登录
4.【跨学科】苏轼在《念奴娇·赤壁怀古》中写道：“遥想公瑾当年，小乔初嫁了，雄姿英发。羽扇纶巾，谈笑间，樯橹灰飞烟灭。”根据资料，周瑜去世时年龄是两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，个位上数字的平方等于去世时的年龄。若设周瑜去世时年龄十位上的数字为x，则根据题意列出的方程是。
。
。
答案
4.(x+3)²=10x+x+3
解析
【分析】
解题时首先要明确题目中的等量关系：个位上数字的平方等于周瑜去世时的年龄。首先根据已知条件表示出个位数字，再掌握两位数的正确表示方法（两位数=10×十位数字+个位数字），最后将两个量对应代入等量关系即可列出方程。具体思路为：第一步，设十位数字为x，由“个位上的数字比十位上的数字大3”可得个位数字为x+3；第二步，用含x的代数式表示出这个两位数的年龄；第三步，结合“个位数字的平方等于年龄”的等量关系列方程。
【解析】
设周瑜去世时年龄十位上的数字为x，
∵个位上的数字比十位上的数字大3，
∴个位上的数字为$x+3$，
根据两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字，
∴周瑜去世时的年龄可表示为$10x + (x+3)$，即$10x+x+3$，
结合“个位上数字的平方等于去世时的年龄”的等量关系，可列方程为：
$(x+3)^2=10x+x+3$
【答案】
$(x+3)^2=10x+x+3$
【知识点】
两位数的表示；列一元二次方程
【点评】
本题结合古诗文背景考查实际问题的方程列写，解题核心是找准等量关系，正确用代数式表示两位数，整体考查内容偏基础，掌握相关规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确题目中的等量关系：个位上数字的平方等于周瑜去世时的年龄。首先根据已知条件表示出个位数字，再掌握两位数的正确表示方法（两位数=10×十位数字+个位数字），最后将两个量对应代入等量关系即可列出方程。具体思路为：第一步，设十位数字为x，由“个位上的数字比十位上的数字大3”可得个位数字为x+3；第二步，用含x的代数式表示出这个两位数的年龄；第三步，结合“个位数字的平方等于年龄”的等量关系列方程。
【解析】
设周瑜去世时年龄十位上的数字为x，
∵个位上的数字比十位上的数字大3，
∴个位上的数字为$x+3$，
根据两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字，
∴周瑜去世时的年龄可表示为$10x + (x+3)$，即$10x+x+3$，
结合“个位上数字的平方等于去世时的年龄”的等量关系，可列方程为：
$(x+3)^2=10x+x+3$
【答案】
$(x+3)^2=10x+x+3$
【知识点】
两位数的表示；列一元二次方程
【点评】
本题结合古诗文背景考查实际问题的方程列写，解题核心是找准等量关系，正确用代数式表示两位数，整体考查内容偏基础，掌握相关规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5. 某同学在估计方程$2x^2 -3x -3=0$的近似解时，通过计算列出表格。据此估计方程一个近似解的大致范围是
-0.7＜x＜-0.65
。答案
5.-0.7＜x＜-0.65
解析
【分析】
要估计一元二次方程$2x^2-3x-3=0$的近似解，我们可以将方程和二次函数$y=2x^2-3x-3$结合起来：方程的解就是函数值$y=0$时对应的$x$的值。由于二次函数的图象是连续的曲线，当两个不同的$x$对应的$y$值一正一负时，这两个$x$之间必然存在一个值使得$y=0$，也就是方程的解。所以我们只需要在表格中找到相邻两个$x$对应的$y$值异号的区间即可。
【解析】
方程$2x^2-3x-3=0$的解对应二次函数$y=2x^2-3x-3$中$y=0$时$x$的取值。
观察表格数据：
当$x=-0.65$时，$2x^2-3x-3=-0.205＜0$；
当$x=-0.7$时，$2x^2-3x-3=0.08＞0$。
因为二次函数图象是连续的，所以在$-0.7$和$-0.65$之间一定存在某个$x$，使得$2x^2-3x-3=0$，即方程的一个近似解在这个区间内。
【答案】
$-0.7＜x＜-0.65$
【知识点】
1. 一元二次方程近似解估算
2. 二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题考查一元二次方程近似解的估算方法，核心是利用二次函数值的正负变化确定解的范围，是探究一元二次方程解的基础方法，需要准确理解函数与方程的对应关系。
【难度系数】
0.7
要估计一元二次方程$2x^2-3x-3=0$的近似解，我们可以将方程和二次函数$y=2x^2-3x-3$结合起来：方程的解就是函数值$y=0$时对应的$x$的值。由于二次函数的图象是连续的曲线，当两个不同的$x$对应的$y$值一正一负时，这两个$x$之间必然存在一个值使得$y=0$，也就是方程的解。所以我们只需要在表格中找到相邻两个$x$对应的$y$值异号的区间即可。
【解析】
方程$2x^2-3x-3=0$的解对应二次函数$y=2x^2-3x-3$中$y=0$时$x$的取值。
观察表格数据：
当$x=-0.65$时，$2x^2-3x-3=-0.205＜0$；
当$x=-0.7$时，$2x^2-3x-3=0.08＞0$。
