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4. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，该二次函数图象的顶点坐标为（
A.$(0,1)$
B.$(3,0)$
C.$(2,1)$
D.$(3,1)$
C
）。A.$(0,1)$
B.$(3,0)$
C.$(2,1)$
D.$(3,1)$
答案
4.C
解析
【分析】
求解本题首先回忆二次函数的性质：抛物线关于对称轴对称，若已知抛物线与x轴的两个交点，对称轴为两点横坐标的平均值，且顶点位于对称轴上，是抛物线的最高点（开口向下）或最低点（开口向上）。本题先从图像中提取抛物线与x轴的两个交点坐标，计算对称轴，再结合最高点的纵坐标即可得到顶点坐标。
【解析】
解：观察二次函数图象可得，抛物线与x轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$，
根据二次函数的对称性，抛物线的对称轴为直线$x=\frac{1+3}{2}=2$，
已知抛物线开口向下，图象最高点的纵坐标为1，即顶点的纵坐标为1，
因此该二次函数图象的顶点坐标为$(2,1)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象性质；二次函数顶点特征
【点评】
本题考查从二次函数图象中提取信息求解顶点坐标，核心是对二次函数对称性的应用，只要掌握二次函数图象的基本性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
求解本题首先回忆二次函数的性质：抛物线关于对称轴对称，若已知抛物线与x轴的两个交点，对称轴为两点横坐标的平均值，且顶点位于对称轴上，是抛物线的最高点（开口向下）或最低点（开口向上）。本题先从图像中提取抛物线与x轴的两个交点坐标，计算对称轴，再结合最高点的纵坐标即可得到顶点坐标。
【解析】
解：观察二次函数图象可得，抛物线与x轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$，
根据二次函数的对称性，抛物线的对称轴为直线$x=\frac{1+3}{2}=2$，
已知抛物线开口向下，图象最高点的纵坐标为1，即顶点的纵坐标为1，
因此该二次函数图象的顶点坐标为$(2,1)$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象性质；二次函数顶点特征
【点评】
本题考查从二次函数图象中提取信息求解顶点坐标，核心是对二次函数对称性的应用，只要掌握二次函数图象的基本性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
5. 将抛物线 $ y=3x^2 $ 向右平移2个单位长度，所得抛物线的表达式是
$y=3(x-2)^2$
；若继续向下平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是 $y=3(x-2)^2-1$
。答案
5. $y=3(x-2)^2$；$y=3(x-2)^2-1$
解析
【分析】
拿到这道题首先要明确抛物线平移的核心特点：平移只改变抛物线的位置，不改变形状、开口方向，因此二次项系数3保持不变。接下来回忆二次函数图象的平移规律：水平方向平移遵循“左加右减”规则（针对自变量x本身调整，向左平移则x加上平移单位，向右平移则x减去平移单位），竖直方向平移遵循“上加下减”规则（针对函数整体调整，向上平移则整体加平移单位，向下平移则整体减平移单位）。我们先根据向右平移2个单位的要求写出第一次平移后的解析式，再根据向下平移1个单位的要求写出第二次平移后的解析式即可。
【解析】
1. 原抛物线的解析式为$y=3x^2$，向右平移2个单位长度，根据“左加右减”的规则，将解析式中的$x$替换为$x-2$，可得平移后的抛物线表达式为：
$y=3(x-2)^2$
2. 在此基础上继续向下平移1个单位长度，根据“上加下减”的规则，给整体解析式减去1，可得最终的抛物线表达式为：
$y=3(x-2)^2 -1$
【答案】
