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1. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（
A.$∠ ABC=90°$
B.$AC=BD$
C.$∠ OAB=∠ OBA$
D.$OA=AD$
D
）。A.$∠ ABC=90°$
B.$AC=BD$
C.$∠ OAB=∠ OBA$
D.$OA=AD$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断各选项是否正确，需结合矩形的性质逐一分析：首先回忆矩形的核心性质：四个内角均为直角，对角线相等且互相平分。对每个选项依次验证，找出不一定成立的选项即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴①矩形的四个内角都是直角，故∠ABC=90°，A选项结论正确；
②矩形的对角线相等，故AC=BD，B选项结论正确；
③矩形对角线互相平分，即$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，结合AC=BD可得OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形，∠OAB=∠OBA，C选项结论正确；
对于D选项：OA是对角线长度的一半，AD是矩形的边，仅当矩形满足特殊角度条件时才有OA=AD，一般矩形中该关系不成立，故D选项结论不一定正确。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点对矩形的角、对角线的性质进行检验，解题时要注意区分一般图形的普遍性质和特殊图形的特有性质，避免混淆。
【难度系数】
0.9
要判断各选项是否正确，需结合矩形的性质逐一分析：首先回忆矩形的核心性质：四个内角均为直角，对角线相等且互相平分。对每个选项依次验证，找出不一定成立的选项即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴①矩形的四个内角都是直角，故∠ABC=90°，A选项结论正确；
②矩形的对角线相等，故AC=BD，B选项结论正确；
③矩形对角线互相平分，即$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，结合AC=BD可得OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形，∠OAB=∠OBA，C选项结论正确；
对于D选项：OA是对角线长度的一半，AD是矩形的边，仅当矩形满足特殊角度条件时才有OA=AD，一般矩形中该关系不成立，故D选项结论不一定正确。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，重点对矩形的角、对角线的性质进行检验，解题时要注意区分一般图形的普遍性质和特殊图形的特有性质，避免混淆。
【难度系数】
0.9
2. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=8$,$AD=6$,将矩形$ABCD$绕点$B$按顺时针方向旋转后得到矩形$A'BC'D'$。若边$A'B$交线段$CD$于点$H$,$BH=DH$,则$DH$的长等于（
A.$\frac{7}{4}$
B.$8 - 2\sqrt{3}$
C.$\frac{25}{4}$
D.$6\sqrt{2}$
C
）。A.$\frac{7}{4}$
B.$8 - 2\sqrt{3}$
C.$\frac{25}{4}$
D.$6\sqrt{2}$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先利用矩形和旋转的性质确定已知边长和直角：矩形ABCD中∠C为直角，CD=AB=8，BC=AD=6，旋转不改变图形边长故BC长度不变。题目给出BH=DH的等量关系，我们可以通过设未知数的方法，将DH、BH、CH用含同一个未知数的式子表示，再在Rt△BCH中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设$DH=x$，
$\because BH=DH$，$\therefore BH=x$。
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore CD=AB=8$，$BC=AD=6$，$∠ C=90°$，
$\therefore CH=CD-DH=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△ BCH$中，由勾股定理得：$BC^2+CH^2=BH^2$，
代入数值可得：$6^2+(8-x)^2=x^2$，
展开计算：$36+64-16x+x^2=x^2$，
化简得：$100-16x=0$，
