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1. 抛物线$y=2(x-1)^2+5$的顶点坐标是（
A.(1,5)
B.(2,1)
C.(2,5)
D.(-1,5)
A
）。A.(1,5)
B.(2,1)
C.(2,5)
D.(-1,5)
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的应用，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的标准形式，明确顶点式中各参数与顶点坐标的对应关系；再将题目给出的抛物线解析式与标准顶点式对照，注意括号内x的减式对应的h值符号，最后提取对应的h、k值得到顶点坐标，匹配选项即可。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其对应的顶点坐标为$(h,k)$。
将题目所给抛物线$y=2(x-1)^2+5$与顶点式对照可得：$h=1$，$k=5$，因此该抛物线的顶点坐标为$(1,5)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数顶点式
2.二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查对顶点式中参数含义的理解，解题时需注意不要混淆h的符号，熟练掌握顶点式即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的应用，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的标准形式，明确顶点式中各参数与顶点坐标的对应关系；再将题目给出的抛物线解析式与标准顶点式对照，注意括号内x的减式对应的h值符号，最后提取对应的h、k值得到顶点坐标，匹配选项即可。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其对应的顶点坐标为$(h,k)$。
将题目所给抛物线$y=2(x-1)^2+5$与顶点式对照可得：$h=1$，$k=5$，因此该抛物线的顶点坐标为$(1,5)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数顶点式
2.二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查对顶点式中参数含义的理解，解题时需注意不要混淆h的符号，熟练掌握顶点式即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
2. 关于二次函数$y=2(x-3)^2+4$，下列说法正确的是（
A.有最小值2
B.有最小值3
C.有最大值4
D.有最小值4
D
）。A.有最小值2
B.有最小值3
C.有最大值4
D.有最小值4
答案
2.D
解析
【分析】
拿到本题首先观察给出的二次函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，解题思路分两步：第一步先判断二次项系数$a$的符号，确定函数有最大值还是最小值：若$a＞0$，抛物线开口向上，函数有最小值；若$a＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值。第二步找到顶点式中的$k$值，顶点的纵坐标$k$就是对应的最值，据此即可选出正确选项。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=2(x-3)^2+4$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=2$，$h=3$，$k=4$。
1. 判断最值类型：$\because a=2＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，函数存在最小值，不存在最大值，因此排除C选项。
2. 确定最值大小：顶点式的顶点坐标为$(h,k)=(3,4)$，$\therefore$ 当$x=3$时，函数取得最小值，最小值为$k=4$，因此排除A、B选项，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质、二次函数最值的判定
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，重点考察对顶点式各参数意义的理解，掌握开口方向与最值类型的对应关系、顶点纵坐标与最值的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先观察给出的二次函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，解题思路分两步：第一步先判断二次项系数$a$的符号，确定函数有最大值还是最小值：若$a＞0$，抛物线开口向上，函数有最小值；若$a＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值。第二步找到顶点式中的$k$值，顶点的纵坐标$k$就是对应的最值，据此即可选出正确选项。
【解析】
已知二次函数解析式为$y=2(x-3)^2+4$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=2$，$h=3$，$k=4$。
1. 判断最值类型：$\because a=2＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，函数存在最小值，不存在最大值，因此排除C选项。
2. 确定最值大小：顶点式的顶点坐标为$(h,k)=(3,4)$，$\therefore$ 当$x=3$时，函数取得最小值，最小值为$k=4$，因此排除A、B选项，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质、二次函数最值的判定
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，重点考察对顶点式各参数意义的理解，掌握开口方向与最值类型的对应关系、顶点纵坐标与最值的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 关于抛物线$y=(x-2)^2 -1$，下列说法正确的是（
A.开口向下
B.对称轴是直线$x=-2$
C.顶点坐标为$(-2,-1)$
D.当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小
D
）。A.开口向下
B.对称轴是直线$x=-2$
C.顶点坐标为$(-2,-1)$