$y=3(x-2)^2$；$y=3(x-2)^2-1$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数平移的基础考题，核心是熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，尤其注意水平平移是对自变量x本身进行调整，不要误将平移单位乘在系数外或搞反加减方向，熟练掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先要明确抛物线平移的核心特点：平移只改变抛物线的位置，不改变形状、开口方向，因此二次项系数3保持不变。接下来回忆二次函数图象的平移规律：水平方向平移遵循“左加右减”规则（针对自变量x本身调整，向左平移则x加上平移单位，向右平移则x减去平移单位），竖直方向平移遵循“上加下减”规则（针对函数整体调整，向上平移则整体加平移单位，向下平移则整体减平移单位）。我们先根据向右平移2个单位的要求写出第一次平移后的解析式，再根据向下平移1个单位的要求写出第二次平移后的解析式即可。
【解析】
1. 原抛物线的解析式为$y=3x^2$，向右平移2个单位长度，根据“左加右减”的规则，将解析式中的$x$替换为$x-2$，可得平移后的抛物线表达式为：
$y=3(x-2)^2$
2. 在此基础上继续向下平移1个单位长度，根据“上加下减”的规则，给整体解析式减去1，可得最终的抛物线表达式为：
$y=3(x-2)^2 -1$
【答案】
$y=3(x-2)^2$；$y=3(x-2)^2-1$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数平移的基础考题，核心是熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，尤其注意水平平移是对自变量x本身进行调整，不要误将平移单位乘在系数外或搞反加减方向，熟练掌握规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x-n)^2 +k$ 与 $y=-\frac{1}{4}(x-m)^2 +h$ 有相同的对称轴,则下列关系正确的是 (
A.$m=n,k＞h$
B.$m=n,k＜h$
C.$m＞n,k=h$
D.$m＜n,k=h$
A
)。A.$m=n,k＞h$
B.$m=n,k＜h$
C.$m＞n,k=h$
D.$m＜n,k=h$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数顶点式的性质：形如$ y=a(x-p)^2+q $的二次函数，对称轴是直线$ x=p $，顶点坐标为$ (p,q) $。首先根据两抛物线对称轴相同的条件，分别推导两个抛物线的对称轴，即可得到$ m $和$ n $的关系；再结合图象观察两个抛物线顶点的上下位置，就能比较$ k $和$ h $的大小，最终选出正确选项。
【解析】
1. 根据二次函数顶点式的性质：抛物线$ y=a(x-p)^2+q $的对称轴为直线$ x=p $，顶点纵坐标为$ q $。
2. 抛物线$ y=-\frac{1}{2}(x-n)^2 +k $的对称轴为直线$ x=n $，顶点纵坐标为$ k $；
抛物线$ y=-\frac{1}{4}(x-m)^2 +h $的对称轴为直线$ x=m $，顶点纵坐标为$ h $。
3. 已知两抛物线对称轴相同，因此$ m=n $。
4. 观察图象可得，$ y=-\frac{1}{2}(x-n)^2 +k $的顶点位置更高，因此顶点纵坐标满足$ k＞h $。
综上可得$ m=n，k＞h $。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称轴；二次函数图象特征
【点评】
本题侧重考察二次函数顶点式参数和图象的对应关系，只要熟练掌握顶点式的基本性质，结合图象就能快速判断参数大小，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数顶点式的性质：形如$ y=a(x-p)^2+q $的二次函数，对称轴是直线$ x=p $，顶点坐标为$ (p,q) $。首先根据两抛物线对称轴相同的条件，分别推导两个抛物线的对称轴，即可得到$ m $和$ n $的关系；再结合图象观察两个抛物线顶点的上下位置，就能比较$ k $和$ h $的大小，最终选出正确选项。
【解析】
1. 根据二次函数顶点式的性质：抛物线$ y=a(x-p)^2+q $的对称轴为直线$ x=p $，顶点纵坐标为$ q $。
2. 抛物线$ y=-\frac{1}{2}(x-n)^2 +k $的对称轴为直线$ x=n $，顶点纵坐标为$ k $；
