量为1列方程：
$\frac{7}{12} + x×(\frac{1}{6}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9})=1$
化简括号内的项：
$\frac{1}{6}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=\frac{12}{72}+\frac{9}{72}-\frac{8}{72}=\frac{13}{72}$
代入方程得：
$\frac{7}{12}+\frac{13x}{72}=1$
移项求解：
$\frac{13x}{72}=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$
$x=\frac{5}{12}×\frac{72}{13}=\frac{30}{13}$
3. 计算注满水池的总时间：
$2+\frac{30}{13}=\frac{26}{13}+\frac{30}{13}=\frac{56}{13}$（h）
【答案】
$\frac{56}{13}$
【知识点】
工程问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于工程类应用题的常考题型，核心是找准不同工作阶段的效率和总工作量的等量关系，解题时要注意打开排水管后，实际进水效率需要减去排水效率，避免直接用三个管的效率相加导致错误。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程问题，我们将蓄水池的总容量看作单位“1”，首先根据“工作效率=总工作量÷单独工作时间”，分别求出甲、乙的进水效率和丙的排水效率。先计算甲、乙同时开2小时的注水量，再设打开丙管后还需要x小时可注满水池，此时的净进水效率为甲、乙进水效率之和减去丙的排水效率，根据“前2小时注水量+后续x小时净注水量=总容量1”列方程求解，最终总时间为2小时加后续x小时。
【解析】
将水池总容量看作单位“1”，则：
甲的进水效率为$\frac{1}{6}$/h，乙的进水效率为$\frac{1}{8}$/h，丙的排水效率为$\frac{1}{9}$/h。
1. 计算甲、乙同时开2小时的注水量：
$2×(\frac{1}{6}+\frac{1}{8})=2×\frac{7}{24}=\frac{7}{12}$
2. 设打开丙管后还需要$x$小时可将水池注满，此时每小时净进水量为$(\frac{1}{6}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9})$，根据总水量为1列方程：
$\frac{7}{12} + x×(\frac{1}{6}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9})=1$
化简括号内的项：
$\frac{1}{6}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=\frac{12}{72}+\frac{9}{72}-\frac{8}{72}=\frac{13}{72}$
代入方程得：
$\frac{7}{12}+\frac{13x}{72}=1$
移项求解：
$\frac{13x}{72}=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$
$x=\frac{5}{12}×\frac{72}{13}=\frac{30}{13}$
3. 计算注满水池的总时间：
$2+\frac{30}{13}=\frac{26}{13}+\frac{30}{13}=\frac{56}{13}$（h）
【答案】
$\frac{56}{13}$
【知识点】
工程问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于工程类应用题的常考题型，核心是找准不同工作阶段的效率和总工作量的等量关系，解题时要注意打开排水管后，实际进水效率需要减去排水效率，避免直接用三个管的效率相加导致错误。
【难度系数】
0.7
7.甲、乙两人加工机器零件，已知甲、乙两人一天共加工零件35个，甲每天加工零件的个数比乙每天加工零件的个数多5个。
(1)甲、乙两人每天各加工多少个零件？
(2)现在工厂需要加工零件600个，先由两人合作一段时间，剩下的全部由乙单独完成，恰好20天完成任务。求两人合作的天数。
(1)甲、乙两人每天各加工多少个零件？
(2)现在工厂需要加工零件600个，先由两人合作一段时间，剩下的全部由乙单独完成，恰好20天完成任务。求两人合作的天数。
答案
7.解:(1)设甲每天加工x个零件,则乙每天加工(x-5)个零件,由题意得x+x-5=35,
解得x=20。
所以x-5=15。
答:甲每天加工20个零件,乙每天加工15个零件。
(2)设甲、乙两人合作的天数为y天,
由题意得20y+15×20=600,
解得y=15,
答:两人合作的天数为15天。
解得x=20。
所以x-5=15。
答:甲每天加工20个零件,乙每天加工15个零件。
(2)设甲、乙两人合作的天数为y天,
由题意得20y+15×20=600,
解得y=15,
