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1. 下列命题是真命题的是(
A.矩形的对角线互相垂直且平分
B.矩形的邻边一定相等
C.对角线相等的四边形是矩形
D.有三个角是直角的四边形是矩形
D
)。A.矩形的对角线互相垂直且平分
B.矩形的邻边一定相等
C.对角线相等的四边形是矩形
D.有三个角是直角的四边形是矩形
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查矩形相关命题的真假判断，解题时需结合矩形的性质定理和判定定理，逐一分析每个选项的描述是否符合定理内容，排除错误选项后即可得到正确答案。首先回忆矩形的性质、判定相关知识点，再对照每个选项的描述逐一验证正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：矩形的对角线性质为互相平分且相等，并不具有互相垂直的性质（仅特殊的矩形即正方形的对角线互相垂直），因此A是假命题；
选项B：矩形的对边相等，邻边不一定相等，邻边相等的矩形是正方形，普通矩形邻边并不相等，因此B是假命题；
选项C：对角线相等的平行四边形才是矩形，仅说对角线相等的四边形无法判定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，但不属于矩形，因此C是假命题；
选项D：根据矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形，该描述完全符合定理内容，因此D是真命题。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质、矩形的判定、真假命题判断
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对矩形性质和判定的掌握程度，易出错点是遗漏判定定理的前提条件，也容易和菱形、正方形的性质混淆，学习时要注意区分不同特殊四边形的性质、判定的异同点。
【难度系数】
0.8
本题考查矩形相关命题的真假判断，解题时需结合矩形的性质定理和判定定理，逐一分析每个选项的描述是否符合定理内容，排除错误选项后即可得到正确答案。首先回忆矩形的性质、判定相关知识点，再对照每个选项的描述逐一验证正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：矩形的对角线性质为互相平分且相等，并不具有互相垂直的性质（仅特殊的矩形即正方形的对角线互相垂直），因此A是假命题；
选项B：矩形的对边相等，邻边不一定相等，邻边相等的矩形是正方形，普通矩形邻边并不相等，因此B是假命题；
选项C：对角线相等的平行四边形才是矩形，仅说对角线相等的四边形无法判定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，但不属于矩形，因此C是假命题；
选项D：根据矩形的判定定理，有三个角是直角的四边形是矩形，该描述完全符合定理内容，因此D是真命题。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质、矩形的判定、真假命题判断
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对矩形性质和判定的掌握程度，易出错点是遗漏判定定理的前提条件，也容易和菱形、正方形的性质混淆，学习时要注意区分不同特殊四边形的性质、判定的异同点。
【难度系数】
0.8
2. 已知四边形ABCD为平行四边形，下列命题是真命题的是（
A.若AB=BC，则四边形为矩形
B.若∠B=∠C，则四边形为菱形
C.若AC=BD，则四边形为矩形
D.若AC⊥BD，则四边形为正方形
C
）。A.若AB=BC，则四边形为矩形
B.若∠B=∠C，则四边形为菱形
C.若AC=BD，则四边形为矩形
D.若AC⊥BD，则四边形为正方形
答案
2.C
解析
【分析】解题时首先明确已知条件为四边形ABCD是平行四边形，只需结合平行四边形的性质以及矩形、菱形、正方形的判定定理，逐个验证选项的条件与结论是否匹配即可：第一步先回忆平行四边形基础上各类特殊平行四边形的判定规则：邻边相等或对角线垂直的平行四边形是菱形；有一个内角为直角或对角线相等的平行四边形是矩形；同时满足菱形和矩形判定条件的平行四边形是正方形。第二步逐一核对每个选项的条件对应的图形类型是否和选项给出的结论一致。
【解析】我们对每个选项逐一分析：
A选项：在平行四边形ABCD中，AB与BC为邻边，若AB=BC，说明平行四边形邻边相等，符合菱形的判定条件，不是矩形，故A为假命题；
B选项：平行四边形的邻角互补，即∠B+∠C=180°，若∠B=∠C，可推出∠B=∠C=90°，说明平行四边形有一个内角为直角，符合矩形的判定条件，不是菱形，故B为假命题；
C选项：根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，若AC=BD，满足矩形的判定条件，故C为真命题；
D选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，仅AC⊥BD只能判定该四边形为菱形，若要判定为正方形，还需满足有一个内角为直角或对角线相等的条件，故D为假命题。
【答案】C
