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5. 根据题意，列出方程：
(1)已知一个两位数，个位和十位上的数字的和为9，积为14，求这个两位数；
(2)在一块长10 m、宽8 m的矩形草坪中央划出一块面积为48 m²的矩形草地栽花，使原来矩形四周剩下的草坪的宽度相同，求这个宽度。
(1)已知一个两位数，个位和十位上的数字的和为9，积为14，求这个两位数；
(2)在一块长10 m、宽8 m的矩形草坪中央划出一块面积为48 m²的矩形草地栽花，使原来矩形四周剩下的草坪的宽度相同，求这个宽度。
答案
(1)设这个两位数的个位数字为x，则$x(9-x)=14$。
(2)设这个宽度为x m，则$(10-2x)(8-2x)=48$。
(2)设这个宽度为x m，则$(10-2x)(8-2x)=48$。
解析
【分析】
(1) 解决数字类问题时，先设其中一个数位的数字为未知数，这里设个位数字为x，根据个位与十位数字的和为9，可得十位数字为(9-x)，再结合两个数字的积为14的等量关系，就能列出对应方程。
(2) 解决几何面积类问题时，设四周剩下草坪的宽度为x m，由于四周都留等宽的草坪，因此中央栽花矩形的长为原长减去左右两个宽度即(10-2x)m，宽为原宽减去上下两个宽度即(8-2x)m，再根据中央矩形面积为48m²的等量关系，结合矩形面积公式即可列出方程。
【解析】
(1) 设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(9-x)，根据个位与十位数字的积为14，列方程得：
$x(9-x)=14$
(2) 设这个宽度为x m，则中央栽花矩形的长为(10-2x)m，宽为(8-2x)m，根据矩形面积公式列方程得：
$(10-2x)(8-2x)=48$
【答案】
(1)设这个两位数的个位数字为x，则$x(9-x)=14$。
(2)设这个宽度为x m，则$(10-2x)(8-2x)=48$。
【知识点】
列一元二次方程、数字问题、面积问题
【点评】
本题是列一元二次方程的基础题型，核心是准确提取题目中的等量关系，数字类问题要明确数位数字的和差关系，几何等宽问题要注意长和宽都需要减去2倍的宽度，避免出现仅减1倍宽度的常见错误。
【难度系数】
0.8
(1) 解决数字类问题时，先设其中一个数位的数字为未知数，这里设个位数字为x，根据个位与十位数字的和为9，可得十位数字为(9-x)，再结合两个数字的积为14的等量关系，就能列出对应方程。
(2) 解决几何面积类问题时，设四周剩下草坪的宽度为x m，由于四周都留等宽的草坪，因此中央栽花矩形的长为原长减去左右两个宽度即(10-2x)m，宽为原宽减去上下两个宽度即(8-2x)m，再根据中央矩形面积为48m²的等量关系，结合矩形面积公式即可列出方程。
【解析】
(1) 设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(9-x)，根据个位与十位数字的积为14，列方程得：
$x(9-x)=14$
(2) 设这个宽度为x m，则中央栽花矩形的长为(10-2x)m，宽为(8-2x)m，根据矩形面积公式列方程得：
$(10-2x)(8-2x)=48$
【答案】
(1)设这个两位数的个位数字为x，则$x(9-x)=14$。
(2)设这个宽度为x m，则$(10-2x)(8-2x)=48$。
【知识点】
列一元二次方程、数字问题、面积问题
【点评】
本题是列一元二次方程的基础题型，核心是准确提取题目中的等量关系，数字类问题要明确数位数字的和差关系，几何等宽问题要注意长和宽都需要减去2倍的宽度，避免出现仅减1倍宽度的常见错误。
【难度系数】
0.8
6. 若关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2 + 2x + m^2 -4=0$的常数项为0，则$m$的值是（
A.$\pm 2$
B.$2$
C.$-2$
D.无法确定
C
）。A.$\pm 2$
B.$2$
C.$-2$
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
解决这道题需要抓住两个核心条件：一是方程是一元二次方程，隐含要求二次项系数不能为0；二是常数项为0。解题时先根据常数项为0列出关于m的方程，求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的m值，即可得到正确结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$c$是常数项。
1. 根据“常数项为0”的条件列方程：$m^2-4=0$，解得$m=\pm2$。
2. 根据“方程是一元二次方程”的隐含条件，可得二次项系数不为0：$m-2≠0$，即$m≠2$。
3. 结合上述两个结论，排除$m=2$，最终可得$m=-2$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的系数与项
3. 不等式求解
【点评】
本题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接根据常数项为0误选A，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，对所求结果进行验证筛选。
【难度系数】
0.6
解决这道题需要抓住两个核心条件：一是方程是一元二次方程，隐含要求二次项系数不能为0；二是常数项为0。解题时先根据常数项为0列出关于m的方程，求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合要求的m值，即可得到正确结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$c$是常数项。
1. 根据“常数项为0”的条件列方程：$m^2-4=0$，解得$m=\pm2$。
2. 根据“方程是一元二次方程”的隐含条件，可得二次项系数不为0：$m-2≠0$，即$m≠2$。