答:两人合作的天数为15天。
解析
【分析】
(1) 第一问已知甲、乙每天加工零件的总数和数量差，可设其中一人的日加工量为未知数，将另一人的日加工量用含未知数的代数式表示，再根据“两人一天共加工35个”的等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 第二问属于工程类问题，核心等量关系是“总工作量=各部分工作量之和”，本题隐含条件为总工期20天里乙全程参与工作，甲仅参与合作阶段，因此设合作天数为未知数，分别表示出甲、乙的总工作量，相加等于总任务量600个，列方程求解即可。
【解析】
解：(1) 设甲每天加工x个零件，则乙每天加工(x-5)个零件。
根据题意列方程：
$x + (x - 5) = 35$
解得$x=20$
则乙每天加工的零件数为：$x-5=20-5=15$（个）
答：甲每天加工20个零件，乙每天加工15个零件。
(2) 设甲、乙两人合作的天数为y天。
由题意可知乙一共工作20天，甲仅工作y天，总工作量为600个，列方程：
$20y + 15×20 = 600$
解得$y=15$
答：两人合作的天数为15天。
【答案】
(1) 甲每天加工20个零件，乙每天加工15个零件；
(2) 两人合作的天数为15天。
【知识点】
一元一次方程应用；工程问题计算
【点评】
本题是一元一次方程解决实际问题的常规题型，第一问为基础和差类问题，等量关系清晰；第二问需要准确识别乙总工作时长的隐含条件，熟练运用“工作量=工作效率×工作时间”的公式即可顺利求解，能够锻炼学生分析实际问题、列方程的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问已知甲、乙每天加工零件的总数和数量差，可设其中一人的日加工量为未知数，将另一人的日加工量用含未知数的代数式表示，再根据“两人一天共加工35个”的等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 第二问属于工程类问题，核心等量关系是“总工作量=各部分工作量之和”，本题隐含条件为总工期20天里乙全程参与工作，甲仅参与合作阶段，因此设合作天数为未知数，分别表示出甲、乙的总工作量，相加等于总任务量600个，列方程求解即可。
【解析】
解：(1) 设甲每天加工x个零件，则乙每天加工(x-5)个零件。
根据题意列方程：
$x + (x - 5) = 35$
解得$x=20$
则乙每天加工的零件数为：$x-5=20-5=15$（个）
答：甲每天加工20个零件，乙每天加工15个零件。
(2) 设甲、乙两人合作的天数为y天。
由题意可知乙一共工作20天，甲仅工作y天，总工作量为600个，列方程：
$20y + 15×20 = 600$
解得$y=15$
答：两人合作的天数为15天。
【答案】
(1) 甲每天加工20个零件，乙每天加工15个零件；
(2) 两人合作的天数为15天。
【知识点】
一元一次方程应用；工程问题计算
【点评】
本题是一元一次方程解决实际问题的常规题型，第一问为基础和差类问题，等量关系清晰；第二问需要准确识别乙总工作时长的隐含条件，熟练运用“工作量=工作效率×工作时间”的公式即可顺利求解，能够锻炼学生分析实际问题、列方程的能力。
【难度系数】
0.8
8.某工厂要加工一批零件，若甲车间单独做需要40天完成，乙车间单独做需要60天完成，现安排甲车间先做10天，然后甲、乙两车间共同完成。设甲车间一共做了x天，则根据题意列出的方程为
$\frac{1}{40}x+\frac{1}{60}(x-10)=1$
。答案
8. $\frac{1}{40}x+\frac{1}{60}(x-10)=1$
解析
【分析】
这是工程类的一元一次方程应用题，解题时首先把总工作量看作单位“1”，先确定甲、乙的工作效率：甲单独做40天完成，效率为$\frac{1}{40}$，乙单独做60天完成，效率为$\frac{1}{60}$。再梳理两个车间的工作时间：已知甲一共做了x天，因为甲先单独做10天之后乙才加入，所以乙的工作时间比甲少10天，即为$(x-10)$天。最后根据“甲的工作量+乙的工作量=总工作量1”的等量关系就能列出方程。
【解析】
解：将这批零件的总工作量记为单位“1”。
1. 计算工作效率：甲的工作效率为$\frac{1}{40}$，乙的工作效率为$\frac{1}{60}$；
2. 计算各车间工作量：甲共做x天，完成的工作量为$\frac{1}{40}x$；甲先做10天后乙才参与，乙的工作时长为$(x-10)$天，完成的工作量为$\frac{1}{60}(x-10)$；
3. 列方程：根据总工作量为1，可得$\frac{1}{40}x+\frac{1}{60}(x-10)=1$。
【答案】
$\frac{1}{40}x+\frac{1}{60}(x-10)=1$
【知识点】
工程问题等量关系，一元一次方程的实际应用
【点评】
本题是工程问题的基础常考题，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理各主体的工作时长，利用总工作量等于各部分工作量之和列方程，只要不混淆乙的工作时长就不易出错。
【难度系数】
0.7
