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9.【数学应用】烟花厂设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度$h(\mathrm{m})$与飞行时间$t(\mathrm{s})$之间的关系式是$h=-\frac{5}{2}t^2 +20t +1$，若这种礼炮在点火升空到最高点处时引爆，则多长时间后礼炮引爆？礼炮到达高空的最高点时与地面之间的距离是多少？
答案
解:$\because h=-\frac{5}{2}t^2 +20t +1$,
$\therefore h=-\frac{5}{2}(t-4)^2 +41$,
$\therefore$图象的顶点坐标为$(4,41)$,
$\therefore$当$t=4$时,$h$取最大值41,
故4 s后礼炮引爆,礼炮到达高空的最高点时与地面之间的距离是41 m。
$\therefore h=-\frac{5}{2}(t-4)^2 +41$,
$\therefore$图象的顶点坐标为$(4,41)$,
$\therefore$当$t=4$时,$h$取最大值41,
故4 s后礼炮引爆,礼炮到达高空的最高点时与地面之间的距离是41 m。
解析
【分析】
礼炮在最高点引爆，所求的引爆时间和最高点高度，本质就是求二次函数$h=-\frac{5}{2}t^2 +20t +1$取最大值时对应的自变量$t$和函数值$h$。该二次函数的二次项系数为$-\frac{5}{2}＜0$，抛物线开口向下，顶点就是函数的最高点，因此只需将二次函数化为顶点式，求出顶点坐标即可得到结果。
【解析】
已知礼炮升空高度与飞行时间的关系式为：
$h=-\frac{5}{2}t^2 +20t +1$
用配方法将其化为顶点式：
$\begin{aligned}h&=-\frac{5}{2}(t^2-8t)+1\\&=-\frac{5}{2}(t^2-8t+16-16)+1\\&=-\frac{5}{2}(t-4)^2 + \frac{5}{2}×16 +1\\&=-\frac{5}{2}(t-4)^2 +41\end{aligned}$
因此该二次函数图象的顶点坐标为$(4,41)$，
$\because$二次项系数$-\frac{5}{2}＜0$，$\therefore$当$t=4$时，$h$取得最大值41。
【答案】
4 s后礼炮引爆，礼炮到达高空的最高点时与地面之间的距离是41 m。
【知识点】
二次函数的最值；配方法；二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用题，解题核心是将实际问题中的“最高点”转化为二次函数的最值问题，只要熟练掌握配方法化二次函数顶点式的方法，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
礼炮在最高点引爆，所求的引爆时间和最高点高度，本质就是求二次函数$h=-\frac{5}{2}t^2 +20t +1$取最大值时对应的自变量$t$和函数值$h$。该二次函数的二次项系数为$-\frac{5}{2}＜0$，抛物线开口向下，顶点就是函数的最高点，因此只需将二次函数化为顶点式，求出顶点坐标即可得到结果。
【解析】
已知礼炮升空高度与飞行时间的关系式为：
$h=-\frac{5}{2}t^2 +20t +1$
用配方法将其化为顶点式：
$\begin{aligned}h&=-\frac{5}{2}(t^2-8t)+1\\&=-\frac{5}{2}(t^2-8t+16-16)+1\\&=-\frac{5}{2}(t-4)^2 + \frac{5}{2}×16 +1\\&=-\frac{5}{2}(t-4)^2 +41\end{aligned}$
因此该二次函数图象的顶点坐标为$(4,41)$，
$\because$二次项系数$-\frac{5}{2}＜0$，$\therefore$当$t=4$时，$h$取得最大值41。
【答案】
4 s后礼炮引爆，礼炮到达高空的最高点时与地面之间的距离是41 m。
【知识点】
二次函数的最值；配方法；二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的基础应用题，解题核心是将实际问题中的“最高点”转化为二次函数的最值问题，只要熟练掌握配方法化二次函数顶点式的方法，即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10.【数学应用】杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，身体(看成一点)运动的路线是抛物线$y=-\frac{3}{5}x^2 + 3x + 1$的一部分，如图。
(1)求演员弹跳后离地面的最大高度。