抛物线$ y=-\frac{1}{4}(x-m)^2 +h $的对称轴为直线$ x=m $，顶点纵坐标为$ h $。
3. 已知两抛物线对称轴相同，因此$ m=n $。
4. 观察图象可得，$ y=-\frac{1}{2}(x-n)^2 +k $的顶点位置更高，因此顶点纵坐标满足$ k＞h $。
综上可得$ m=n，k＞h $。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称轴；二次函数图象特征
【点评】
本题侧重考察二次函数顶点式参数和图象的对应关系，只要熟练掌握顶点式的基本性质，结合图象就能快速判断参数大小，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
7. 函数$y=ax^2 -2x +1$和$y=ax -a$（a是常数，且$a≠0$）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
C
）。答案
7.C
解析
【分析】
本题为同参数下二次函数与一次函数的图象匹配题，解题思路为：先根据参数a的正负分类讨论，先由二次函数的开口方向确定a的取值范围，再验证该范围下一次函数的斜率、与y轴交点是否符合，同时结合二次函数的对称轴、截距等特征排除错误选项，最终得到正确答案。
【解析】
分两种情况讨论参数a的取值：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2-2x+1$开口向上；一次函数$y=ax-a$的斜率为$a＞0$，图象从左到右上升，且与y轴交点为$(0,-a)$，因$a＞0$，故交点在y轴负半轴。
选项A中一次函数图象下降（斜率为负），不符合，排除A；
选项B中一次函数与y轴交点在正半轴，不符合，排除B；
选项C中二次函数开口向上，一次函数上升且与y轴交于负半轴，同时二次函数常数项为1，与y轴交于正半轴，对称轴$x=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}＞0$（在y轴右侧），所有特征均符合。
2. 当$a＜0$时：
二次函数$y=ax^2-2x+1$开口向下；一次函数$y=ax-a$的斜率为$a＜0$，图象从左到右下降。
选项D中二次函数开口向下，但一次函数图象上升（斜率为正），不符合，排除D。
综上，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数图象性质，含参函数图象判断
【点评】
本题是函数图象类的典型基础题，核心考查分类讨论思想的应用，解题时抓住参数对不同函数图象的共同影响，逐一排除错误选项即可快速得出结果，是中考高频考点题型。
【难度系数】
0.7
本题为同参数下二次函数与一次函数的图象匹配题，解题思路为：先根据参数a的正负分类讨论，先由二次函数的开口方向确定a的取值范围，再验证该范围下一次函数的斜率、与y轴交点是否符合，同时结合二次函数的对称轴、截距等特征排除错误选项，最终得到正确答案。
【解析】
分两种情况讨论参数a的取值：
1. 当$a＞0$时：
二次函数$y=ax^2-2x+1$开口向上；一次函数$y=ax-a$的斜率为$a＞0$，图象从左到右上升，且与y轴交点为$(0,-a)$，因$a＞0$，故交点在y轴负半轴。
选项A中一次函数图象下降（斜率为负），不符合，排除A；
选项B中一次函数与y轴交点在正半轴，不符合，排除B；
选项C中二次函数开口向上，一次函数上升且与y轴交于负半轴，同时二次函数常数项为1，与y轴交于正半轴，对称轴$x=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}＞0$（在y轴右侧），所有特征均符合。
2. 当$a＜0$时：
二次函数$y=ax^2-2x+1$开口向下；一次函数$y=ax-a$的斜率为$a＜0$，图象从左到右下降。
选项D中二次函数开口向下，但一次函数图象上升（斜率为正），不符合，排除D。
综上，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，一次函数图象性质，含参函数图象判断
【点评】
本题是函数图象类的典型基础题，核心考查分类讨论思想的应用，解题时抓住参数对不同函数图象的共同影响，逐一排除错误选项即可快速得出结果，是中考高频考点题型。
【难度系数】
0.7
8. 已知二次函数$y=-x^2 -4x +5$。
(1)函数图象的顶点坐标是
(2)补全表格，并在平面直角坐标系中画出函数的图象。
(3)根据图象回答下列问题：