这是工程类的一元一次方程应用题，解题时首先把总工作量看作单位“1”，先确定甲、乙的工作效率：甲单独做40天完成，效率为$\frac{1}{40}$，乙单独做60天完成，效率为$\frac{1}{60}$。再梳理两个车间的工作时间：已知甲一共做了x天，因为甲先单独做10天之后乙才加入，所以乙的工作时间比甲少10天，即为$(x-10)$天。最后根据“甲的工作量+乙的工作量=总工作量1”的等量关系就能列出方程。
【解析】
解：将这批零件的总工作量记为单位“1”。
1. 计算工作效率：甲的工作效率为$\frac{1}{40}$，乙的工作效率为$\frac{1}{60}$；
2. 计算各车间工作量：甲共做x天，完成的工作量为$\frac{1}{40}x$；甲先做10天后乙才参与，乙的工作时长为$(x-10)$天，完成的工作量为$\frac{1}{60}(x-10)$；
3. 列方程：根据总工作量为1，可得$\frac{1}{40}x+\frac{1}{60}(x-10)=1$。
【答案】
$\frac{1}{40}x+\frac{1}{60}(x-10)=1$
【知识点】
工程问题等量关系，一元一次方程的实际应用
【点评】
本题是工程问题的基础常考题，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确梳理各主体的工作时长，利用总工作量等于各部分工作量之和列方程，只要不混淆乙的工作时长就不易出错。
【难度系数】
0.7
9.挖一条水渠，甲队单独做需20天完成，乙队单独做需15天完成。现在两队合作若干天后，乙队另有任务离开，甲队接着又单独挖6天完成。挖这条水渠一共用了多少天？
答案
9.解:设挖这条水渠一共用了x天。
由题意得$\frac{1}{20}x+\frac{1}{15}(x-6)=1$,
解得x=12。
答:挖这条水渠一共用了12天。
由题意得$\frac{1}{20}x+\frac{1}{15}(x-6)=1$,
解得x=12。
答:挖这条水渠一共用了12天。
解析
【分析】
这是工程类一元一次方程应用题，首先我们将水渠的总工作量看作单位“1”，可得甲队的工作效率为$\frac{1}{20}$/天，乙队的工作效率为$\frac{1}{15}$/天。设总用时为x天：甲队全程参与工作，工作时间为x天；乙队提前6天离开，工作时间为(x-6)天。根据“甲队总工作量+乙队总工作量=总工作量1”的等量关系即可列方程求解。
【解析】
解：设挖这条水渠一共用了x天。
根据总工作量为1列方程：
$\frac{1}{20}x+\frac{1}{15}(x-6)=1$
两边同乘60消去分母得：
$3x + 4(x-6) = 60$
去括号得：
$3x + 4x -24 = 60$
移项、合并同类项得：
$7x = 84$
系数化为1得：
$x=12$
【答案】
12天
【知识点】
一元一次方程的应用；工程问题；工作量计算
【点评】
本题是典型的工程类应用题，解题核心是将总工作量看作单位“1”，准确梳理各施工主体的工作时长，结合总工作量的等量关系列方程即可求解，熟练掌握该类题型的基本模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
这是工程类一元一次方程应用题，首先我们将水渠的总工作量看作单位“1”，可得甲队的工作效率为$\frac{1}{20}$/天，乙队的工作效率为$\frac{1}{15}$/天。设总用时为x天：甲队全程参与工作，工作时间为x天；乙队提前6天离开，工作时间为(x-6)天。根据“甲队总工作量+乙队总工作量=总工作量1”的等量关系即可列方程求解。
【解析】
解：设挖这条水渠一共用了x天。
根据总工作量为1列方程：
$\frac{1}{20}x+\frac{1}{15}(x-6)=1$
两边同乘60消去分母得：
$3x + 4(x-6) = 60$
去括号得：
$3x + 4x -24 = 60$
移项、合并同类项得：
$7x = 84$
系数化为1得：
$x=12$
【答案】
12天
【知识点】
一元一次方程的应用；工程问题；工作量计算
【点评】
本题是典型的工程类应用题，解题核心是将总工作量看作单位“1”，准确梳理各施工主体的工作时长，结合总工作量的等量关系列方程即可求解，熟练掌握该类题型的基本模型能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
10.甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的$\frac{1}{3}$。
(1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米。
(2)甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好为94万元。已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
(1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米。
(2)甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好为94万元。已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数。
