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1. 在下列一元二次方程中,有一个根为 $ x=1 $ 的是(
A.$ x^2=3x-4 $
B.$ x^2=2x-1 $
C.$ x^2-2x=1 $
D.$ x^2+2x=1 $
B
)。A.$ x^2=3x-4 $
B.$ x^2=2x-1 $
C.$ x^2-2x=1 $
D.$ x^2+2x=1 $
答案
1.B
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的根。解题时我们可以直接将x=1代入各个选项的方程，分别计算左右两边的数值，判断是否相等，若相等则x=1是该方程的根，这种代入验算的方法比直接解每个方程更简便快捷。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将x=1依次代入各选项验证：
选项A：左边=$1^2=1$，右边=$3×1 -4=-1$，左边≠右边，故x=1不是该方程的根；
选项B：左边=$1^2=1$，右边=$2×1 -1=1$，左边=右边，故x=1是该方程的根；
选项C：左边=$1^2 -2×1=-1$，右边=$1$，左边≠右边，故x=1不是该方程的根；
选项D：左边=$1^2 +2×1=3$，右边=$1$，左边≠右边，故x=1不是该方程的根。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；代入检验法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的概念的理解，解题时优先选用代入验算的方法可大幅提升做题效率，要熟练掌握该类题型的解题技巧。
【难度系数】
0.9
本题可根据一元二次方程根的定义求解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的根。解题时我们可以直接将x=1代入各个选项的方程，分别计算左右两边的数值，判断是否相等，若相等则x=1是该方程的根，这种代入验算的方法比直接解每个方程更简便快捷。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，将x=1依次代入各选项验证：
选项A：左边=$1^2=1$，右边=$3×1 -4=-1$，左边≠右边，故x=1不是该方程的根；
选项B：左边=$1^2=1$，右边=$2×1 -1=1$，左边=右边，故x=1是该方程的根；
选项C：左边=$1^2 -2×1=-1$，右边=$1$，左边≠右边，故x=1不是该方程的根；
选项D：左边=$1^2 +2×1=3$，右边=$1$，左边≠右边，故x=1不是该方程的根。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义；代入检验法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程根的概念的理解，解题时优先选用代入验算的方法可大幅提升做题效率，要熟练掌握该类题型的解题技巧。
【难度系数】
0.9
2. 根据下表中的对应值,估计方程$x^2 -10x -15=0$一个解的范围是(
A.$11.2＜x＜11.3$
B.$11.3＜x＜11.4$
C.$11.4＜x＜11.5$
D.$11.5＜x＜11.6$
B
)。A.$11.2＜x＜11.3$
B.$11.3＜x＜11.4$
C.$11.4＜x＜11.5$
D.$11.5＜x＜11.6$
答案
2.B
解析
【分析】
要解决本题，首先明确方程$x^2 -10x -15=0$的解就是能让代数式$x^2 -10x -15$的值为0的$x$的取值。因为代数式的值随$x$的增大是连续变化的，若$x$取两个相邻数值时，代数式的值一个小于0、一个大于0，说明0介于这两个代数式值之间，对应的方程的解就介于这两个$x$的取值之间，接下来观察表格中代数式值的正负变化情况，即可找到解的范围。
【解析】
方程$x^2 -10x -15=0$的解是使$x^2 -10x -15=0$的$x$的值，观察表格数据：
当$x=11.3$时，$x^2 -10x -15=-0.31＜0$；
当$x=11.4$时，$x^2 -10x -15=0.96＞0$；
根据代数式值的连续变化性可知，在$11.3＜x＜11.4$的范围内，存在一个$x$使得$x^2 -10x -15=0$，即方程的一个解的范围是$11.3＜x＜11.4$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解的定义；估算一元二次方程的近似解