解得：$x=\frac{25}{4}$，即$DH=\frac{25}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；旋转的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何计算类基础题，解题关键是抓住图形旋转的不变性，结合矩形性质找到直角三角形，利用“设未知数列方程”的思路求解，是几何中求线段长度的常用方法。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用矩形和旋转的性质确定已知边长和直角：矩形ABCD中∠C为直角，CD=AB=8，BC=AD=6，旋转不改变图形边长故BC长度不变。题目给出BH=DH的等量关系，我们可以通过设未知数的方法，将DH、BH、CH用含同一个未知数的式子表示，再在Rt△BCH中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
设$DH=x$，
$\because BH=DH$，$\therefore BH=x$。
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore CD=AB=8$，$BC=AD=6$，$∠ C=90°$，
$\therefore CH=CD-DH=8-x$。
在$\mathrm{Rt}△ BCH$中，由勾股定理得：$BC^2+CH^2=BH^2$，
代入数值可得：$6^2+(8-x)^2=x^2$，
展开计算：$36+64-16x+x^2=x^2$，
化简得：$100-16x=0$，
解得：$x=\frac{25}{4}$，即$DH=\frac{25}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；旋转的性质；勾股定理
【点评】
本题是几何计算类基础题，解题关键是抓住图形旋转的不变性，结合矩形性质找到直角三角形，利用“设未知数列方程”的思路求解，是几何中求线段长度的常用方法。
【难度系数】
0.7
3. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作$DH ⊥ AB$于点H，连接OH。若$OA=6\ \mathrm{cm}$，$OH=4\ \mathrm{cm}$，则菱形ABCD的面积为（
A.$24\ \mathrm{cm}^2$
B.$32\ \mathrm{cm}^2$
C.$40\ \mathrm{cm}^2$
D.$48\ \mathrm{cm}^2$
D
）。A.$24\ \mathrm{cm}^2$
B.$32\ \mathrm{cm}^2$
C.$40\ \mathrm{cm}^2$
D.$48\ \mathrm{cm}^2$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时先从菱形的性质入手：菱形的对角线互相垂直且平分，因此可由OA的长度直接求出AC的总长。再观察DH⊥AB可得Rt△BHD，O是BD的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可由OH的长度求出BD的长度，最后代入菱形面积公式（对角线乘积的一半）即可算出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴AC=2OA=2×6=12(cm)。
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，△BHD为直角三角形。
又
∵O为BD的中点，
∴在Rt△BHD中，OH是斜边BD的中线，
∴BD=2OH=2×4=8(cm)。
根据菱形面积公式：$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2} · AC · BD$，
代入得$S=\frac{1}{2} × 12 × 8 = 48(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，直角三角形斜边中线定理，菱形面积计算
【点评】
本题是几何基础题，将菱形性质与直角三角形性质结合考查，解题的关键是找到中点与直角三角形的关联，熟练运用相关性质和公式即可快速求解，是菱形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从菱形的性质入手：菱形的对角线互相垂直且平分，因此可由OA的长度直接求出AC的总长。再观察DH⊥AB可得Rt△BHD，O是BD的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，可由OH的长度求出BD的长度，最后代入菱形面积公式（对角线乘积的一半）即可算出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴AC=2OA=2×6=12(cm)。
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，△BHD为直角三角形。
又
∵O为BD的中点，
∴在Rt△BHD中，OH是斜边BD的中线，