【知识点】特殊平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】本题属于基础概念考查题，核心是区分平行四边形衍生出的各类特殊平行四边形的判定规则，解题时注意不要混淆菱形、矩形、正方形的判定条件，避免概念记错导致判断错误。
【难度系数】0.8
【解析】我们对每个选项逐一分析：
A选项：在平行四边形ABCD中，AB与BC为邻边，若AB=BC，说明平行四边形邻边相等，符合菱形的判定条件，不是矩形，故A为假命题；
B选项：平行四边形的邻角互补，即∠B+∠C=180°，若∠B=∠C，可推出∠B=∠C=90°，说明平行四边形有一个内角为直角，符合矩形的判定条件，不是菱形，故B为假命题；
C选项：根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，若AC=BD，满足矩形的判定条件，故C为真命题；
D选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，仅AC⊥BD只能判定该四边形为菱形，若要判定为正方形，还需满足有一个内角为直角或对角线相等的条件，故D为假命题。
【答案】C
【知识点】特殊平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】本题属于基础概念考查题，核心是区分平行四边形衍生出的各类特殊平行四边形的判定规则，解题时注意不要混淆菱形、矩形、正方形的判定条件，避免概念记错导致判断错误。
【难度系数】0.8
3. 在复习本章内容时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（
A.①:一条对角线与其中一边相等
B.②:对角线互相垂直
C.③:有一组邻边相等
D.④:有一个角是直角
A
）。A.①:一条对角线与其中一边相等
B.②:对角线互相垂直
C.③:有一组邻边相等
D.④:有一个角是直角
答案
3.A
解析
【分析】
本题考查特殊平行四边形之间的转换判定，解题时需逐一对应每个转换路径的判定定理判断条件是否正确：首先回忆各转换的判定要求：平行四边形转化为矩形，需满足有一个角是直角或对角线相等；平行四边形转化为菱形，需满足有一组邻边相等或对角线互相垂直；矩形转化为正方形，需满足有一组邻边相等或对角线互相垂直；菱形转化为正方形，需满足有一个角是直角或对角线相等，再对应选项逐一验证即可。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 若平行四边形仅满足“一条对角线与其中一边相等”，无法推出它是矩形（如邻边长为2、1，对角线长为1的平行四边形不是矩形），平行四边形要成为矩形需添加“有一个角是直角”或“对角线相等”的条件，故①的条件填写错误；
B. 根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故②的条件填写正确；
C. 根据正方形的判定定理，有一组邻边相等的矩形是正方形，故③的条件填写正确；
D. 根据正方形的判定定理，有一个角是直角的菱形是正方形，故④的条件填写正确。
综上，填写错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分各类特殊平行四边形的判定条件，只要熟练掌握不同四边形之间转换的判定定理，就能快速判断对错，注意不要混淆不同转换的条件。
【难度系数】
0.8
本题考查特殊平行四边形之间的转换判定，解题时需逐一对应每个转换路径的判定定理判断条件是否正确：首先回忆各转换的判定要求：平行四边形转化为矩形，需满足有一个角是直角或对角线相等；平行四边形转化为菱形，需满足有一组邻边相等或对角线互相垂直；矩形转化为正方形，需满足有一组邻边相等或对角线互相垂直；菱形转化为正方形，需满足有一个角是直角或对角线相等，再对应选项逐一验证即可。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 若平行四边形仅满足“一条对角线与其中一边相等”，无法推出它是矩形（如邻边长为2、1，对角线长为1的平行四边形不是矩形），平行四边形要成为矩形需添加“有一个角是直角”或“对角线相等”的条件，故①的条件填写错误；
B. 根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故②的条件填写正确；
C. 根据正方形的判定定理，有一组邻边相等的矩形是正方形，故③的条件填写正确；
D. 根据正方形的判定定理，有一个角是直角的菱形是正方形，故④的条件填写正确。
综上，填写错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分各类特殊平行四边形的判定条件，只要熟练掌握不同四边形之间转换的判定定理，就能快速判断对错，注意不要混淆不同转换的条件。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在矩形ABCD中,点E,F分别为边AB,CD的中点,连接DE,BF,点G,H分别为DE,BF的中点,连接GF,EH。
(1)求证:四边形DEBF是平行四边形；
(2)判断四边形EHFG是哪种特殊的四边形,并说明理由。
(1)求证:四边形DEBF是平行四边形；
(2)判断四边形EHFG是哪种特殊的四边形,并说明理由。
答案
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,AB//CD。
∵点E,F分别为边AB,CD的中点，