因为二次函数图象是连续的，所以在$-0.7$和$-0.65$之间一定存在某个$x$，使得$2x^2-3x-3=0$，即方程的一个近似解在这个区间内。
【答案】
$-0.7＜x＜-0.65$
【知识点】
1. 一元二次方程近似解估算
2. 二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题考查一元二次方程近似解的估算方法，核心是利用二次函数值的正负变化确定解的范围，是探究一元二次方程解的基础方法，需要准确理解函数与方程的对应关系。
【难度系数】
0.7
6. 若一元二次方程$ax^2+bx+c=0$中的$a$，$b$，$c$满足$a-b+c=0$，则方程必有根（
A.$x=0$
B.$x=1$
C.$x=-1$
D.$x=\pm1$
C
）。A.$x=0$
B.$x=1$
C.$x=-1$
D.$x=\pm1$
答案
6.C
解析
【分析】
解题的核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。我们可以通过将选项中的x值代入方程左边，对比所得式子与已知条件a-b+c=0是否匹配，快速判断哪个是方程的必有根，也可以直接观察已知式的结构，寻找x取何值时代入ax²+bx+c能得到该式。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，我们将各选项的x值代入方程左边$ax^2+bx+c$验证：
1. 当$x=0$时，左边$=a×0^2 + b×0 + c = c$，没有条件证明$c=0$，不符合要求，排除A；
2. 当$x=1$时，左边$=a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$，与已知$a-b+c=0$不符，排除B；
3. 当$x=-1$时，左边$=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c$，已知$a-b+c=0$，此时左边等于右边，因此$x=-1$是方程的根。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代数式代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的基础应用，无需解方程，通过代入验证即可快速得到答案，掌握根的定义是解决此类问题的关键。同学们也可以记忆相关结论：若方程满足$a-b+c=0$，则必有根$x=-1$；若满足$a+b+c=0$，则必有根$x=1$，能进一步提高解题效率。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。我们可以通过将选项中的x值代入方程左边，对比所得式子与已知条件a-b+c=0是否匹配，快速判断哪个是方程的必有根，也可以直接观察已知式的结构，寻找x取何值时代入ax²+bx+c能得到该式。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，我们将各选项的x值代入方程左边$ax^2+bx+c$验证：
1. 当$x=0$时，左边$=a×0^2 + b×0 + c = c$，没有条件证明$c=0$，不符合要求，排除A；
2. 当$x=1$时，左边$=a×1^2 + b×1 + c = a+b+c$，与已知$a-b+c=0$不符，排除B；
3. 当$x=-1$时，左边$=a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a - b + c$，已知$a-b+c=0$，此时左边等于右边，因此$x=-1$是方程的根。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代数式代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的基础应用，无需解方程，通过代入验证即可快速得到答案，掌握根的定义是解决此类问题的关键。同学们也可以记忆相关结论：若方程满足$a-b+c=0$，则必有根$x=-1$；若满足$a+b+c=0$，则必有根$x=1$，能进一步提高解题效率。
【难度系数】
0.8
7. 列表法解方程可能不是最直接或最高效的方法,但在某些情况下,它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解。根据表格可知方程$x^2 - ax -6=0$的解是(
A.$x=-2$
B.$x=3$
C.$x=2$
D.$x_1=-2,x_2=3$
D
)。A.$x=-2$
B.$x=3$
C.$x=2$
D.$x_1=-2,x_2=3$
答案
7.D
解析
【分析】
要解一元二次方程$x^2 - ax -6=0$，有两种常见思路：一是将方程变形为$x^2 - ax = 6$，方程的解就是使代数式$x^2 - ax$的值为6的未知数$x$的取值，直接对照表格就能找到对应$x$；二是先利用表格中给出的$x$和对应代数式的值求出参数$a$，再代入目标方程求解，两种思路都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法1：
将方程$x^2 - ax -6=0$变形为$x^2 - ax = 6$。
观察表格中$x^2 - ax$的取值：