∴BD=2OH=2×4=8(cm)。
根据菱形面积公式：$S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\frac{1}{2} · AC · BD$，
代入得$S=\frac{1}{2} × 12 × 8 = 48(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，直角三角形斜边中线定理，菱形面积计算
【点评】
本题是几何基础题，将菱形性质与直角三角形性质结合考查，解题的关键是找到中点与直角三角形的关联，熟练运用相关性质和公式即可快速求解，是菱形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AD,BC,BD,AC的中点。给出下列命题:①四边形EGFH是平行四边形;②当$AB=CD$时,四边形EGFH是菱形;③当$AB⊥CD$时,四边形EGFH是矩形。其中真命题有(
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
D
)。A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
4.D
解析
【分析】
本题是含多个中点的四边形判定类题目，解题核心是运用三角形中位线定理分析边的位置和数量关系。首先根据各点是边中点的条件，找到图中的三角形中位线，利用中位线平行于第三边且等于第三边一半的性质，先判断四边形EGFH的对边关系，验证命题①；再结合AB=CD的条件得到平行四边形邻边相等，验证菱形的判定条件，判断命题②；最后结合AB⊥CD的条件得到平行四边形有一个内角为直角，验证矩形的判定条件，判断命题③即可。
【解析】
解：①
∵E、G分别是AD、BD的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴$EG// AB$，$EG=\frac{1}{2}AB$，
同理，H、F分别是AC、BC的中点，
∴HF是△ABC的中位线，
∴$HF// AB$，$HF=\frac{1}{2}AB$，
∴$EG// HF$且$EG=HF$，
∴四边形EGFH是平行四边形，故①正确；
②
∵G、F分别是BD、BC的中点，
∴GF是△BCD的中位线，
∴$GF// CD$，$GF=\frac{1}{2}CD$，
当$AB=CD$时，$EG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=GF$，
又
∵四边形EGFH是平行四边形，
∴平行四边形EGFH是菱形，故②正确；
③当$AB⊥ CD$时，
∵$EG// AB$，$GF// CD$，
∴$EG⊥ GF$，即$∠ EGF=90°$，
又
∵四边形EGFH是平行四边形，
∴平行四边形EGFH是矩形，故③正确。
综上，①②③都是真命题，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形判定，特殊平行四边形判定
【点评】
本题侧重考查中点类几何图形的判定，解题的关键是熟练运用三角形中位线的性质得到边的关系，再结合平行四边形、菱形、矩形的判定条件逐一验证即可，需要注意特殊平行四边形的判定前提是先判定为平行四边形，再添加对应限制条件。
【难度系数】
0.7
本题是含多个中点的四边形判定类题目，解题核心是运用三角形中位线定理分析边的位置和数量关系。首先根据各点是边中点的条件，找到图中的三角形中位线，利用中位线平行于第三边且等于第三边一半的性质，先判断四边形EGFH的对边关系，验证命题①；再结合AB=CD的条件得到平行四边形邻边相等，验证菱形的判定条件，判断命题②；最后结合AB⊥CD的条件得到平行四边形有一个内角为直角，验证矩形的判定条件，判断命题③即可。
【解析】
解：①
∵E、G分别是AD、BD的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴$EG// AB$，$EG=\frac{1}{2}AB$，
同理，H、F分别是AC、BC的中点，
∴HF是△ABC的中位线，
∴$HF// AB$，$HF=\frac{1}{2}AB$，
∴$EG// HF$且$EG=HF$，
∴四边形EGFH是平行四边形，故①正确；
②
∵G、F分别是BD、BC的中点，
∴GF是△BCD的中位线，
∴$GF// CD$，$GF=\frac{1}{2}CD$，
当$AB=CD$时，$EG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=GF$，
又
∵四边形EGFH是平行四边形，
∴平行四边形EGFH是菱形，故②正确；
③当$AB⊥ CD$时，
∵$EG// AB$，$GF// CD$，
∴$EG⊥ GF$，即$∠ EGF=90°$，
又
∵四边形EGFH是平行四边形，
∴平行四边形EGFH是矩形，故③正确。
综上，①②③都是真命题，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，平行四边形判定，特殊平行四边形判定
【点评】
