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1. 下列方程是一元二次方程的是(
A.$x^2 -2x +1=0$
B.$x^2 +3=\frac{2}{x}$
C.$x^2 -2y +4=0$
D.$x -2y=1$
A
)。A.$x^2 -2x +1=0$
B.$x^2 +3=\frac{2}{x}$
C.$x^2 -2y +4=0$
D.$x -2y=1$
答案
A
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先需明确一元二次方程的核心判定条件：①是整式方程（分母不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时只需对照这三个条件逐一排查每个选项即可得出正确答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程为一元二次方程，逐一分析选项：
选项A：$x^2 -2x +1=0$，仅含未知数$x$，$x$的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义；
选项B：$x^2 +3=\frac{2}{x}$，分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
选项C：$x^2 -2y +4=0$，含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合要求；
选项D：$x -2y=1$，含有两个未知数，且未知数最高次数为1，属于二元一次方程，不符合要求。
综上，只有A选项符合一元二次方程的定义。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对一元二次方程定义的掌握程度，解题的关键是牢记一元二次方程的三个判定要点，注意区分整式方程与分式方程、一元方程与多元方程的差异，避免因概念混淆失分。
【难度系数】
0.9
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先需明确一元二次方程的核心判定条件：①是整式方程（分母不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时只需对照这三个条件逐一排查每个选项即可得出正确答案。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程为一元二次方程，逐一分析选项：
选项A：$x^2 -2x +1=0$，仅含未知数$x$，$x$的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义；
选项B：$x^2 +3=\frac{2}{x}$，分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
选项C：$x^2 -2y +4=0$，含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合要求；
选项D：$x -2y=1$，含有两个未知数，且未知数最高次数为1，属于二元一次方程，不符合要求。
综上，只有A选项符合一元二次方程的定义。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对一元二次方程定义的掌握程度，解题的关键是牢记一元二次方程的三个判定要点，注意区分整式方程与分式方程、一元方程与多元方程的差异，避免因概念混淆失分。
【难度系数】
0.9
2. 一元二次方程$2x^2 - 3 = 5x$化成一般形式是(
A.$2x^2 + 5x - 3 = 0$
B.$2x^2 - 5x - 3 = 0$
C.$2x^2 + 5x + 3 = 0$
D.$2x^2 - 5x + 3 = 0$
B
)。A.$2x^2 + 5x - 3 = 0$
B.$2x^2 - 5x - 3 = 0$
C.$2x^2 + 5x + 3 = 0$
D.$2x^2 - 5x + 3 = 0$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程一般形式的规范：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），要求所有项都移到等号左侧，等号右侧为0。解题时先将原方程中右侧的项全部移到左侧，移项时注意要改变符号，再整理出符合一般形式的式子，最后对应选项判断即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）。
对原方程$2x^2 - 3 = 5x$进行移项，将等号右侧的$5x$移到左侧，移项变号，可得：
$2x^2 - 3 - 5x = 0$
按照未知数的降幂排列整理为：$2x^2 - 5x - 3 = 0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式；移项法则
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查一元二次方程一般形式的化简，解题的易错点是移项时符号处理错误，牢记移项变号的规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程一般形式的规范：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），要求所有项都移到等号左侧，等号右侧为0。解题时先将原方程中右侧的项全部移到左侧，移项时注意要改变符号，再整理出符合一般形式的式子，最后对应选项判断即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）。
对原方程$2x^2 - 3 = 5x$进行移项，将等号右侧的$5x$移到左侧，移项变号，可得：
$2x^2 - 3 - 5x = 0$
按照未知数的降幂排列整理为：$2x^2 - 5x - 3 = 0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式；移项法则