课后反思
存在的问题：
改进的措施：
答案
10.解:(1)设乙工程队每天可挖掘隧道x米,
根据题意得4(x+1.5x)=600×$\frac{1}{3}$,解得x=20。
所以1.5x=1.5×20=30。
答:甲工程队每天可挖掘隧道30米,乙工程队每天可挖掘隧道20米。
(2)设甲工程队单独挖掘m天,则乙工程队单独挖掘$\frac{600-30m}{20}$天,即$(30-\frac{3}{2}m)$天。
由题意得5m+3$(30-\frac{3}{2}m)$=94。
解得m=8。
答:甲工程队单独挖掘8天。
根据题意得4(x+1.5x)=600×$\frac{1}{3}$,解得x=20。
所以1.5x=1.5×20=30。
答:甲工程队每天可挖掘隧道30米,乙工程队每天可挖掘隧道20米。
(2)设甲工程队单独挖掘m天,则乙工程队单独挖掘$\frac{600-30m}{20}$天,即$(30-\frac{3}{2}m)$天。
由题意得5m+3$(30-\frac{3}{2}m)$=94。
解得m=8。
答:甲工程队单独挖掘8天。
解析
【分析】
本题是一元一次方程在工程问题中的应用，解题思路如下：
(1) 解决第一问时，先设乙工程队每天挖掘长度为未知数，根据甲的效率是乙的1.5倍表示出甲的效率，再根据“合作4天完成总工程的$\frac{1}{3}$”这一条件，利用“工作总量=工作效率和×合作时间”的等量关系列方程求解即可。
(2) 解决第二问时，设甲单独挖掘的天数为未知数，先求出甲挖掘m天后剩余的工作量，除以乙的工作效率得到乙的工作天数，再根据“甲的总费用+乙的总费用=94万元”的等量关系列方程求解。
【解析】
(1) 设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5x米。
根据题意，甲、乙合作4天的工作量为总工程的$\frac{1}{3}$，列方程得：
$4(x+1.5x)=600×\frac{1}{3}$
化简得$10x=200$，解得$x=20$。
则甲每天挖掘长度为$1.5x=1.5×20=30$（米）。
(2) 设甲工程队单独挖掘m天。
甲m天完成的工作量为$30m$米，剩余工作量为$(600-30m)$米，因此乙单独挖掘的天数为$\frac{600-30m}{20}=30-\frac{3}{2}m$天。
根据总费用为94万元，列方程得：
$5m+3(30-\frac{3}{2}m)=94$
化简得$\frac{1}{2}m=4$，解得$m=8$。
【答案】
(1) 甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米；
(2) 甲工程队单独挖掘8天。
【知识点】
一元一次方程的应用；工程问题；列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，核心是掌握工程问题的基本数量关系，解题时需准确梳理题目中的已知条件，找准对应的等量关系列方程，计算过程注意系数的化简，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
本题是一元一次方程在工程问题中的应用，解题思路如下：
(1) 解决第一问时，先设乙工程队每天挖掘长度为未知数，根据甲的效率是乙的1.5倍表示出甲的效率，再根据“合作4天完成总工程的$\frac{1}{3}$”这一条件，利用“工作总量=工作效率和×合作时间”的等量关系列方程求解即可。
(2) 解决第二问时，设甲单独挖掘的天数为未知数，先求出甲挖掘m天后剩余的工作量，除以乙的工作效率得到乙的工作天数，再根据“甲的总费用+乙的总费用=94万元”的等量关系列方程求解。
【解析】
(1) 设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5x米。
根据题意，甲、乙合作4天的工作量为总工程的$\frac{1}{3}$，列方程得：
$4(x+1.5x)=600×\frac{1}{3}$
化简得$10x=200$，解得$x=20$。
则甲每天挖掘长度为$1.5x=1.5×20=30$（米）。
(2) 设甲工程队单独挖掘m天。
甲m天完成的工作量为$30m$米，剩余工作量为$(600-30m)$米，因此乙单独挖掘的天数为$\frac{600-30m}{20}=30-\frac{3}{2}m$天。
根据总费用为94万元，列方程得：
$5m+3(30-\frac{3}{2}m)=94$
化简得$\frac{1}{2}m=4$，解得$m=8$。
【答案】
(1) 甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米；
(2) 甲工程队单独挖掘8天。
【知识点】
一元一次方程的应用；工程问题；列方程解应用题
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，核心是掌握工程问题的基本数量关系，解题时需准确梳理题目中的已知条件，找准对应的等量关系列方程，计算过程注意系数的化简，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