①当$y＞0$时，$x$的取值范围是
②当$-5＜x＜0$时，$y$的取值范围是
(1)函数图象的顶点坐标是
$(-2,9)$
。(2)补全表格，并在平面直角坐标系中画出函数的图象。
(3)根据图象回答下列问题：
①当$y＞0$时，$x$的取值范围是
$-5＜x＜1$
；②当$-5＜x＜0$时，$y$的取值范围是
$0＜y≤9$
。答案
8.(1)$(-2,9)$
(2)5 0 函数图象如图。
(3)①$-5＜x＜1$ ②$0＜y≤9$
解析
【分析】
(1) 求二次函数顶点坐标，可通过配方法将一般式转化为顶点式，或直接代入顶点坐标公式求解，两种方法均符合课标要求。
(2) 补全表格只需将对应x值代入函数解析式求y值，或令y=0解方程求x值即可；画函数图象遵循“列表、描点、连线”的步骤完成。
(3) ①求y＞0时x的取值范围，观察图象找到函数图象在x轴上方对应的x区间即可；②求-5＜x＜0时y的取值范围，结合开口方向、顶点最值、区间端点的函数值综合判断即可。
【解析】
(1) 用配方法将函数化为顶点式：
$y=-x^2 -4x +5=-(x^2+4x)+5=-(x^2+4x+4-4)+5=-(x+2)^2+9$
因此顶点坐标为$(-2,9)$。
(2) 当$x=0$时，代入解析式得$y=-0-0+5=5$；
令$y=0$，解方程$-x^2-4x+5=0$，因式分解得$(x+5)(x-1)=0$，解得$x=-5$或$x=1$，即$x=1$时$y=0$，因此表格空缺处填5、0，按描点法补全图象即可。
(3) ①由图象可知，二次函数开口向下，与x轴交于$(-5,0)$和$(1,0)$，当$y＞0$时，图象在x轴上方，对应x的取值范围是$-5＜x＜1$；
②当$-5＜x＜0$时，对称轴$x=-2$在该区间内，此时函数最大值为顶点纵坐标9；区间左端点$x=-5$时$y=0$，右端点$x=0$时$y=5$，因此函数最小值大于0，故y的取值范围是$0＜y≤9$。
【答案】
(1)$(-2,9)$
(2)5 0 函数图象如图。
(3)①$-5＜x＜1$ ②$0＜y≤9$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数与不等式
【点评】
本题围绕二次函数的基础考点展开，考查了顶点坐标求解、图象绘制以及数形结合求解不等式取值范围的能力，难度较低，掌握配方法和数形结合思想即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
(1) 求二次函数顶点坐标，可通过配方法将一般式转化为顶点式，或直接代入顶点坐标公式求解，两种方法均符合课标要求。
(2) 补全表格只需将对应x值代入函数解析式求y值，或令y=0解方程求x值即可；画函数图象遵循“列表、描点、连线”的步骤完成。
(3) ①求y＞0时x的取值范围，观察图象找到函数图象在x轴上方对应的x区间即可；②求-5＜x＜0时y的取值范围，结合开口方向、顶点最值、区间端点的函数值综合判断即可。
【解析】
(1) 用配方法将函数化为顶点式：
$y=-x^2 -4x +5=-(x^2+4x)+5=-(x^2+4x+4-4)+5=-(x+2)^2+9$
因此顶点坐标为$(-2,9)$。
(2) 当$x=0$时，代入解析式得$y=-0-0+5=5$；
令$y=0$，解方程$-x^2-4x+5=0$，因式分解得$(x+5)(x-1)=0$，解得$x=-5$或$x=1$，即$x=1$时$y=0$，因此表格空缺处填5、0，按描点法补全图象即可。
(3) ①由图象可知，二次函数开口向下，与x轴交于$(-5,0)$和$(1,0)$，当$y＞0$时，图象在x轴上方，对应x的取值范围是$-5＜x＜1$；
②当$-5＜x＜0$时，对称轴$x=-2$在该区间内，此时函数最大值为顶点纵坐标9；区间左端点$x=-5$时$y=0$，右端点$x=0$时$y=5$，因此函数最小值大于0，故y的取值范围是$0＜y≤9$。
【答案】
(1)$(-2,9)$
(2)5 0 函数图象如图。
(3)①$-5＜x＜1$ ②$0＜y≤9$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数与不等式
【点评】
本题围绕二次函数的基础考点展开，考查了顶点坐标求解、图象绘制以及数形结合求解不等式取值范围的能力，难度较低，掌握配方法和数形结合思想即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