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查一元二次方程一般形式的化简，解题的易错点是移项时符号处理错误，牢记移项变号的规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
3. 一元二次方程$x^2 + 3x = 1$的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（
A.1,3,1
B.1,3,-1
C.0,-3,1
D.0,-3,-1
B
）。A.1,3,1
B.1,3,-1
C.0,-3,1
D.0,-3,-1
答案
B
解析
【分析】
要确定一元二次方程的各项系数，首先需要明确：只有将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），才能对应找到二次项系数、一次项系数和常数项。因此解题第一步要先对原方程移项，把等号右侧的项移到左侧，使方程右边为0，整理成一般形式后再提取各项系数，注意移项时要改变符号，避免常数项符号出错。
【解析】
1. 一元二次方程的一般形式为：$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。
2. 对原方程$x^2 + 3x = 1$移项，将右侧的1移到左侧，得到一般形式：$x^2 + 3x - 1 = 0$。
3. 对照一般形式可知：二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为-1，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对一元二次方程基本定义的掌握，易错点是未将方程化为一般形式就直接确定常数项，忽略移项后的符号变化。
【难度系数】
0.8
要确定一元二次方程的各项系数，首先需要明确：只有将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），才能对应找到二次项系数、一次项系数和常数项。因此解题第一步要先对原方程移项，把等号右侧的项移到左侧，使方程右边为0，整理成一般形式后再提取各项系数，注意移项时要改变符号，避免常数项符号出错。
【解析】
1. 一元二次方程的一般形式为：$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。
2. 对原方程$x^2 + 3x = 1$移项，将右侧的1移到左侧，得到一般形式：$x^2 + 3x - 1 = 0$。
3. 对照一般形式可知：二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为-1，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题是基础概念题，主要考查对一元二次方程基本定义的掌握，易错点是未将方程化为一般形式就直接确定常数项，忽略移项后的符号变化。
【难度系数】
0.8
4. 一元二次方程$5x^2 -6x -1=0$的一次项系数是
-6
。答案
-6
解析
【分析】
首先回忆一元二次方程的一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数，$bx$是一次项，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时只需将给定方程和一般形式对照，找到对应一次项的系数即可，注意系数要包含前面的符号。
【解析】
一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中一次项为$bx$，对应的$b$就是一次项系数。
将题目中的方程$5x^2 -6x -1=0$与标准形式对照，可得一次项为$-6x$，因此一次项系数为$-6$。
【答案】
$-6$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对一元二次方程各组成部分的识别能力，解题时要注意各项系数需要连同前面的正负号一起判断，避免因忽略符号出错。
【难度系数】
0.9
首先回忆一元二次方程的一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数，$bx$是一次项，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时只需将给定方程和一般形式对照，找到对应一次项的系数即可，注意系数要包含前面的符号。
【解析】
一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中一次项为$bx$，对应的$b$就是一次项系数。
将题目中的方程$5x^2 -6x -1=0$与标准形式对照，可得一次项为$-6x$，因此一次项系数为$-6$。
【答案】
$-6$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对一元二次方程各组成部分的识别能力，解题时要注意各项系数需要连同前面的正负号一起判断，避免因忽略符号出错。
【难度系数】
0.9
1.下列方程是一元二次方程的是(
A.$3x^2 + \dfrac{1}{x} = 0$
B.$5x^2 - 6y - 3 = 0$
C.$3x^2 - 2x - 1 = 0$
D.$ax^2 + bx + c = 0$
C
)。A.$3x^2 + \dfrac{1}{x} = 0$
B.$5x^2 - 6y - 3 = 0$
C.$3x^2 - 2x - 1 = 0$
D.$ax^2 + bx + c = 0$
答案
C
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需紧扣一元二次方程的定义，明确四个核心判断条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。我们可以带着这四个条件逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，需同时满足三个核心要求：1. 属于整式方程；2. 仅含一个未知数；3. 未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。
对各选项逐一分析：
选项A：方程中含有$\dfrac{1}{x}$，属于分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的要求，故A错误；