本题侧重考查中点类几何图形的判定，解题的关键是熟练运用三角形中位线的性质得到边的关系，再结合平行四边形、菱形、矩形的判定条件逐一验证即可，需要注意特殊平行四边形的判定前提是先判定为平行四边形，再添加对应限制条件。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=BC$,$∠ ABC=90°$,$O$是斜边$AC$的中点,连接$BO$并延长至点$D$,使$OD=BO$,连接$AD$,$CD$。以点$D$为圆心,$CD$的长为半径画弧,交$BD$于点$E$;分别以点$C$,$E$为圆心,大于$\frac{1}{2}CE$的长为半径画弧,两弧交于点$P$;作射线$DP$交$BC$于点$F$,连接$EF$。若$AB=4+4\sqrt{2}$,则线段$CF$的长为
4
。答案
5.4
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先判定四边形ABCD的形状：由AB=BC、∠ABC=90°可知△ABC是等腰直角三角形，结合O是AC中点、OD=BO，可推出四边形ABCD是正方形，得到各边、内角及对角线的相关性质；第二步，根据尺规作图的特征判断DP是∠BDC的角平分线，通过SAS证明△DEF≌△DCF，可得CF=EF，再结合正方形对角线的性质得∠EBF=45°，推出△BEF是等腰直角三角形，即BE=EF，因此得到CF=BE的等量关系；第三步，计算BD、DE的长度，求出BE的长度即可得到CF的长。
【解析】
1. 判定四边形ABCD为正方形：
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形。
∵O是斜边AC的中点，
∴BO=AO=OC，且AC⊥BD。
又
∵OD=BO，
∴AC、BD互相垂直平分且相等，
∴四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB=4+4√2，∠DCF=90°，对角线BD=AB×√2=(4+4√2)×√2=8+4√2。
2. 证明线段等量关系：
由尺规作图的步骤可知，DP是∠BDC的角平分线，即∠EDF=∠CDF。
由题意得DE=DC，又DF是公共边，
∴△DEF≌△DCF（SAS），
∴EF=CF，∠DEF=∠DCF=90°，即∠BEF=90°。
∵正方形对角线BD平分∠ABC，
∴∠EBF=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=EF，
∴BE=CF。
3. 计算CF的长度：
BE=BD - DE，其中DE=CD=4+4√2，BD=8+4√2，
∴BE=(8+4√2)-(4+4√2)=4，
∴CF=BE=4。
【答案】
4
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的尺规作图
【点评】
本题是几何综合题，融合了特殊四边形、尺规作图、三角形全等、等腰直角三角形的性质等多个考点，解题的核心是先明确四边形的形状，再通过角平分线的性质推导线段间的等量关系，进而代入计算得解。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：第一步，先判定四边形ABCD的形状：由AB=BC、∠ABC=90°可知△ABC是等腰直角三角形，结合O是AC中点、OD=BO，可推出四边形ABCD是正方形，得到各边、内角及对角线的相关性质；第二步，根据尺规作图的特征判断DP是∠BDC的角平分线，通过SAS证明△DEF≌△DCF，可得CF=EF，再结合正方形对角线的性质得∠EBF=45°，推出△BEF是等腰直角三角形，即BE=EF，因此得到CF=BE的等量关系；第三步，计算BD、DE的长度，求出BE的长度即可得到CF的长。
【解析】
1. 判定四边形ABCD为正方形：
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形。
∵O是斜边AC的中点，
∴BO=AO=OC，且AC⊥BD。
又
∵OD=BO，
∴AC、BD互相垂直平分且相等，
∴四边形ABCD是正方形，
∴CD=AB=4+4√2，∠DCF=90°，对角线BD=AB×√2=(4+4√2)×√2=8+4√2。
2. 证明线段等量关系：
由尺规作图的步骤可知，DP是∠BDC的角平分线，即∠EDF=∠CDF。
由题意得DE=DC，又DF是公共边，
∴△DEF≌△DCF（SAS），
∴EF=CF，∠DEF=∠DCF=90°，即∠BEF=90°。
∵正方形对角线BD平分∠ABC，
∴∠EBF=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=EF，
∴BE=CF。
3. 计算CF的长度：
BE=BD - DE，其中DE=CD=4+4√2，BD=8+4√2，
∴BE=(8+4√2)-(4+4√2)=4，
∴CF=BE=4。
【答案】
4
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的尺规作图
【点评】