∴BE=AE=$\frac{1}{2}$AB, DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴BE=DF。
∵AB//CD，
∴四边形DEBF是平行四边形。
(2)解:四边形EHFG是菱形。理由如下:
如图,连接EF。
由(1)得AE=DF,AE//DF，
∴四边形AEFD是平行四边形。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴∠EFD=90°。
∵点G是DE的中点，
∴GF=$\frac{1}{2}$DE=EG。
同理可得 EH=$\frac{1}{2}$BF=FH。
∵四边形DEBF是平行四边形,
∴DE=BF，
∴GF=EG=EH=FH，
∴四边形EHFG是菱形。
解析
【分析】
(1)要证明四边形DEBF是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理：首先利用矩形对边平行且相等的性质，得到AB与CD的位置和数量关系，再结合E、F是AB、CD中点的条件，推导BE和DF平行且相等，即可完成证明。
(2)判断四边形EHFG的形状，可先证它是平行四边形，再判断是否存在邻边相等：首先由(1)中平行四边形DEBF的性质可得DE//BF且DE=BF，结合G、H是中点的条件可推得EG//HF且EG=HF，先证得EHFG是平行四边形；再连接辅助线EF，证明四边形AEFD是矩形得到∠EFD=90°，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得GF=GE，即平行四边形EHFG一组邻边相等，即可判定它是菱形。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB//CD。
∵点E，F分别为边AB，CD的中点，
∴BE=AE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴BE=DF。
∵AB//CD，即BE//DF，
∴四边形DEBF是平行四边形。
(2)解：四边形EHFG是菱形。理由如下：
如图，连接EF。
由(1)得AE=DF，AE//DF，
∴四边形AEFD是平行四边形。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴∠EFD=90°。
∵点G是DE的中点，
∴GF=$\frac{1}{2}$DE=EG。
同理可得 EH=$\frac{1}{2}$BF=FH。
∵四边形DEBF是平行四边形,
∴DE=BF，
∴GF=EG=EH=FH，
∴四边形EHFG是菱形。
【答案】
(1) 四边形DEBF是平行四边形，证明成立；
(2) 四边形EHFG是菱形，理由如上。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定
【点评】
本题是特殊四边形的综合基础题，考查了各类特殊四边形的判定定理、性质以及直角三角形斜边中线的性质，解题时可从结论倒推所需条件，结合已知性质逐步推导，逻辑清晰易懂。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形DEBF是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理：首先利用矩形对边平行且相等的性质，得到AB与CD的位置和数量关系，再结合E、F是AB、CD中点的条件，推导BE和DF平行且相等，即可完成证明。
(2)判断四边形EHFG的形状，可先证它是平行四边形，再判断是否存在邻边相等：首先由(1)中平行四边形DEBF的性质可得DE//BF且DE=BF，结合G、H是中点的条件可推得EG//HF且EG=HF，先证得EHFG是平行四边形；再连接辅助线EF，证明四边形AEFD是矩形得到∠EFD=90°，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得GF=GE，即平行四边形EHFG一组邻边相等，即可判定它是菱形。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB//CD。
∵点E，F分别为边AB，CD的中点，
∴BE=AE=$\frac{1}{2}$AB，DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴BE=DF。
∵AB//CD，即BE//DF，
∴四边形DEBF是平行四边形。
(2)解：四边形EHFG是菱形。理由如下：
如图，连接EF。
由(1)得AE=DF，AE//DF，
∴四边形AEFD是平行四边形。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴∠EFD=90°。
∵点G是DE的中点，
∴GF=$\frac{1}{2}$DE=EG。
同理可得 EH=$\frac{1}{2}$BF=FH。
∵四边形DEBF是平行四边形,
∴DE=BF，
∴GF=EG=EH=FH，
∴四边形EHFG是菱形。
【答案】
(1) 四边形DEBF是平行四边形，证明成立；
(2) 四边形EHFG是菱形，理由如上。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定
【点评】
本题是特殊四边形的综合基础题，考查了各类特殊四边形的判定定理、性质以及直角三角形斜边中线的性质，解题时可从结论倒推所需条件，结合已知性质逐步推导，逻辑清晰易懂。
【难度系数】
0.7