【点评】
本题考查一元二次方程近似解范围的判断，解题核心是找到代数式值正负变化对应的$x$的区间，掌握估算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确方程$x^2 -10x -15=0$的解就是能让代数式$x^2 -10x -15$的值为0的$x$的取值。因为代数式的值随$x$的增大是连续变化的，若$x$取两个相邻数值时，代数式的值一个小于0、一个大于0，说明0介于这两个代数式值之间，对应的方程的解就介于这两个$x$的取值之间，接下来观察表格中代数式值的正负变化情况，即可找到解的范围。
【解析】
方程$x^2 -10x -15=0$的解是使$x^2 -10x -15=0$的$x$的值，观察表格数据：
当$x=11.3$时，$x^2 -10x -15=-0.31＜0$；
当$x=11.4$时，$x^2 -10x -15=0.96＞0$；
根据代数式值的连续变化性可知，在$11.3＜x＜11.4$的范围内，存在一个$x$使得$x^2 -10x -15=0$，即方程的一个解的范围是$11.3＜x＜11.4$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解的定义；估算一元二次方程的近似解
【点评】
本题考查一元二次方程近似解范围的判断，解题核心是找到代数式值正负变化对应的$x$的区间，掌握估算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3.【数学应用】下面是小华求实际问题中一元二次方程的近似解的过程，请解答相关问题。
如图所示的是一张长8 cm、宽6 cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是12 cm²的无盖长方体纸盒。设剪去的正方形边长为x cm，列出关于x的方程(8−2x)·(6−2x)=12，整理得x²−7x+9=0。
探索方程的一个解的大致范围。
第一步计算：
第二步计算：
(1)填写第一步计算表格中未完成的部分，并写出一个根x的大致范围：
(2)根据第二步计算，进一步估计这个根x的取值范围是
如图所示的是一张长8 cm、宽6 cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是12 cm²的无盖长方体纸盒。设剪去的正方形边长为x cm，列出关于x的方程(8−2x)·(6−2x)=12，整理得x²−7x+9=0。
探索方程的一个解的大致范围。
第一步计算：
第二步计算：
(1)填写第一步计算表格中未完成的部分，并写出一个根x的大致范围：
-1 -3 1＜x＜2
；(2)根据第二步计算，进一步估计这个根x的取值范围是
1.6＜x＜1.7
。答案
3.(1)-1 -3 1＜x＜2 (2)1.6＜x＜1.7
解析
【分析】
本题利用试值法估算一元二次方程的近似解，核心思路是：若x取两个不同值时，代数式$x^2-7x+9$的取值一正一负，则这两个值之间一定存在一个x使得代数式值为0，也就是方程的根。解题时先代入整数值计算确定根的大致范围，再代入更小的细分值缩小范围，同时要结合实际意义舍去不符合要求的根（剪去的正方形边长需满足长方体底面长、宽均大于0，即$x＜3$，因此大于3的根直接舍去）。
【解析】
(1) 把$x=2$代入$x^2-7x+9$计算：
$2^2-7×2+9=4-14+9=-1$
把$x=3$代入$x^2-7x+9$计算：
$3^2-7×3+9=9-21+9=-3$
观察取值：$x=1$时，$x^2-7x+9=3＞0$；$x=2$时，$x^2-7x+9=-1＜0$，因此方程符合实际的一个根的范围是$1＜x＜2$。
(2) 在$1＜x＜2$范围内取细分值计算：
当$x=1.6$时，$x^2-7x+9=1.6^2-7×1.6+9=2.56-11.2+9=0.36＞0$
当$x=1.7$时，$x^2-7x+9=1.7^2-7×1.7+9=2.89-11.9+9=-0.01＜0$
两个取值异号，因此根的范围缩小为$1.6＜x＜1.7$。
【答案】
(1)-1，-3，$1＜x＜2$；(2)$1.6＜x＜1.7$
【知识点】
估算一元二次方程的解，代数式求值，一元二次方程实际应用
【点评】
本题侧重考察试值法估算方程解的能力，只要掌握“代数式在两个x处取值异号，则两数之间存在方程的根”的规律，结合实际意义筛选合理范围即可解题，解题时注意计算不要出错。
【难度系数】
0.7