当$x=-2$时，$x^2 - ax = 6$，满足变形后的等式；
当$x=3$时，$x^2 - ax = 6$，也满足变形后的等式。
因此方程$x^2 - ax -6=0$的解为$x_1=-2,x_2=3$。
方法2：
从表格选取$x=1$时$x^2 - ax = 0$，代入得：
$1^2 - a×1 = 0$，解得$a=1$。
把$a=1$代入原方程得$x^2 -x -6=0$，
因式分解得$(x+2)(x-3)=0$，
解得$x_1=-2,x_2=3$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题核心考查一元二次方程解的定义，解题方法灵活，既可以直接通过表格数据的对应关系快速得到答案，也可以先求解参数再解方程，能很好地考查学生对概念的理解和灵活解题的能力。
【难度系数】
0.8
要解一元二次方程$x^2 - ax -6=0$，有两种常见思路：一是将方程变形为$x^2 - ax = 6$，方程的解就是使代数式$x^2 - ax$的值为6的未知数$x$的取值，直接对照表格就能找到对应$x$；二是先利用表格中给出的$x$和对应代数式的值求出参数$a$，再代入目标方程求解，两种思路都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法1：
将方程$x^2 - ax -6=0$变形为$x^2 - ax = 6$。
观察表格中$x^2 - ax$的取值：
当$x=-2$时，$x^2 - ax = 6$，满足变形后的等式；
当$x=3$时，$x^2 - ax = 6$，也满足变形后的等式。
因此方程$x^2 - ax -6=0$的解为$x_1=-2,x_2=3$。
方法2：
从表格选取$x=1$时$x^2 - ax = 0$，代入得：
$1^2 - a×1 = 0$，解得$a=1$。
把$a=1$代入原方程得$x^2 -x -6=0$，
因式分解得$(x+2)(x-3)=0$，
解得$x_1=-2,x_2=3$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题核心考查一元二次方程解的定义，解题方法灵活，既可以直接通过表格数据的对应关系快速得到答案，也可以先求解参数再解方程，能很好地考查学生对概念的理解和灵活解题的能力。
【难度系数】
0.8
8.【数学应用】如图所示的是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40 m，宽为22 m。停车场内车道的宽都相等，所有停车位的占地面积之和为520 m²，求车道的宽度。设停车场内车道的宽度为x m，根据题意可列方程为(
A.$(40-2x)(22-x)=520$
B.$(40-x)(22-2x)=520$
C.$(40-x)(22-x)=520$
D.$(40-x)(22+x)=520$
C
)。A.$(40-2x)(22-x)=520$
B.$(40-x)(22-2x)=520$
C.$(40-x)(22-x)=520$
D.$(40-x)(22+x)=520$
答案
8.C
解析
【分析】
这是一道利用一元二次方程解决面积的实际问题，解题核心是用平移法将分散的停车位拼接为规则的矩形，简化面积计算。首先设车道宽度为x m，我们可以把所有停车位向中间平移，去掉车道的空隙后，停车位刚好组成一个完整的长方形，只需要求出这个长方形的长和宽，再根据“长方形面积=长×宽”结合已知的停车位总面积列方程即可。
【解析】
解：本题采用平移法求解：
1. 平移拼接：将上下两排停车位向中间平移，消除中间车道的间隔，可得一个完整的长方形停车位区域。
2. 求拼接后矩形的长和宽：
停车场总长为40 m，车道在水平方向占用的宽度为x m，因此拼接后停车位的长为$(40-x)\mathrm{m}$；
停车场总宽为22 m，车道在竖直方向占用的宽度为x m，因此拼接后停车位的宽为$(22-x)\mathrm{m}$。
3. 列方程：已知停车位总面积为$520\mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式可得：
$(40-x)(22-x)=520$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平移法求面积
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是面积类方程应用的典型题型，解题的关键是掌握平移法将不规则的分散图形转化为规则矩形，不需要分别计算每个停车位的面积，大大降低解题难度，也能避免重复扣除车道面积的错误。
【难度系数】
0.7
这是一道利用一元二次方程解决面积的实际问题，解题核心是用平移法将分散的停车位拼接为规则的矩形，简化面积计算。首先设车道宽度为x m，我们可以把所有停车位向中间平移，去掉车道的空隙后，停车位刚好组成一个完整的长方形，只需要求出这个长方形的长和宽，再根据“长方形面积=长×宽”结合已知的停车位总面积列方程即可。
【解析】
解：本题采用平移法求解：
1. 平移拼接：将上下两排停车位向中间平移，消除中间车道的间隔，可得一个完整的长方形停车位区域。
2. 求拼接后矩形的长和宽：
停车场总长为40 m，车道在水平方向占用的宽度为x m，因此拼接后停车位的长为$(40-x)\mathrm{m}$；
