登录
1. 如图,小明参加运动会投掷铅球的比赛,已知铅球向上运动的高度$y$(m)与水平距离$x$(m)间的关系式为$y=-\frac{1}{9}(x-3)^2 +4$,则小明投掷的铅球运动到最高点时,高度为(
A.3 m
B.4 m
C.9 m
D.10 m
B
)。A.3 m
B.4 m
C.9 m
D.10 m
答案
1.B
解析
【分析】
题目给出了铅球高度$y$与水平距离$x$的二次函数关系式，且为顶点式形式。对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，当$a＜0$时抛物线开口向下，顶点$(h,k)$就是抛物线的最高点，顶点的纵坐标$k$就是函数的最大值，也就是铅球的最大高度，只需找到该顶点式中的$k$值即可得到答案。
【解析】
已知铅球高度与水平距离的函数关系式为$y=-\frac{1}{9}(x-3)^2 +4$，属于二次函数的顶点式。
其中$a=-\frac{1}{9}＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值，顶点对应铅球运动的最高点。
该函数的顶点坐标为$(3,4)$，即当水平距离$x=3\mathrm{m}$时，铅球的高度达到最大值$4\mathrm{m}$，因此最高点高度为4m。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的简单应用，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式的性质，明确开口向下的抛物线顶点纵坐标即为函数的最大值，无需复杂计算即可直接得出结果。
【难度系数】
0.85
题目给出了铅球高度$y$与水平距离$x$的二次函数关系式，且为顶点式形式。对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，当$a＜0$时抛物线开口向下，顶点$(h,k)$就是抛物线的最高点，顶点的纵坐标$k$就是函数的最大值，也就是铅球的最大高度，只需找到该顶点式中的$k$值即可得到答案。
【解析】
已知铅球高度与水平距离的函数关系式为$y=-\frac{1}{9}(x-3)^2 +4$，属于二次函数的顶点式。
其中$a=-\frac{1}{9}＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值，顶点对应铅球运动的最高点。
该函数的顶点坐标为$(3,4)$，即当水平距离$x=3\mathrm{m}$时，铅球的高度达到最大值$4\mathrm{m}$，因此最高点高度为4m。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的简单应用，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式的性质，明确开口向下的抛物线顶点纵坐标即为函数的最大值，无需复杂计算即可直接得出结果。
【难度系数】
0.85
2. 如图①所示的是一只酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成的，成轴对称图形，从正面看，酒杯的上半部分是一条抛物线，如图②所示，若$AB=4\ \mathrm{cm}$，$CD=3\ \mathrm{cm}$，以顶点$C$为原点建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式是（
A.$y=\frac{3}{4}x^2$
B.$y=\frac{3}{16}x^2$
C.$y=-\frac{3}{4}x^2$
D.$y=-\frac{3}{16}x^2$
A
）。A.$y=\frac{3}{4}x^2$
B.$y=\frac{3}{16}x^2$
C.$y=-\frac{3}{4}x^2$
D.$y=-\frac{3}{16}x^2$
答案
2.A
解析
【分析】
首先观察坐标系特征：抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，因此可设抛物线的最简解析式为$y=ax^2(a\ne0)$。接下来结合已知线段长度确定抛物线上点的坐标：$AB=4\mathrm{cm}$，说明A点到y轴的水平距离为2cm，即A点横坐标为-2；$CD=3\mathrm{cm}$，说明A点纵坐标为3，得到A点坐标为$(-2,3)$。最后将A点坐标代入解析式求出参数$a$，结合抛物线开口向上可知$a＞0$，即可得到正确表达式。
【解析】
解：
∵抛物线顶点为原点$C(0,0)$，对称轴为y轴，
∴设抛物线解析式为$y=ax^2(a\ne0)$。
∵$AB=4\mathrm{cm}$，
∴点A的横坐标为$-4÷2=-2$，