D.当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的性质，解题时先明确抛物线的表达式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），回忆该形式下$a$、$h$、$k$分别对应的意义：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向判断增减性，逐一验证四个选项即可得出正确答案。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=(x-2)^2 -1$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=1$，$h=2$，$k=-1$：
1. 验证A选项：$a=1＞0$，抛物线开口向上，故A错误；
2. 验证B选项：抛物线对称轴为直线$x=h=2$，故B错误；
3. 验证C选项：抛物线顶点坐标为$(h,k)=(2,-1)$，故C错误；
4. 验证D选项：抛物线开口向上，在对称轴左侧（即$x＜2$时），$y$随$x$的增大而减小，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数的对称轴与顶点坐标
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，熟练掌握二次函数顶点式中各参数对应的几何意义，即可快速判断各选项的正误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的性质，解题时先明确抛物线的表达式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），回忆该形式下$a$、$h$、$k$分别对应的意义：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向判断增减性，逐一验证四个选项即可得出正确答案。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=(x-2)^2 -1$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=1$，$h=2$，$k=-1$：
1. 验证A选项：$a=1＞0$，抛物线开口向上，故A错误；
2. 验证B选项：抛物线对称轴为直线$x=h=2$，故B错误；
3. 验证C选项：抛物线顶点坐标为$(h,k)=(2,-1)$，故C错误；
4. 验证D选项：抛物线开口向上，在对称轴左侧（即$x＜2$时），$y$随$x$的增大而减小，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数的对称轴与顶点坐标
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，熟练掌握二次函数顶点式中各参数对应的几何意义，即可快速判断各选项的正误。
【难度系数】
0.8
4. 将二次函数$y=x^2 -2x -3$化成$y=a(x-h)^2 +k$的形式是
$y=(x-1)^2-4$
。答案
4.$y=(x-1)^2-4$
解析
【分析】
要将二次函数的一般式化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，需使用配方法。解题思路如下：首先观察二次项系数，本题二次项系数为1，无需提取系数；其次将二次项和一次项组合，加上一次项系数一半的平方凑成完全平方式，同时减去这个数保证原式的值不变；最后合并常数项即可得到顶点式。
【解析】
对$y=x^2-2x-3$进行配方：
第一步，将含$x$的项组合：$y=(x^2-2x)-3$
第二步，一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-2÷2)^2=1$，在括号内加1再减1：
$y=(x^2-2x+1 -1)-3$
第三步，将括号内的完全平方式整理，合并常数项：
$y=(x^2-2x+1)-1-3$
$y=(x-1)^2 -4$
【答案】
$y=(x-1)^2-4$
【知识点】
1. 配方法
2. 二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，核心考查配方法的应用，熟练掌握配方法的步骤是解决此类问题的关键，也是后续学习二次函数图像与性质的基础。
【难度系数】
0.8
要将二次函数的一般式化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，需使用配方法。解题思路如下：首先观察二次项系数，本题二次项系数为1，无需提取系数；其次将二次项和一次项组合，加上一次项系数一半的平方凑成完全平方式，同时减去这个数保证原式的值不变；最后合并常数项即可得到顶点式。
【解析】
对$y=x^2-2x-3$进行配方：
第一步，将含$x$的项组合：$y=(x^2-2x)-3$
第二步，一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-2÷2)^2=1$，在括号内加1再减1：
$y=(x^2-2x+1 -1)-3$
第三步，将括号内的完全平方式整理，合并常数项：
$y=(x^2-2x+1)-1-3$
$y=(x-1)^2 -4$
【答案】
$y=(x-1)^2-4$
【知识点】
1. 配方法
2. 二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，核心考查配方法的应用，熟练掌握配方法的步骤是解决此类问题的关键，也是后续学习二次函数图像与性质的基础。
【难度系数】
0.8
5. 求抛物线$y=(x-3)(x+3)+2x$的顶点坐标和对称轴,并写出$y$随$x$变化而变化的情况。
答案
解:$\because y=(x-3)(x+3)+2x=x^2-9+2x=x^2+2x+1-10=(x+1)^2-10$,
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(-1,-10)$,对称轴为直线$x=-1$。
$\because a=1＞0$,
$\therefore$抛物线的开口向上,
$\therefore$当$x＜-1$时,$y$随$x$的增大而减小;
当$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而增大。
$\therefore$抛物线的顶点坐标为$(-1,-10)$,对称轴为直线$x=-1$。
$\because a=1＞0$,
$\therefore$抛物线的开口向上,
$\therefore$当$x＜-1$时,$y$随$x$的增大而减小;
当$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而增大。
