7. 如图，P是矩形ABCD内一点，AP⊥BP，CE⊥BP于点E，BP=CE。
(1)求证:四边形ABCD是正方形；
(2)连接AC，延长EC到点F，使CF=BE，连接PF交BC的延长线于点G，求∠BGP的度数。

(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°。
∵AP⊥BP,
∴∠APB=90°，
∴∠ABP+∠PAB=90°，
∴∠PBC=∠PAB。
∵CE⊥BP,
∴∠BEC=90°=∠APB。
∵BP=CE,
∴△ABP≌△BCE(AAS)，
∴AB=BC,
∴四边形ABCD是正方形。
(2)
∵△ABP≌△BCE，
∴AP=BE。
∵CF=BE,
∴AP=CF。
∵AP⊥BP,FE⊥BP，
∴AP//CF，
∴四边形ACFP是平行四边形，
∴AC//PF，
∴∠ACB=∠BGP。
∵∠ABC=90°,AB=BC，
∴∠ACB=45°，
∴∠BGP=∠ACB=45°。

【分析】
(1)要证明矩形ABCD是正方形，只需证明一组邻边相等（即AB=BC）即可。结合已知的垂直条件，可通过证明△ABP≌△BCE得到AB=BC：先利用矩形的直角性质推导同角的余角相等，得到两组对应角相等，再结合BP=CE的条件，用AAS判定两个三角形全等即可得证。
(2)要求∠BGP的度数，可通过角的转化求解：先由第一问的全等得到AP=BE，结合CF=BE推出AP=CF，再根据AP、CF都垂直于BP可得AP//CF，即可判定四边形ACFP是平行四边形，得到AC//PF，将∠BGP转化为正方形对角线与边的夹角∠ACB，利用正方形性质得∠ACB=45°即可求出结果。
【解析】
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°。
∵AP⊥BP，
∴∠APB=90°，
∴∠ABP+∠PAB=90°，
∴∠PBC=∠PAB。
∵CE⊥BP，
∴∠BEC=90°=∠APB。
在$△ ABP$和$△ BCE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ PAB=∠ EBC\\ ∠ APB=∠ BEC\\ BP=CE\end{array} $
∴△ABP≌△BCE(AAS)，
∴AB=BC，
∴矩形ABCD是正方形。
(2)解：
∵△ABP≌△BCE，
∴AP=BE。
∵CF=BE，
∴AP=CF。
∵AP⊥BP，FE⊥BP，
∴AP//CF，
∴四边形ACFP是平行四边形，
∴AC//PF，
∴∠ACB=∠BGP。
∵四边形ABCD是正方形，∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ACB=45°，
∴∠BGP=∠ACB=45°。
【答案】
(1)已证四边形ABCD是正方形；
(2)$∠ BGP=45°$
【知识点】
正方形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，结合了矩形、正方形、全等三角形、平行四边形的相关性质与判定，解题核心是通过角的互余关系推导等角证明全等，再利用边的关系和直线的位置关系构造平行四边形实现角的转化，能够有效考查基础几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

8.【综合与实践】已知在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，点$D$为直线$BC$上一动点（点$D$不与点$B,C$重合）。以$AD$为边作正方形$ADEF$，连接$CF$。
(1)如图①，当点$D$在线段$BC$上时，求证：$CF+CD=BC$；
(2)如图②，当点$D$在线段$BC$的延长线上时，请直接写出$CF,BC,CD$之间的数量关系；
(3)如图③，当点$D$在线段$BC$的反向延长线上，且点$A,F$分别在直线$BC$的两侧时，请说明$CF,BC,CD$之间的数量关系。

(1)证明:
∵∠BAC=90°,AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°。
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF,∠DAF=90°。
∵∠BAD = 90° − ∠DAC, ∠CAF = 90° − ∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF。
在△BAD和△CAF中，
$\begin{cases}AB=AC, \\∠BAD=∠CAF, \\AD=AF,\end{cases}$
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴BD=CF。
∵BD+CD=BC,
∴CF+CD=BC。
(2)解:BC+CD=CF。
(3)解:CF+BC=CD。理由如下：
∵∠BAC=90°,AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°。
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF,∠DAF=90°。
∵∠BAD=90°−∠BAF,∠CAF=90°−∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF。
在△BAD和△CAF中，
$\begin{cases}AB=AC, \\∠BAD=∠CAF, \\AD=AF,\end{cases}$
∴△BAD≌△CAF(SAS)，
∴BD=CF。
∵BD+BC=CD，
∴CF+BC=CD。

【分析】
本题属于动态几何探究题，解题核心是利用“手拉手”全等模型实现线段转化。首先根据等腰直角$△ ABC$和正方形$ADEF$的性质，得到两组相等的边$AB=AC$、$AD=AF$，再通过同角的余角相等证得夹角$∠ BAD=∠ CAF$，即可证明$△ BAD≌△ CAF$，得到$BD=CF$；再根据点$D$在直线$BC$上的不同位置，分析$BD$与$BC$、$CD$的和差关系，将$BD$替换为$CF$，就能推导出三者的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
$\because∠ BAC=90°$，$AB=AC$，
$\therefore∠ ABC=∠ ACB=45°$。
$\because$四边形$ADEF$是正方形，
$\therefore AD=AF$，$∠ DAF=90°$。
$\because∠ BAD = 90° -∠ DAC$，$∠ CAF = 90° -∠ DAC$，
$\therefore∠ BAD=∠ CAF$。
在$△ BAD$和$△ CAF$中，
$\begin{cases}AB=AC, \\∠ BAD=∠ CAF, \\AD=AF,\end{cases}$
$\therefore△ BAD≌△ CAF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BD=CF$。
$\because BD+CD=BC$，
$\therefore CF+CD=BC$。
(2) 同理可证$△ BAD≌△ CAF$，得$BD=CF$，此时点$D$在$BC$延长线上，$BD=BC+CD$，因此$BC+CD=CF$。
(3) 理由如下：
$\because∠ BAC=90°$，$AB=AC$，
$\therefore∠ ACB=∠ ABC=45°$。
$\because$四边形$ADEF$是正方形，
$\therefore AD=AF$，$∠ DAF=90°$。
$\because∠ BAD=90°-∠ BAF$，$∠ CAF=90°-∠ BAF$，
$\therefore∠ BAD=∠ CAF$。
在$△ BAD$和$△ CAF$中，
$\begin{cases}AB=AC, \\∠ BAD=∠ CAF, \\AD=AF,\end{cases}$
$\therefore△ BAD≌△ CAF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BD=CF$。
$\because$点$D$在$BC$反向延长线上，$BD+BC=CD$，
$\therefore CF+BC=CD$。
【答案】
(1) 证明成立，$CF+CD=BC$；
(2) $\boldsymbol{BC+CD=CF}$；
(3) $\boldsymbol{CF+BC=CD}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；正方形的性质
【点评】
本题是典型的动态几何探究题，抓住运动过程中的不变关系（$△ BAD$与$△ CAF$始终全等）是解题的关键，需要根据点的位置分类讨论线段的和差关系，能有效考查对几何基本模型的掌握和分类讨论思想的运用。
【难度系数】
0.6