又
∵$CD=3\mathrm{cm}$，
∴点A的纵坐标为3，即$A(-2,3)$。
将$A(-2,3)$代入$y=ax^2$得：
$3=a×(-2)^2$
解得$a=\frac{3}{4}$
∴抛物线的表达式为$y=\frac{3}{4}x^2$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，抛物线的性质
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，解题关键是结合几何图形的线段长度确定抛物线上已知点的坐标，再代入解析式求解参数，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
首先观察坐标系特征：抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，因此可设抛物线的最简解析式为$y=ax^2(a\ne0)$。接下来结合已知线段长度确定抛物线上点的坐标：$AB=4\mathrm{cm}$，说明A点到y轴的水平距离为2cm，即A点横坐标为-2；$CD=3\mathrm{cm}$，说明A点纵坐标为3，得到A点坐标为$(-2,3)$。最后将A点坐标代入解析式求出参数$a$，结合抛物线开口向上可知$a＞0$，即可得到正确表达式。
【解析】
解：
∵抛物线顶点为原点$C(0,0)$，对称轴为y轴，
∴设抛物线解析式为$y=ax^2(a\ne0)$。
∵$AB=4\mathrm{cm}$，
∴点A的横坐标为$-4÷2=-2$，
又
∵$CD=3\mathrm{cm}$，
∴点A的纵坐标为3，即$A(-2,3)$。
将$A(-2,3)$代入$y=ax^2$得：
$3=a×(-2)^2$
解得$a=\frac{3}{4}$
∴抛物线的表达式为$y=\frac{3}{4}x^2$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，抛物线的性质
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，解题关键是结合几何图形的线段长度确定抛物线上已知点的坐标，再代入解析式求解参数，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
3. 如图，小亮抛球时，球沿抛物线 $y = a(x-3)^2 + 2.5$ 运动，其中 $x$ 是球离初始位置的水平距离，$y$ 是球离地面的高度，若球抛出的水平距离 $OB$ 为8 m，则球抛出时离地面的高度 $OA$ 为
1.6
m。答案
3.1.6
解析
【分析】
要解决本题，首先明确抛物线上已知点的坐标：OB=8m，说明点B坐标为(8,0)；OA是x=0时对应的y值，也就是抛物线与y轴交点的纵坐标。解题思路是：先将点B的坐标代入给定的抛物线顶点式，求出待定系数a的值，得到完整的函数解析式，再将x=0代入解析式，计算得到的y值就是OA的长度。
【解析】
由题意可知，点B的坐标为(8, 0)，将其代入抛物线解析式$y = a(x-3)^2 + 2.5$得：
$0 = a×(8-3)^2 + 2.5$
$0 = 25a + 2.5$
解得 $a = -0.1$
因此抛物线的解析式为 $y = -0.1(x-3)^2 + 2.5$
当$x=0$时，代入解析式得：
$y = -0.1×(0-3)^2 + 2.5 = -0.1×9 +2.5 = -0.9 +2.5 = 1.6$
即球抛出时离地面的高度OA为1.6m。
【答案】
1.6
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用问题，解题的核心是找准抛物线上已知点的坐标，通过待定系数法确定函数解析式，再代入自变量的值求出对应的函数值，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确抛物线上已知点的坐标：OB=8m，说明点B坐标为(8,0)；OA是x=0时对应的y值，也就是抛物线与y轴交点的纵坐标。解题思路是：先将点B的坐标代入给定的抛物线顶点式，求出待定系数a的值，得到完整的函数解析式，再将x=0代入解析式，计算得到的y值就是OA的长度。
【解析】
由题意可知，点B的坐标为(8, 0)，将其代入抛物线解析式$y = a(x-3)^2 + 2.5$得：
$0 = a×(8-3)^2 + 2.5$
$0 = 25a + 2.5$
解得 $a = -0.1$
因此抛物线的解析式为 $y = -0.1(x-3)^2 + 2.5$
当$x=0$时，代入解析式得：
$y = -0.1×(0-3)^2 + 2.5 = -0.1×9 +2.5 = -0.9 +2.5 = 1.6$