解析
【分析】
要解决本题，首先需要将给定的抛物线解析式转化为顶点式，从而直接获取顶点坐标与对称轴。第一步先展开原式、合并同类项得到二次函数一般式，再用配方法将一般式转化为顶点式；之后根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，结合对称轴即可分析y随x的变化规律。
【解析】
首先化简抛物线解析式：
$\begin{aligned}y&=(x-3)(x+3)+2x\\&=x^2-9+2x\\&=x^2+2x-9\end{aligned}$
用配方法将一般式转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2+2x+1-1-9\\&=(x+1)^2-10\end{aligned}$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，因此该抛物线顶点坐标为$(-1,-10)$，对称轴为直线$x=-1$。
由二次项系数$a=1＞0$，可知抛物线开口向上，因此：
当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-10)}$，对称轴为直线$\boldsymbol{x=-1}$；当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大。
【知识点】
二次函数化简、配方法、二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数的基础常规题型，主要考查二次函数一般式到顶点式的转化，以及利用顶点式分析抛物线基本性质的能力，熟练掌握配方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要将给定的抛物线解析式转化为顶点式，从而直接获取顶点坐标与对称轴。第一步先展开原式、合并同类项得到二次函数一般式，再用配方法将一般式转化为顶点式；之后根据二次项系数的正负判断抛物线开口方向，结合对称轴即可分析y随x的变化规律。
【解析】
首先化简抛物线解析式：
$\begin{aligned}y&=(x-3)(x+3)+2x\\&=x^2-9+2x\\&=x^2+2x-9\end{aligned}$
用配方法将一般式转化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=x^2+2x+1-1-9\\&=(x+1)^2-10\end{aligned}$
根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质，顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$，因此该抛物线顶点坐标为$(-1,-10)$，对称轴为直线$x=-1$。
由二次项系数$a=1＞0$，可知抛物线开口向上，因此：
当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
顶点坐标为$\boldsymbol{(-1,-10)}$，对称轴为直线$\boldsymbol{x=-1}$；当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大。
【知识点】
二次函数化简、配方法、二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数的基础常规题型，主要考查二次函数一般式到顶点式的转化，以及利用顶点式分析抛物线基本性质的能力，熟练掌握配方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
1.抛物线$y=-x^2+6x+2$的对称轴是直线（
A.$x=-3$
B.$x=-6$
C.$x=3$
D.$x=6$
C
）。A.$x=-3$
B.$x=-6$
C.$x=3$
D.$x=6$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查二次函数对称轴的求解，解题思路如下：首先回忆二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）的对称轴计算公式，再从给定的抛物线解析式中准确找出对应系数$a$、$b$的值，注意系数的正负符号，最后代入公式计算即可得到对称轴。
【解析】
对于二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$），其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y=-x^2+6x+2$中，$a=-1$，$b=6$，将其代入对称轴公式可得：
$x=-\frac{6}{2×(-1)}=\frac{-6}{-2}=3$
因此该抛物线的对称轴是直线$x=3$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数一般式
2. 二次函数对称轴计算
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查二次函数对称轴公式的应用，解题时需注意准确提取二次项、一次项的系数，避免符号混淆导致计算错误，是二次函数部分必须熟练掌握的基础考点。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数对称轴的求解，解题思路如下：首先回忆二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$）的对称轴计算公式，再从给定的抛物线解析式中准确找出对应系数$a$、$b$的值，注意系数的正负符号，最后代入公式计算即可得到对称轴。
【解析】
对于二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c$（$a\ne0$），其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y=-x^2+6x+2$中，$a=-1$，$b=6$，将其代入对称轴公式可得：
$x=-\frac{6}{2×(-1)}=\frac{-6}{-2}=3$
因此该抛物线的对称轴是直线$x=3$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数一般式
2. 二次函数对称轴计算
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查二次函数对称轴公式的应用，解题时需注意准确提取二次项、一次项的系数，避免符号混淆导致计算错误，是二次函数部分必须熟练掌握的基础考点。
【难度系数】
0.9