选项B：方程中含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合“仅含一个未知数”的要求，故B错误；
选项C：方程仅含未知数$x$，$x$的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数$3≠0$，完全符合一元二次方程的定义，故C正确；
选项D：未明确说明二次项系数$a≠0$，当$a=0$时，方程退化为一元一次方程，不符合要求，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式方程的判断
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义要点，排查选项时要注意两个易错点：一是要区分整式方程和分式方程，二是含字母系数的一元二次方程必须保证二次项系数不为0。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为一元二次方程，需紧扣一元二次方程的定义，明确四个核心判断条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。我们可以带着这四个条件逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，需同时满足三个核心要求：1. 属于整式方程；2. 仅含一个未知数；3. 未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。
对各选项逐一分析：
选项A：方程中含有$\dfrac{1}{x}$，属于分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的要求，故A错误；
选项B：方程中含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合“仅含一个未知数”的要求，故B错误；
选项C：方程仅含未知数$x$，$x$的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数$3≠0$，完全符合一元二次方程的定义，故C正确；
选项D：未明确说明二次项系数$a≠0$，当$a=0$时，方程退化为一元一次方程，不符合要求，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式方程的判断
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义要点，排查选项时要注意两个易错点：一是要区分整式方程和分式方程，二是含字母系数的一元二次方程必须保证二次项系数不为0。
【难度系数】
0.8
2. 将一元二次方程$(x-1)^2 +4=0$化成$ax^2+bx+c=0$的形式，$a,b,c$的值分别为（
A.$1,-2,5$
B.$1,-1,4$
C.$-1,5,2$
D.$1,2,5$
A
）。A.$1,-2,5$
B.$1,-1,4$
C.$-1,5,2$
D.$1,2,5$
答案
A
解析
【分析】
要将给定的方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，首先需要利用完全平方公式将方程左边的$(x-1)^2$展开，再合并同类项整理成一般式，最后对应二次项系数、一次项系数、常数项即可得到$a、b、c$的值。
【解析】
首先对原方程进行展开整理：
1. 利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开$(x-1)^2$，原方程变为：
$x^2 - 2x + 1 + 4 = 0$
2. 合并同类项，整理为$ax^2+bx+c=0$的标准形式：
$x^2 - 2x + 5 = 0$
3. 对应标准形式可得：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=5$。
因此对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的一般形式；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的展开规则，整理方程时要注意各项的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
要将给定的方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，首先需要利用完全平方公式将方程左边的$(x-1)^2$展开，再合并同类项整理成一般式，最后对应二次项系数、一次项系数、常数项即可得到$a、b、c$的值。
【解析】
首先对原方程进行展开整理：
1. 利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开$(x-1)^2$，原方程变为：
$x^2 - 2x + 1 + 4 = 0$
2. 合并同类项，整理为$ax^2+bx+c=0$的标准形式：
$x^2 - 2x + 5 = 0$
3. 对应标准形式可得：二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=5$。
因此对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的一般形式；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的展开规则，整理方程时要注意各项的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
3. 将一元二次方程$2x^2 - (m+1)x +1 = x(x+1)$化成一般形式后，二次项系数为1，一次项系数为－1，则$m$的值为（
A.－1
B.1
C.－2
D.2
A
）。A.－1
B.1
C.－2
D.2
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题思路为：先将原方程通过去括号、移项、合并同类项整理为一般形式，再根据题目给出的一次项系数为$-1$的条件，建立关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
首先对原方程进行化简：