即球抛出时离地面的高度OA为1.6m。
【答案】
1.6
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用问题，解题的核心是找准抛物线上已知点的坐标，通过待定系数法确定函数解析式，再代入自变量的值求出对应的函数值，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
4. 如图所示的是一座桥的桥洞的示意图，当水面宽为12 m时，桥洞顶部离水面4 m。已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，以抛物线的顶点C为坐标原点建立平面直角坐标系，请画出平面直角坐标系，并求抛物线的表达式。
答案
4.解:如图,根据题意,得 C(0,0),B(6,-4)。
设抛物线的表达式为 $y=ax^2$。
把(6,-4)代入,得$-4=36a$,解得 $a=-\frac{1}{9}$,
∴抛物线的表达式为 $y=-\frac{1}{9}x^2$。
解析
【分析】
首先根据题目给出的坐标系建立规则，可知抛物线的顶点为坐标原点(0,0)，且抛物线开口向下、对称轴为y轴，因此可选用仅含一个未知系数的顶点式设抛物线的解析式，减少计算量。接下来结合已知条件确定抛物线上已知点的坐标：水面宽AB为12m，由抛物线的对称性可得点B到y轴的水平距离为6m；桥洞顶部C离水面4m，说明水面所在位置的纵坐标为-4，因此得到点B的坐标为(6,-4)。最后将点B的坐标代入所设解析式，求解未知系数即可得到抛物线的表达式。
【解析】
根据题意建立平面直角坐标系，可得抛物线顶点C的坐标为(0,0)，点B的坐标为(6,-4)。
由于抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，因此设抛物线的表达式为$y=ax^2(a≠0)$。
将点B(6,-4)代入表达式，得：
$-4=a×6^2$
即$-4=36a$，解得$a=-\frac{1}{9}$。
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{9}x^2$。
【答案】
4.解:如图,根据题意,得 C(0,0),B(6,-4)。
设抛物线的表达式为 $y=ax^2$。
把(6,-4)代入,得$-4=36a$,解得 $a=-\frac{1}{9}$,
∴抛物线的表达式为 $y=-\frac{1}{9}x^2$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点式；二次函数实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题关键是结合坐标系的设定选择合适的解析式形式，再利用已知条件确定抛物线上点的坐标，代入计算即可得到结果，属于基础类应用题目。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的坐标系建立规则，可知抛物线的顶点为坐标原点(0,0)，且抛物线开口向下、对称轴为y轴，因此可选用仅含一个未知系数的顶点式设抛物线的解析式，减少计算量。接下来结合已知条件确定抛物线上已知点的坐标：水面宽AB为12m，由抛物线的对称性可得点B到y轴的水平距离为6m；桥洞顶部C离水面4m，说明水面所在位置的纵坐标为-4，因此得到点B的坐标为(6,-4)。最后将点B的坐标代入所设解析式，求解未知系数即可得到抛物线的表达式。
【解析】
根据题意建立平面直角坐标系，可得抛物线顶点C的坐标为(0,0)，点B的坐标为(6,-4)。
由于抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，因此设抛物线的表达式为$y=ax^2(a≠0)$。
将点B(6,-4)代入表达式，得：
$-4=a×6^2$
即$-4=36a$，解得$a=-\frac{1}{9}$。
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{9}x^2$。
【答案】
4.解:如图,根据题意,得 C(0,0),B(6,-4)。
设抛物线的表达式为 $y=ax^2$。
把(6,-4)代入,得$-4=36a$,解得 $a=-\frac{1}{9}$,
∴抛物线的表达式为 $y=-\frac{1}{9}x^2$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点式；二次函数实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题关键是结合坐标系的设定选择合适的解析式形式，再利用已知条件确定抛物线上点的坐标，代入计算即可得到结果，属于基础类应用题目。
【难度系数】
0.7