停车场总宽为22 m，车道在竖直方向占用的宽度为x m，因此拼接后停车位的宽为$(22-x)\mathrm{m}$。
3. 列方程：已知停车位总面积为$520\mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式可得：
$(40-x)(22-x)=520$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平移法求面积
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是面积类方程应用的典型题型，解题的关键是掌握平移法将不规则的分散图形转化为规则矩形，不需要分别计算每个停车位的面积，大大降低解题难度，也能避免重复扣除车道面积的错误。
【难度系数】
0.7
9. 某校生物研学活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的枝子，每个枝子又长出同样数目的小枝子。若该植物的一个主干及其上面的枝子和小枝子的总数是57，求这种植物每个枝子长出的小枝子个数。设这种植物每个枝子长出的小枝子个数为x，根据题意可列方程为
$x^2+x+1=57$
。答案
9.$x^2+x+1=57$
解析
【分析】
解题时首先要明确该植物的结构分为主干、枝子、小枝子三层，我们需要分别计算每层的数量，再依据“三层总数量为57”的等量关系列方程。第一步先确定主干数量，第二步计算枝子总数量，第三步计算小枝子总数量，最后将三者相加等于总数量即可得到所求方程。
【解析】
设这种植物每个枝子长出的小枝子个数为x：
1. 主干数量：该植物只有1个主干，因此主干数为1；
2. 枝子总数量：1个主干长出x个枝子，因此枝子总数为x；
3. 小枝子总数量：每个枝子长出x个小枝子，共有x个枝子，因此小枝子总数为$ x × x = x^2 $。
根据“主干、枝子、小枝子的总数是57”的等量关系，将三者相加得：
$ 1 + x + x^2 = 57 $，整理后为$ x^2 + x + 1 = 57 $。
【答案】
$ x^2+x+1=57 $
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 列代数式
3. 等量关系分析
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题，解题关键是理清不同层级的数量关系，注意不要漏算主干的数量，掌握这类分支问题的建模思路，也能为后续解决传播类、增长率类一元二次方程应用问题打好基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确该植物的结构分为主干、枝子、小枝子三层，我们需要分别计算每层的数量，再依据“三层总数量为57”的等量关系列方程。第一步先确定主干数量，第二步计算枝子总数量，第三步计算小枝子总数量，最后将三者相加等于总数量即可得到所求方程。
【解析】
设这种植物每个枝子长出的小枝子个数为x：
1. 主干数量：该植物只有1个主干，因此主干数为1；
2. 枝子总数量：1个主干长出x个枝子，因此枝子总数为x；
3. 小枝子总数量：每个枝子长出x个小枝子，共有x个枝子，因此小枝子总数为$ x × x = x^2 $。
根据“主干、枝子、小枝子的总数是57”的等量关系，将三者相加得：
$ 1 + x + x^2 = 57 $，整理后为$ x^2 + x + 1 = 57 $。
【答案】
$ x^2+x+1=57 $
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 列代数式
3. 等量关系分析
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的基础题，解题关键是理清不同层级的数量关系，注意不要漏算主干的数量，掌握这类分支问题的建模思路，也能为后续解决传播类、增长率类一元二次方程应用问题打好基础。
【难度系数】
0.8
10. 定义:如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$,那么称这个方程为“联合方程”。
(1)判断一元二次方程$2x^2+9x+7=0$是否为“联合方程”,并说明理由；
(2)已知$3x^2 - mx + n = 0$是关于$x$的“联合方程”,若$x=-2$是此“联合方程”的一个根,求$m$和$n$的值。
(1)判断一元二次方程$2x^2+9x+7=0$是否为“联合方程”,并说明理由；
(2)已知$3x^2 - mx + n = 0$是关于$x$的“联合方程”,若$x=-2$是此“联合方程”的一个根,求$m$和$n$的值。
答案
10.解:(1)该方程是“联合方程”。理由如下：
在一元二次方程$2x^2+9x+7=0$中,$a=2,b=9,c=7$。
$\because a-b+c=2-9+7=0$,
$\therefore$一元二次方程$2x^2+9x+7=0$是“联合方程”。
(2)$\because 3x^2 - mx + n = 0$是关于$x$的“联合方程”,
$\therefore 3-(-m)+n=0$,即$3+m+n=0$。
$\because x=-2$是此“联合方程”的一个根,
$\therefore 3×(-2)^2 - m×(-2)+n=0$,即$12+2m+n=0$。