本题利用试值法估算一元二次方程的近似解，核心思路是：若x取两个不同值时，代数式$x^2-7x+9$的取值一正一负，则这两个值之间一定存在一个x使得代数式值为0，也就是方程的根。解题时先代入整数值计算确定根的大致范围，再代入更小的细分值缩小范围，同时要结合实际意义舍去不符合要求的根（剪去的正方形边长需满足长方体底面长、宽均大于0，即$x＜3$，因此大于3的根直接舍去）。
【解析】
(1) 把$x=2$代入$x^2-7x+9$计算：
$2^2-7×2+9=4-14+9=-1$
把$x=3$代入$x^2-7x+9$计算：
$3^2-7×3+9=9-21+9=-3$
观察取值：$x=1$时，$x^2-7x+9=3＞0$；$x=2$时，$x^2-7x+9=-1＜0$，因此方程符合实际的一个根的范围是$1＜x＜2$。
(2) 在$1＜x＜2$范围内取细分值计算：
当$x=1.6$时，$x^2-7x+9=1.6^2-7×1.6+9=2.56-11.2+9=0.36＞0$
当$x=1.7$时，$x^2-7x+9=1.7^2-7×1.7+9=2.89-11.9+9=-0.01＜0$
两个取值异号，因此根的范围缩小为$1.6＜x＜1.7$。
【答案】
(1)-1，-3，$1＜x＜2$；(2)$1.6＜x＜1.7$
【知识点】
估算一元二次方程的解，代数式求值，一元二次方程实际应用
【点评】
本题侧重考察试值法估算方程解的能力，只要掌握“代数式在两个x处取值异号，则两数之间存在方程的根”的规律，结合实际意义筛选合理范围即可解题，解题时注意计算不要出错。
【难度系数】
0.7
1. 根据表格中的数据，估计一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$的一个解的范围是（
A.$-2＜x＜-1$
B.$-1＜x＜0$
C.$0＜x＜1$
D.$1＜x＜2$
A
）。A.$-2＜x＜-1$
B.$-1＜x＜0$
C.$0＜x＜1$
D.$1＜x＜2$
答案
1.A
解析
【分析】
要确定一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$的解的范围，首先明确方程的解就是使代数式$x^2 - 3x -5$的值等于0的$x$的值。由于代数式的值随$x$的变化是连续的，因此当代数式的值在两个相邻的$x$取值之间由正变负（或由负变正）时，这两个$x$之间必然存在一个值使代数式的值为0，也就是方程的解，只需观察表格中代数式的正负变化区间即可解题。
【解析】
解：一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$的解是使代数式$x^2 - 3x -5$的值为0的$x$的取值。
观察表格数据可得：
当$x=-2$时，$x^2 - 3x -5=5＞0$；
当$x=-1$时，$x^2 - 3x -5=-1＜0$。
由于代数式的值随$x$连续变化，因此在$-2＜x＜-1$的范围内，一定存在某个$x$使得$x^2 - 3x -5=0$，即方程的一个解在$-2＜x＜-1$范围内。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的解
2. 估算方程的解
【点评】
本题考查利用表格数据估算一元二次方程解的范围，解题的关键是理解方程的解与对应代数式值之间的关系，通过代数式值的正负变化确定解的所在区间，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$的解的范围，首先明确方程的解就是使代数式$x^2 - 3x -5$的值等于0的$x$的值。由于代数式的值随$x$的变化是连续的，因此当代数式的值在两个相邻的$x$取值之间由正变负（或由负变正）时，这两个$x$之间必然存在一个值使代数式的值为0，也就是方程的解，只需观察表格中代数式的正负变化区间即可解题。
【解析】
解：一元二次方程$x^2 - 3x -5=0$的解是使代数式$x^2 - 3x -5$的值为0的$x$的取值。
观察表格数据可得：
当$x=-2$时，$x^2 - 3x -5=5＞0$；
当$x=-1$时，$x^2 - 3x -5=-1＜0$。
由于代数式的值随$x$连续变化，因此在$-2＜x＜-1$的范围内，一定存在某个$x$使得$x^2 - 3x -5=0$，即方程的一个解在$-2＜x＜-1$范围内。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的解
2. 估算方程的解
【点评】
本题考查利用表格数据估算一元二次方程解的范围，解题的关键是理解方程的解与对应代数式值之间的关系，通过代数式值的正负变化确定解的所在区间，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 根据表格中的数据，关于x的一元二次方程$ax^2+bx=0$的解是（