1. 去括号：原方程$2x^2 - (m+1)x +1 = x(x+1)$右边展开得$2x^2 - (m+1)x +1 = x^2 + x$
2. 移项：将右侧所有项移到左侧，得$2x^2 - (m+1)x +1 - x^2 - x = 0$
3. 合并同类项：
二次项：$2x^2 - x^2 = x^2$
一次项：$-(m+1)x -x = -(m+2)x$
常数项为$1$
因此方程的一般形式为$x^2 - (m+2)x +1 = 0$
根据题意，一次项系数为$-1$，即：
$-(m+2) = -1$
解得：$m+2 = 1$，$m = -1$
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式的加减运算
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对一元二次方程一般形式中各项系数的识别，解题的关键是正确化简原方程，注意去括号、移项时的符号问题，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。解题思路为：先将原方程通过去括号、移项、合并同类项整理为一般形式，再根据题目给出的一次项系数为$-1$的条件，建立关于$m$的一元一次方程，求解即可得到$m$的值。
【解析】
首先对原方程进行化简：
1. 去括号：原方程$2x^2 - (m+1)x +1 = x(x+1)$右边展开得$2x^2 - (m+1)x +1 = x^2 + x$
2. 移项：将右侧所有项移到左侧，得$2x^2 - (m+1)x +1 - x^2 - x = 0$
3. 合并同类项：
二次项：$2x^2 - x^2 = x^2$
一次项：$-(m+1)x -x = -(m+2)x$
常数项为$1$
因此方程的一般形式为$x^2 - (m+2)x +1 = 0$
根据题意，一次项系数为$-1$，即：
$-(m+2) = -1$
解得：$m+2 = 1$，$m = -1$
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 整式的加减运算
3. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对一元二次方程一般形式中各项系数的识别，解题的关键是正确化简原方程，注意去括号、移项时的符号问题，熟练掌握相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
4. 将一元二次方程$(1+3x)(x-3)=2$化成一般形式的结果是
$3x^2 -8x -5=0$
，其中二次项系数为3
，一次项系数为-8
，常数项为-5
。答案
$3x^2 -8x -5=0$，二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-5
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），解题思路如下：第一步先把等号左侧的多项式乘积展开，第二步将等号右侧的常数项移到左侧，第三步合并同类项，整理成左侧按$x$的降幂排列、右侧为0的标准形式，最后对照一般形式，分别找出带符号的二次项系数、一次项系数和常数项即可。
【解析】
1. 展开等号左侧的多项式乘积：
$\begin{aligned}(1+3x)(x-3)&=1· x + 1×(-3) + 3x· x + 3x×(-3)\\&=x - 3 + 3x^2 - 9x\end{aligned}$
2. 替换原方程并移项：
原方程变为$x - 3 + 3x^2 - 9x = 2$，将右侧的2移到左侧（移项要变号），得：
$3x^2 + x - 9x - 3 - 2 = 0$
3. 合并同类项，整理为一般形式：
合并同类项后得$3x^2 - 8x - 5 = 0$
4. 对应确定各项系数：
对照一元二次方程一般形式，二次项系数为最高次项$3x^2$的系数3，一次项系数为$-8x$的系数$-8$，常数项为不含未知数的项$-5$。
【答案】
$3x^2 -8x -5=0$，二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-5
【知识点】
一元二次方程的一般形式、多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考察一元二次方程一般形式的转化规则，解题时要注意多项式乘法不要漏乘、移项记得变号，确定系数时要连同项前的正负号一起判断，是后续学习一元二次方程解法的必备基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），解题思路如下：第一步先把等号左侧的多项式乘积展开，第二步将等号右侧的常数项移到左侧，第三步合并同类项，整理成左侧按$x$的降幂排列、右侧为0的标准形式，最后对照一般形式，分别找出带符号的二次项系数、一次项系数和常数项即可。
【解析】
1. 展开等号左侧的多项式乘积：
$\begin{aligned}(1+3x)(x-3)&=1· x + 1×(-3) + 3x· x + 3x×(-3)\\&=x - 3 + 3x^2 - 9x\end{aligned}$
2. 替换原方程并移项：
原方程变为$x - 3 + 3x^2 - 9x = 2$，将右侧的2移到左侧（移项要变号），得：
$3x^2 + x - 9x - 3 - 2 = 0$
3. 合并同类项，整理为一般形式：
合并同类项后得$3x^2 - 8x - 5 = 0$
4. 对应确定各项系数：
对照一元二次方程一般形式，二次项系数为最高次项$3x^2$的系数3，一次项系数为$-8x$的系数$-8$，常数项为不含未知数的项$-5$。
【答案】
$3x^2 -8x -5=0$，二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-5
【知识点】
一元二次方程的一般形式、多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，核心考察一元二次方程一般形式的转化规则，解题时要注意多项式乘法不要漏乘、移项记得变号，确定系数时要连同项前的正负号一起判断，是后续学习一元二次方程解法的必备基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