3. 结合上述两个结论，排除$m=2$，最终可得$m=-2$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的系数与项
3. 不等式求解
【点评】
本题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接根据常数项为0误选A，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，对所求结果进行验证筛选。
【难度系数】
0.6
7. 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个方程可能是（
A.$3x + 1 = 0$
B.$x^2 + 3 = 0$
C.$3x^2 + 1 = 0$
D.$3x^2 + 6x = 1$
C
）。A.$3x + 1 = 0$
B.$x^2 + 3 = 0$
C.$3x^2 + 1 = 0$
D.$3x^2 + 6x = 1$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程的基本概念和一般形式，结合题目给出的两个条件筛选选项：①方程是一元二次方程，且化为一般形式后二次项系数为3；②常数项为1。我们可以先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$c$是常数项，再逐个分析选项是否符合这两个条件即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$c$为常数项，结合题目要求逐一判断选项：
选项A：$3x+1=0$最高次为1次，是一元一次方程，不符合一元二次方程的要求，排除；
选项B：$x^2+3=0$的二次项系数为1，常数项为3，不符合题目给出的系数要求，排除；
选项C：$3x^2+1=0$的二次项系数为3，常数项为1，完全符合条件；
选项D：将$3x^2+6x=1$化为一般形式得$3x^2+6x-1=0$，常数项为$-1$，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式，注意判断各项系数前要先将方程化为等号右侧为0的一般形式，避免看错常数项。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一元二次方程的基本概念和一般形式，结合题目给出的两个条件筛选选项：①方程是一元二次方程，且化为一般形式后二次项系数为3；②常数项为1。我们可以先回忆一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$c$是常数项，再逐个分析选项是否符合这两个条件即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$c$为常数项，结合题目要求逐一判断选项：
选项A：$3x+1=0$最高次为1次，是一元一次方程，不符合一元二次方程的要求，排除；
选项B：$x^2+3=0$的二次项系数为1，常数项为3，不符合题目给出的系数要求，排除；
选项C：$3x^2+1=0$的二次项系数为3，常数项为1，完全符合条件；
选项D：将$3x^2+6x=1$化为一般形式得$3x^2+6x-1=0$，常数项为$-1$，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式，注意判断各项系数前要先将方程化为等号右侧为0的一般形式，避免看错常数项。
【难度系数】
0.8
8.【数学文化】我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问:阔及长各几步?”其大意是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,它的长、宽各是多少步?设这个矩形的宽为x步,根据题意可列方程为(
A.$x(60-x)=864$
B.$x(x-60)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$2[x+(x+60)]=864$
A
)。A.$x(60-x)=864$
B.$x(x-60)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$2[x+(x+60)]=864$
答案
A
解析
【分析】
解这道题可按以下思路逐步推导：首先明确题目给出的核心数量关系，一是长与宽的和为60步，二是矩形面积为864平方步；第一步结合设好的宽为x步，用长宽之和表示出长的表达式；第二步回忆矩形面积的计算公式；第三步将长、宽、面积的对应数值代入公式，即可列出符合要求的方程，再匹配选项就能得到正确结果。
【解析】
设该矩形的宽为x步，
∵ 长与宽共60步，
∴ 矩形的长为$(60-x)$步，
根据矩形面积公式：$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长}× \mathrm{宽}$，已知面积为864平方步，代入得：
$x(60-x)=864$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用，矩形面积公式
【点评】
本题结合我国古代数学文化设置情境，考查根据实际问题列方程的能力，解题关键是准确梳理题目中的数量关系，属于基础题型，熟练掌握常见几何图形的面积公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解这道题可按以下思路逐步推导：首先明确题目给出的核心数量关系，一是长与宽的和为60步，二是矩形面积为864平方步；第一步结合设好的宽为x步，用长宽之和表示出长的表达式；第二步回忆矩形面积的计算公式；第三步将长、宽、面积的对应数值代入公式，即可列出符合要求的方程，再匹配选项就能得到正确结果。
【解析】
设该矩形的宽为x步，
∵ 长与宽共60步，
∴ 矩形的长为$(60-x)$步，