(2)已知在一次表演中，人梯高$BC=3.4\ \mathrm{m}$，人梯到起跳点A的水平距离$OC=4\ \mathrm{m}$，这次表演是否成功？请说明理由。
(1)求演员弹跳后离地面的最大高度。
(2)已知在一次表演中，人梯高$BC=3.4\ \mathrm{m}$，人梯到起跳点A的水平距离$OC=4\ \mathrm{m}$，这次表演是否成功？请说明理由。
答案
解:(1)根据题意,得 $y=-\frac{3}{5}x^2 + 3x + 1=-\frac{3}{5}(x-\frac{5}{2})^2 +\frac{19}{4}$。
当$x=\frac{5}{2}$时,$y$取最大值$\frac{19}{4}$,
故演员弹跳后离地面的最大高度为$\frac{19}{4}\ \mathrm{m}$。
(2)这次表演成功。理由如下：
当$x=4$时,$y=-\frac{3}{5}×4^2 +3×4 +1=3.4$。
$\because BC=3.4$,
$\therefore$这次表演成功。
当$x=\frac{5}{2}$时,$y$取最大值$\frac{19}{4}$,
故演员弹跳后离地面的最大高度为$\frac{19}{4}\ \mathrm{m}$。
(2)这次表演成功。理由如下：
当$x=4$时,$y=-\frac{3}{5}×4^2 +3×4 +1=3.4$。
$\because BC=3.4$,
$\therefore$这次表演成功。
解析
【分析】
(1) 求演员弹跳的最大高度本质是求给定二次函数的最大值。该二次函数二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点的纵坐标就是函数的最大值，可通过配方法将函数化为顶点式直接得到最大值。
(2) 判断表演是否成功，只需验证当水平距离为4m即x=4时，对应的函数值是否等于人梯高度3.4m，若相等说明演员刚好落在B点，表演成功。
【解析】
(1) 对二次函数进行配方变形：
$\begin{aligned}y&=-\frac{3}{5}x^2 + 3x + 1\\&=-\frac{3}{5}(x^2-5x)+1\\&=-\frac{3}{5}(x-\frac{5}{2})^2 + \frac{19}{4}\end{aligned}$
因为$-\frac{3}{5}＜0$，抛物线开口向下，当$x=\frac{5}{2}$时，$y$取最大值$\frac{19}{4}$。
(2) 表演成功，理由如下：
将水平距离$x=4$代入函数解析式：
$\begin{aligned}y&=-\frac{3}{5}×4^2 + 3×4 +1\\&=-\frac{48}{5}+12+1\\&=3.4\end{aligned}$
计算结果和人梯高度$BC=3.4\ \mathrm{m}$相等，说明演员刚好落到人梯顶端B处。
【答案】
(1) $\frac{19}{4}\ \mathrm{m}$
(2) 这次表演成功，理由见解析。
【知识点】
二次函数最值计算、二次函数实际应用、函数值代入求值
【点评】
本题结合实际场景考察二次函数的基础应用，解题关键是找准实际量和函数自变量、因变量的对应关系，掌握二次函数顶点式转化和代入求值的方法即可顺利解决。
【难度系数】
0.8
(1) 求演员弹跳的最大高度本质是求给定二次函数的最大值。该二次函数二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点的纵坐标就是函数的最大值，可通过配方法将函数化为顶点式直接得到最大值。
(2) 判断表演是否成功，只需验证当水平距离为4m即x=4时，对应的函数值是否等于人梯高度3.4m，若相等说明演员刚好落在B点，表演成功。
【解析】
(1) 对二次函数进行配方变形：
$\begin{aligned}y&=-\frac{3}{5}x^2 + 3x + 1\\&=-\frac{3}{5}(x^2-5x)+1\\&=-\frac{3}{5}(x-\frac{5}{2})^2 + \frac{19}{4}\end{aligned}$
因为$-\frac{3}{5}＜0$，抛物线开口向下，当$x=\frac{5}{2}$时，$y$取最大值$\frac{19}{4}$。
(2) 表演成功，理由如下：
将水平距离$x=4$代入函数解析式：
$\begin{aligned}y&=-\frac{3}{5}×4^2 + 3×4 +1\\&=-\frac{48}{5}+12+1\\&=3.4\end{aligned}$
计算结果和人梯高度$BC=3.4\ \mathrm{m}$相等，说明演员刚好落到人梯顶端B处。
【答案】
(1) $\frac{19}{4}\ \mathrm{m}$
(2) 这次表演成功，理由见解析。
【知识点】
二次函数最值计算、二次函数实际应用、函数值代入求值
【点评】
本题结合实际场景考察二次函数的基础应用，解题关键是找准实际量和函数自变量、因变量的对应关系，掌握二次函数顶点式转化和代入求值的方法即可顺利解决。
【难度系数】
0.8