本题是几何综合题，融合了特殊四边形、尺规作图、三角形全等、等腰直角三角形的性质等多个考点，解题的核心是先明确四边形的形状，再通过角平分线的性质推导线段间的等量关系，进而代入计算得解。
【难度系数】
0.6
6. 如图, 在 $Rt△ CDE$ 中, $∠ DCE=90°$, 分别以 $CD,DE$ 为边, 在 $Rt△ CDE$ 外部作正方形 $ABCD$ 和正方形 $DEFG$, 连接 $AG$。若 $S_{△ ADG}=\sqrt{6}$, $S_{正方形ABCD}=8$, 则 $S_{正方形DEFG}=$
11
。答案
6.11
解析
【分析】
解题思路如下：①先根据正方形ABCD的面积求出其边长AD、CD的长度；②利用两个正方形的直角推导得到∠ADG=∠CDE，通过构造垂线证明三角形全等，将△ADG的高转化为Rt△CDE的直角边CE；③结合△ADG的面积求出CE的长度；④最后用勾股定理计算DE的平方，即为正方形DEFG的面积。
【解析】
解：
∵ $S_{正方形ABCD}=8$，
∴ $CD=AD=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，且$∠ ADC=90°$。
∵ 四边形DEFG是正方形，
∴ $DG=DE$，$∠ GDE=90°$。
∴ $∠ ADG + ∠ CDG = ∠ ADC=90°$，$∠ CDE + ∠ CDG = ∠ GDE=90°$，
可得$∠ ADG=∠ CDE$。
过点G作$GM⊥ AD$，交AD的延长线于点M，则$∠ M=∠ DCE=90°$。
在$△ GMD$和$△ ECD$中：
$\begin{cases}∠ M=∠ DCE \\∠ GDM=∠ EDC \\DG=DE\end{cases}$
∴ $△ GMD ≌ △ ECD$（AAS），
∴ $GM=CE$。
∵ $S_{△ ADG}=\frac{1}{2} × AD × GM = \sqrt{6}$，将$AD=2\sqrt{2}$、$GM=CE$代入得：
$\frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × CE = \sqrt{6}$，
化简得$\sqrt{2}CE=\sqrt{6}$，解得$CE=\sqrt{3}$。
在$Rt△ CDE$中，由勾股定理得：
$DE^2 = CD^2 + CE^2 = 8 + (\sqrt{3})^2 = 11$，
∴ $S_{正方形DEFG}=DE^2=11$。
【答案】
11
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，核心是利用正方形的直角推导等角，通过构造全等三角形实现线段的转化，结合三角形面积和勾股定理求解正方形面积，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：①先根据正方形ABCD的面积求出其边长AD、CD的长度；②利用两个正方形的直角推导得到∠ADG=∠CDE，通过构造垂线证明三角形全等，将△ADG的高转化为Rt△CDE的直角边CE；③结合△ADG的面积求出CE的长度；④最后用勾股定理计算DE的平方，即为正方形DEFG的面积。
【解析】
解：
∵ $S_{正方形ABCD}=8$，
∴ $CD=AD=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，且$∠ ADC=90°$。
∵ 四边形DEFG是正方形，
∴ $DG=DE$，$∠ GDE=90°$。
∴ $∠ ADG + ∠ CDG = ∠ ADC=90°$，$∠ CDE + ∠ CDG = ∠ GDE=90°$，
可得$∠ ADG=∠ CDE$。
过点G作$GM⊥ AD$，交AD的延长线于点M，则$∠ M=∠ DCE=90°$。
在$△ GMD$和$△ ECD$中：
$\begin{cases}∠ M=∠ DCE \\∠ GDM=∠ EDC \\DG=DE\end{cases}$
∴ $△ GMD ≌ △ ECD$（AAS），
∴ $GM=CE$。
∵ $S_{△ ADG}=\frac{1}{2} × AD × GM = \sqrt{6}$，将$AD=2\sqrt{2}$、$GM=CE$代入得：
$\frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × CE = \sqrt{6}$，
化简得$\sqrt{2}CE=\sqrt{6}$，解得$CE=\sqrt{3}$。
在$Rt△ CDE$中，由勾股定理得：
$DE^2 = CD^2 + CE^2 = 8 + (\sqrt{3})^2 = 11$，
∴ $S_{正方形DEFG}=DE^2=11$。
【答案】
11
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，核心是利用正方形的直角推导等角，通过构造全等三角形实现线段的转化，结合三角形面积和勾股定理求解正方形面积，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