A.$x_1=2,x_2=-3$
B.$x_1=-1,x_2=0$
C.$x_1=0,x_2=1$
D.$x_1=-2,x_2=3$
C
）。A.$x_1=2,x_2=-3$
B.$x_1=-1,x_2=0$
C.$x_1=0,x_2=1$
D.$x_1=-2,x_2=3$
答案
2.C
解析
【分析】
要确定一元二次方程$ax^2+bx=0$的解，首先明确方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，也就是使代数式$ax^2+bx$的值为0的$x$的取值。因此我们只需要观察表格中$ax^2+bx=0$时对应的$x$的数值，就能得到方程的解。
【解析】
观察表格给出的$x$和$ax^2+bx$的对应值：
当$x=0$时，$ax^2+bx=0$，满足方程$ax^2+bx=0$，故$x=0$是方程的一个解；
当$x=1$时，$ax^2+bx=0$，也满足方程$ax^2+bx=0$，故$x=1$是方程的另一个解。
因此方程$ax^2+bx=0$的解为$x_1=0$，$x_2=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于基础题，解题核心是理解一元二次方程的解与对应代数式值为0的自变量取值的对应关系，直接通过表格查找对应值即可得到答案，不需要复杂计算。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程$ax^2+bx=0$的解，首先明确方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，也就是使代数式$ax^2+bx$的值为0的$x$的取值。因此我们只需要观察表格中$ax^2+bx=0$时对应的$x$的数值，就能得到方程的解。
【解析】
观察表格给出的$x$和$ax^2+bx$的对应值：
当$x=0$时，$ax^2+bx=0$，满足方程$ax^2+bx=0$，故$x=0$是方程的一个解；
当$x=1$时，$ax^2+bx=0$，也满足方程$ax^2+bx=0$，故$x=1$是方程的另一个解。
因此方程$ax^2+bx=0$的解为$x_1=0$，$x_2=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的解；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题属于基础题，解题核心是理解一元二次方程的解与对应代数式值为0的自变量取值的对应关系，直接通过表格查找对应值即可得到答案，不需要复杂计算。
【难度系数】
0.8
3. 一元二次方程$x^2 - 3x + a = 0$的一个解为$x=1$，则$a=$
2
。答案
3.2
解析
【分析】
根据一元二次方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=1是给定方程的解，因此只需将x=1代入原方程，即可得到仅含未知数a的一元一次方程，解这个方程就能求出a的取值。
【解析】
解：
∵$x=1$是一元二次方程$x^2 - 3x + a = 0$的一个解
∴将$x=1$代入原方程，可得：
$1^2 - 3×1 + a = 0$
计算化简得：$1 - 3 + a = 0$
即：$-2 + a = 0$
解得：$a=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，考查利用方程的解求方程中未知参数的方法，将已知解代入原方程转化为一元一次方程求解是这类题的通用解题思路，掌握该方法即可快速答题。
【难度系数】
0.9
根据一元二次方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=1是给定方程的解，因此只需将x=1代入原方程，即可得到仅含未知数a的一元一次方程，解这个方程就能求出a的取值。
【解析】
解：
∵$x=1$是一元二次方程$x^2 - 3x + a = 0$的一个解
∴将$x=1$代入原方程，可得：
$1^2 - 3×1 + a = 0$
计算化简得：$1 - 3 + a = 0$
即：$-2 + a = 0$
解得：$a=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，考查利用方程的解求方程中未知参数的方法，将已知解代入原方程转化为一元一次方程求解是这类题的通用解题思路，掌握该方法即可快速答题。
【难度系数】
0.9