根据矩形面积公式：$\mathrm{矩形面积}=\mathrm{长}× \mathrm{宽}$，已知面积为864平方步，代入得：
$x(60-x)=864$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的实际应用，矩形面积公式
【点评】
本题结合我国古代数学文化设置情境，考查根据实际问题列方程的能力，解题关键是准确梳理题目中的数量关系，属于基础题型，熟练掌握常见几何图形的面积公式即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
9. 在实数范围内定义一种运算“*”，运算法则为 $a * b = a^2 - ab$。例如：$2 * 1 = 2^2 - 2×1 = 2$。根据这个法则解决下列问题：
(1)计算 $3 * 2$ 的结果是
(2)判断方程 $(t + 2) * (2t + 1) = 0$ 是否为一元二次方程。如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由。
(1)计算 $3 * 2$ 的结果是
3
。(2)判断方程 $(t + 2) * (2t + 1) = 0$ 是否为一元二次方程。如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由。
答案
(1)3
(2)解:由运算法则得$(t+2)^2 - (t+2)(2t+1)=0$,整理得$t^2 + t - 2=0$,
∴$(t+2)*(2t+1)=0$是一元二次方程,化成一般形式为$t^2 + t - 2=0$。
(2)解:由运算法则得$(t+2)^2 - (t+2)(2t+1)=0$,整理得$t^2 + t - 2=0$,
∴$(t+2)*(2t+1)=0$是一元二次方程,化成一般形式为$t^2 + t - 2=0$。
解析
【分析】
(1) 解决新定义运算问题首先要明确运算规则，本题规则为$a*b=a^2-ab$，计算$3*2$时只需把$a=3$、$b=2$直接代入公式，按有理数运算顺序计算即可。
(2) 判断方程类型首先要按新运算规则代入：将$(t+2)$看作$a$，$(2t+1)$看作$b$，代入运算公式得到等式，再通过整式乘法、去括号、合并同类项化简，最后根据一元二次方程的定义（只含1个未知数、未知数最高次数为2的整式方程）判断，若符合则整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式。
【解析】
(1) 根据运算法则代入$a=3$，$b=2$：
$3*2=3^2-3×2=9-6=3$。
(2) 解：根据运算规则代入得：
$(t+2)^2 - (t+2)(2t+1)=0$，
展开计算：
$t^2+4t+4-(2t^2+5t+2)=0$，
去括号、合并同类项：
$t^2+4t+4-2t^2-5t-2=0$
$-t^2-t+2=0$，
两边同乘$-1$得$t^2 + t - 2=0$。
该方程只含1个未知数$t$，未知数最高次数为2，且是整式方程，因此是一元二次方程。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$
(2) 是一元二次方程，一般形式为$\boldsymbol{t^2 + t - 2=0}$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程判定、整式化简
【点评】
本题结合新定义运算考查整式运算和一元二次方程的相关知识，解题核心是准确理解新运算规则，代入后正确化简即可，计算时需注意去括号的符号变化，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.8
(1) 解决新定义运算问题首先要明确运算规则，本题规则为$a*b=a^2-ab$，计算$3*2$时只需把$a=3$、$b=2$直接代入公式，按有理数运算顺序计算即可。
(2) 判断方程类型首先要按新运算规则代入：将$(t+2)$看作$a$，$(2t+1)$看作$b$，代入运算公式得到等式，再通过整式乘法、去括号、合并同类项化简，最后根据一元二次方程的定义（只含1个未知数、未知数最高次数为2的整式方程）判断，若符合则整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式。
【解析】
(1) 根据运算法则代入$a=3$，$b=2$：
$3*2=3^2-3×2=9-6=3$。
(2) 解：根据运算规则代入得：
$(t+2)^2 - (t+2)(2t+1)=0$，
展开计算：
$t^2+4t+4-(2t^2+5t+2)=0$，
去括号、合并同类项：
$t^2+4t+4-2t^2-5t-2=0$
$-t^2-t+2=0$，
两边同乘$-1$得$t^2 + t - 2=0$。
该方程只含1个未知数$t$，未知数最高次数为2，且是整式方程，因此是一元二次方程。
【答案】
(1) $\boldsymbol{3}$
(2) 是一元二次方程，一般形式为$\boldsymbol{t^2 + t - 2=0}$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程判定、整式化简
【点评】
本题结合新定义运算考查整式运算和一元二次方程的相关知识，解题核心是准确理解新运算规则，代入后正确化简即可，计算时需注意去括号的符号变化，避免低级计算错误。
【难度系数】
0.8