解$\begin{cases}3+m+n=0,\\12+2m+n=0,\end{cases}$得$\begin{cases}m=-9,\\n=6,\end{cases}$
即$m=-9,n=6$。
在一元二次方程$2x^2+9x+7=0$中,$a=2,b=9,c=7$。
$\because a-b+c=2-9+7=0$,
$\therefore$一元二次方程$2x^2+9x+7=0$是“联合方程”。
(2)$\because 3x^2 - mx + n = 0$是关于$x$的“联合方程”,
$\therefore 3-(-m)+n=0$,即$3+m+n=0$。
$\because x=-2$是此“联合方程”的一个根,
$\therefore 3×(-2)^2 - m×(-2)+n=0$,即$12+2m+n=0$。
解$\begin{cases}3+m+n=0,\\12+2m+n=0,\end{cases}$得$\begin{cases}m=-9,\\n=6,\end{cases}$
即$m=-9,n=6$。
解析
【分析】
(1) 第一问紧扣“联合方程”的定义解题：先确定给定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再计算$a-b+c$的值，判断结果是否为0即可。
(2) 第二问通过两个等量关系联立求解：①根据“联合方程”定义，代入对应系数得到第一个关于$m$、$n$的方程；②根据一元二次方程根的定义，将$x=-2$代入原方程得到第二个关于$m$、$n$的方程，联立两个方程组成二元一次方程组，求解即可得到$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 该方程是“联合方程”。理由如下：
在一元二次方程$2x^2+9x+7=0$中，$a=2$，$b=9$，$c=7$。
$\because a-b+c=2-9+7=0$，
$\therefore$ 一元二次方程$2x^2+9x+7=0$是“联合方程”。
(2) $\because 3x^2 - mx + n = 0$是关于$x$的“联合方程”，
$\therefore 3 - (-m) + n = 0$，即$3 + m + n = 0$。
$\because x=-2$是此“联合方程”的一个根，
$\therefore 3× (-2)^2 - m× (-2) + n = 0$，即$12 + 2m + n = 0$。
联立得方程组$\begin{cases}3+m+n=0\\12+2m+n=0\end{cases}$，
用第二个方程减去第一个方程得：$9+m=0$，解得$m=-9$，
将$m=-9$代入$3+m+n=0$，得$3-9+n=0$，解得$n=6$。
【答案】
(1) 一元二次方程$2x^2+9x+7=0$是“联合方程”；
(2) $m=-9$，$n=6$
【知识点】
新定义问题、一元二次方程根的意义、解二元一次方程组
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新定义的规则，结合一元二次方程根的性质列出等量关系，考查学生的信息提取能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问紧扣“联合方程”的定义解题：先确定给定一元二次方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再计算$a-b+c$的值，判断结果是否为0即可。
(2) 第二问通过两个等量关系联立求解：①根据“联合方程”定义，代入对应系数得到第一个关于$m$、$n$的方程；②根据一元二次方程根的定义，将$x=-2$代入原方程得到第二个关于$m$、$n$的方程，联立两个方程组成二元一次方程组，求解即可得到$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 该方程是“联合方程”。理由如下：
在一元二次方程$2x^2+9x+7=0$中，$a=2$，$b=9$，$c=7$。
$\because a-b+c=2-9+7=0$，
$\therefore$ 一元二次方程$2x^2+9x+7=0$是“联合方程”。
(2) $\because 3x^2 - mx + n = 0$是关于$x$的“联合方程”，
$\therefore 3 - (-m) + n = 0$，即$3 + m + n = 0$。
$\because x=-2$是此“联合方程”的一个根，
$\therefore 3× (-2)^2 - m× (-2) + n = 0$，即$12 + 2m + n = 0$。
联立得方程组$\begin{cases}3+m+n=0\\12+2m+n=0\end{cases}$，
用第二个方程减去第一个方程得：$9+m=0$，解得$m=-9$，
将$m=-9$代入$3+m+n=0$，得$3-9+n=0$，解得$n=6$。
【答案】
(1) 一元二次方程$2x^2+9x+7=0$是“联合方程”；
(2) $m=-9$，$n=6$
【知识点】
新定义问题、一元二次方程根的意义、解二元一次方程组
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是准确理解新定义的规则，结合一元二次方程根的性质列出等量关系，考查学生的信息提取能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