2. 将抛物线 $ y=3x^2 +1 $ 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为(
A.$ y=3(x-2)^2 +4 $
B.$ y=3(x+2)^2 +4 $
C.$ y=3(x-2)^2 +3 $
D.$ y=3(x+2)^2 +3 $
B
)。A.$ y=3(x-2)^2 +4 $
B.$ y=3(x+2)^2 +4 $
C.$ y=3(x-2)^2 +3 $
D.$ y=3(x+2)^2 +3 $
答案
2.B
解析
【分析】
要解决二次函数图象平移求解析式的问题，需牢记函数图象平移的核心规律“左加右减，上加下减”：左右平移是对自变量x进行变换（向左平移时x加上平移单位，向右平移时x减去平移单位），上下平移是对整个函数值进行变换（向上平移时整体加平移单位，向下平移时整体减平移单位）。本题先对原抛物线做向左平移的变换，再做向上平移的变换，逐步推导即可得到新抛物线的表达式。
【解析】
已知原抛物线的表达式为$y=3x^2 +1$：
1. 第一步：向左平移2个单位长度，根据“左加右减”的规律，将自变量$x$替换为$x+2$，得到平移后的表达式为：
$y=3(x+2)^2 +1$
2. 第二步：再向上平移3个单位长度，根据“上加下减”的规律，在整体表达式的末尾加上3，得到最终的新抛物线表达式为：
$y=3(x+2)^2 +1+3=3(x+2)^2 +4$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移、函数平移规律
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心是掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，尤其要注意左右平移是针对自变量$x$进行的变换，若原二次函数解析式不是顶点式，需先化为顶点式再进行平移计算，避免出现加减方向混淆的错误。
【难度系数】
0.8
要解决二次函数图象平移求解析式的问题，需牢记函数图象平移的核心规律“左加右减，上加下减”：左右平移是对自变量x进行变换（向左平移时x加上平移单位，向右平移时x减去平移单位），上下平移是对整个函数值进行变换（向上平移时整体加平移单位，向下平移时整体减平移单位）。本题先对原抛物线做向左平移的变换，再做向上平移的变换，逐步推导即可得到新抛物线的表达式。
【解析】
已知原抛物线的表达式为$y=3x^2 +1$：
1. 第一步：向左平移2个单位长度，根据“左加右减”的规律，将自变量$x$替换为$x+2$，得到平移后的表达式为：
$y=3(x+2)^2 +1$
2. 第二步：再向上平移3个单位长度，根据“上加下减”的规律，在整体表达式的末尾加上3，得到最终的新抛物线表达式为：
$y=3(x+2)^2 +1+3=3(x+2)^2 +4$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移、函数平移规律
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心是掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，尤其要注意左右平移是针对自变量$x$进行的变换，若原二次函数解析式不是顶点式，需先化为顶点式再进行平移计算，避免出现加减方向混淆的错误。
【难度系数】
0.8
3. 二次函数 $y=x^2+2x-1$ 的图象大致是（
C
）。答案
3.C
解析
【分析】
判断二次函数图象可按逐步排除的思路解题：首先根据二次项系数的符号确定抛物线开口方向，排除不符合的选项；其次利用对称轴公式计算对称轴，判断对称轴在y轴的左侧还是右侧，再次排除错误选项；最后代入x=0得到抛物线与y轴的交点坐标，判断交点在y轴正半轴还是负半轴，即可确定最终答案，也可通过计算x轴交点、顶点坐标进一步验证。
【解析】
解：对于二次函数$y=x^2+2x-1$：
1. 开口判断：二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，选项A开口向下，排除A；
2. 对称轴判断：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1,b=2$，得$x=-\frac{2}{2×1}=-1$，即对称轴在y轴左侧，选项B对称轴在y轴右侧，排除B；
3. 与y轴交点判断：令$x=0$，代入得$y=0+0-1=-1$，即抛物线与y轴交于点$(0,-1)$，在y轴负半轴，选项D与y轴交于正半轴，排除D；
经检验，选项C的图象特征完全符合该二次函数的性质。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称轴计算，二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于二次函数图象判断的基础常考题，核心考查二次函数各项系数对应图象的特征，掌握排除法解这类题的思路可以大幅提升解题效率，是巩固二次函数图象性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
判断二次函数图象可按逐步排除的思路解题：首先根据二次项系数的符号确定抛物线开口方向，排除不符合的选项；其次利用对称轴公式计算对称轴，判断对称轴在y轴的左侧还是右侧，再次排除错误选项；最后代入x=0得到抛物线与y轴的交点坐标，判断交点在y轴正半轴还是负半轴，即可确定最终答案，也可通过计算x轴交点、顶点坐标进一步验证。
【解析】
解：对于二次函数$y=x^2+2x-1$：
1. 开口判断：二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，选项A开口向下，排除A；
2. 对称轴判断：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=1,b=2$，得$x=-\frac{2}{2×1}=-1$，即对称轴在y轴左侧，选项B对称轴在y轴右侧，排除B；
3. 与y轴交点判断：令$x=0$，代入得$y=0+0-1=-1$，即抛物线与y轴交于点$(0,-1)$，在y轴负半轴，选项D与y轴交于正半轴，排除D；
经检验，选项C的图象特征完全符合该二次函数的性质。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称轴计算，二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于二次函数图象判断的基础常考题，核心考查二次函数各项系数对应图象的特征，掌握排除法解这类题的思路可以大幅提升解题效率，是巩固二次函数图象性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