10. 定义:若关于 $ x $ 的方程 $ a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0 $ ($ a_1 ≠ 0, a_1, b_1, c_1 $ 是常数)与 $ a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0 $ ($ a_2 ≠ 0, a_2, b_2, c_2 $ 是常数)的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足 $ a_1 + a_2 = 0, b_1 = b_2, c_1 + c_2 = 0 $,则这两个方程互为“对称方程”。比如求方程 $ 2x^2 - 3x + 1 = 0 $ 的“对称方程”,这样思考:由方程 $ 2x^2 - 3x + 1 = 0 $ 可知, $ a_1 = 2, b_1 = -3, c_1 = 1 $,根据 $ a_1 + a_2 = 0, b_1 = b_2, c_1 + c_2 = 0 $,求出 $ a_2, b_2, c_2 $ 的值就能确定这个方程的“对称方程”。
请用以上方法解决下面问题:
(1)方程 $ -x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的“对称方程”是
(2)若关于 $ x $ 的方程 $ 5x^2 + (m - 1)x - n = 0 $ 与 $ -5x^2 - x = 1 $ 互为“对称方程”,求 $ m, n $ 的值。
请用以上方法解决下面问题:
(1)方程 $ -x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的“对称方程”是
$x^2 -4x -3=0$
;(2)若关于 $ x $ 的方程 $ 5x^2 + (m - 1)x - n = 0 $ 与 $ -5x^2 - x = 1 $ 互为“对称方程”,求 $ m, n $ 的值。
答案
(1)$x^2 -4x -3=0$
(2)解:由$-5x^2 -x=1$得$-5x^2 -x -1=0$。
∵方程$5x^2 + (m-1)x -n=0$与$-5x^2 -x -1=0$互为“对称方程”,
∴$m-1=-1,-n+(-1)=0$,
∴$m=0,n=-1$。
(2)解:由$-5x^2 -x=1$得$-5x^2 -x -1=0$。
∵方程$5x^2 + (m-1)x -n=0$与$-5x^2 -x -1=0$互为“对称方程”,
∴$m-1=-1,-n+(-1)=0$,
∴$m=0,n=-1$。
解析
【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解“对称方程”的系数关系：两个一元二次方程的二次项系数互为相反数、一次项系数相等、常数项互为相反数。
(1) 先找出已知方程的二次项系数、一次项系数、常数项，再根据对称方程的系数关系求出对应系数，即可写出对称方程；
(2) 先将给出的非一般形式的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，再根据对称方程的系数关系列关于$m$、$n$的等式，求解即可得到$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 方程$-x^2 - 4x + 3 = 0$中，$a_1=-1$，$b_1=-4$，$c_1=3$，根据“对称方程”的定义可得：
$a_2=-a_1=1$，$b_2=b_1=-4$，$c_2=-c_1=-3$，
因此“对称方程”为$x^2 -4x -3=0$。
(2) 先将方程$-5x^2 - x = 1$整理为一般形式：
移项得$-5x^2 - x - 1 = 0$，
∵ 方程$5x^2 + (m - 1)x - n = 0$与$-5x^2 - x - 1 = 0$互为“对称方程”，
∴ 一次项系数相等：$m-1=-1$，常数项满足$-n + (-1)=0$，
分别解得：$m=0$，$n=-1$。
【答案】
(1)$x^2 -4x -3=0$
(2)$m=0$，$n=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 新定义理解应用
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于新定义基础题型，重点考查学生的阅读理解能力和知识迁移运用能力，解题的关键是读懂“对称方程”的定义，抓住系数之间的数量关系进行计算，只要审题仔细，很容易拿到满分。
【难度系数】
0.8
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解“对称方程”的系数关系：两个一元二次方程的二次项系数互为相反数、一次项系数相等、常数项互为相反数。
(1) 先找出已知方程的二次项系数、一次项系数、常数项，再根据对称方程的系数关系求出对应系数，即可写出对称方程；
(2) 先将给出的非一般形式的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$的一般形式，再根据对称方程的系数关系列关于$m$、$n$的等式，求解即可得到$m$、$n$的值。
【解析】
(1) 方程$-x^2 - 4x + 3 = 0$中，$a_1=-1$，$b_1=-4$，$c_1=3$，根据“对称方程”的定义可得：
$a_2=-a_1=1$，$b_2=b_1=-4$，$c_2=-c_1=-3$，
因此“对称方程”为$x^2 -4x -3=0$。
(2) 先将方程$-5x^2 - x = 1$整理为一般形式：
移项得$-5x^2 - x - 1 = 0$，
∵ 方程$5x^2 + (m - 1)x - n = 0$与$-5x^2 - x - 1 = 0$互为“对称方程”，
∴ 一次项系数相等：$m-1=-1$，常数项满足$-n + (-1)=0$，
分别解得：$m=0$，$n=-1$。
【答案】
(1)$x^2 -4x -3=0$
(2)$m=0$，$n=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程一般形式
2. 新定义理解应用
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题属于新定义基础题型，重点考查学生的阅读理解能力和知识迁移运用能力，解题的关键是读懂“对称方程”的定义，抓住系数之间的数量关系进行计算，只要审题仔细，很容易拿到满分。
【难度系数】
0.8
