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1. 二次函数 $y=x^2$ 图象的顶点坐标为（
A.(0,0)
B.(-1,0)
C.(1,0)
D.(0,-1)
A
）。A.(0,0)
B.(-1,0)
C.(1,0)
D.(0,-1)
答案
1.A
解析
【分析】
拿到本题，可从两个角度思考解题：一是直接回忆特殊二次函数$y=x^2$的图象特征，它是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，顶点落在原点；二是用二次函数顶点坐标通用公式，代入对应系数计算得到结果，两种方法都能快速得出答案。
【解析】
方法1：公式法
二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，其顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
在函数$y=x^2$中，$a=1$，$b=0$，$c=0$，代入公式计算：
横坐标：$-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×1}=0$
纵坐标：$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×0-0^2}{4×1}=0$
因此顶点坐标为$(0,0)$。
方法2：性质记忆法
$y=x^2$是最基础的二次函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,0)$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标计算；二次函数图象性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对基础二次函数性质的掌握，既可以通过记忆特殊二次函数的图象特征快速作答，也可以通过通用公式计算求解，是二次函数图象部分的核心基础考点。
【难度系数】
0.9
拿到本题，可从两个角度思考解题：一是直接回忆特殊二次函数$y=x^2$的图象特征，它是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，顶点落在原点；二是用二次函数顶点坐标通用公式，代入对应系数计算得到结果，两种方法都能快速得出答案。
【解析】
方法1：公式法
二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，其顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
在函数$y=x^2$中，$a=1$，$b=0$，$c=0$，代入公式计算：
横坐标：$-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×1}=0$
纵坐标：$\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×0-0^2}{4×1}=0$
因此顶点坐标为$(0,0)$。
方法2：性质记忆法
$y=x^2$是最基础的二次函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,0)$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点坐标计算；二次函数图象性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对基础二次函数性质的掌握，既可以通过记忆特殊二次函数的图象特征快速作答，也可以通过通用公式计算求解，是二次函数图象部分的核心基础考点。
【难度系数】
0.9
2. 下列是二次函数 $y=-x^2$ 的图象的是（
D
）。答案
2.D
解析
【分析】
解题时可按以下思路逐步筛选：首先，明确二次函数的图象是抛物线，先排除不属于抛物线的选项；其次，根据函数的定义，判断选项是否符合“一个自变量x对应唯一的函数值y”的特征，排除不符合函数定义的选项；最后结合二次函数$y=ax^2$的性质，根据二次项系数a的正负判断开口方向，即可确定正确选项。
【解析】
1. 排除非二次函数图象选项：二次函数的图象是抛物线，选项B是V形折线，属于绝对值函数的图象，不是抛物线，直接排除；
2. 排除不符合函数定义的选项：函数的特征是任意一个自变量x对应唯一的函数值y，选项C中$x＞0$时，一个x对应两个y值，不符合函数定义，排除；
3. 根据二次项系数判断开口方向：二次函数$y=ax^2$中，当$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时开口向下。本题中$y=-x^2$的二次项系数$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，选项A开口向上，排除；选项D是顶点在原点、开口向下的抛物线，符合$y=-x^2$的图象特征。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，函数的定义，开口方向判断
【点评】
本题属于基础题型，主要考查基础二次函数$y=ax^2$的图象识别，解题时通过分步排除错误选项的方法可快速得到答案，需熟练掌握二次项系数对抛物线开口方向的影响。
【难度系数】
0.9
解题时可按以下思路逐步筛选：首先，明确二次函数的图象是抛物线，先排除不属于抛物线的选项；其次，根据函数的定义，判断选项是否符合“一个自变量x对应唯一的函数值y”的特征，排除不符合函数定义的选项；最后结合二次函数$y=ax^2$的性质，根据二次项系数a的正负判断开口方向，即可确定正确选项。
【解析】
1. 排除非二次函数图象选项：二次函数的图象是抛物线，选项B是V形折线，属于绝对值函数的图象，不是抛物线，直接排除；
2. 排除不符合函数定义的选项：函数的特征是任意一个自变量x对应唯一的函数值y，选项C中$x＞0$时，一个x对应两个y值，不符合函数定义，排除；
3. 根据二次项系数判断开口方向：二次函数$y=ax^2$中，当$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时开口向下。本题中$y=-x^2$的二次项系数$a=-1＜0$，所以抛物线开口向下，选项A开口向上，排除；选项D是顶点在原点、开口向下的抛物线，符合$y=-x^2$的图象特征。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象性质，函数的定义，开口方向判断
【点评】
本题属于基础题型，主要考查基础二次函数$y=ax^2$的图象识别，解题时通过分步排除错误选项的方法可快速得到答案，需熟练掌握二次项系数对抛物线开口方向的影响。
【难度系数】
0.9
3. 关于抛物线 $ y = x^2 $，下列说法正确的是（
A.对称轴是直线 $ x=1 $
B.y的最大值是－9
C.$ x=2 $ 对应的函数值 $ y=4 $
D.当 $ x＜0 $ 时，y随x的增大而增大
C
）。A.对称轴是直线 $ x=1 $
B.y的最大值是－9
C.$ x=2 $ 对应的函数值 $ y=4 $
D.当 $ x＜0 $ 时，y随x的增大而增大
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=x^2$的基本性质，解题思路是逐个分析每个选项，结合$y=x^2$的对称轴、最值、增减性，以及代入法计算函数值的方法，判断各选项的正误即可。
【解析】
我们依次对每个选项进行判断：
1. 选项A：二次函数$y=ax^2$的对称轴为直线$x=0$（即y轴），因此$y=x^2$的对称轴是直线$x=0$，不是$x=1$，故A错误；
2. 选项B：$y=x^2$中$a=1＞0$，抛物线开口向上，顶点为原点，因此$y$有最小值$0$，无最大值，故B错误；
3. 选项C：将$x=2$代入$y=x^2$，得$y=2^2=4$，故C正确；
4. 选项D：$y=x^2$开口向上，对称轴为$x=0$，因此当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=x^2$的性质；2. 二次函数函数值计算
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，主要考查对$y=x^2$基础性质的掌握，牢记其开口方向、对称轴、增减性、最值等核心性质，结合代入求值的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数$y=x^2$的基本性质，解题思路是逐个分析每个选项，结合$y=x^2$的对称轴、最值、增减性，以及代入法计算函数值的方法，判断各选项的正误即可。
【解析】
我们依次对每个选项进行判断：
1. 选项A：二次函数$y=ax^2$的对称轴为直线$x=0$（即y轴），因此$y=x^2$的对称轴是直线$x=0$，不是$x=1$，故A错误；
2. 选项B：$y=x^2$中$a=1＞0$，抛物线开口向上，顶点为原点，因此$y$有最小值$0$，无最大值，故B错误；
3. 选项C：将$x=2$代入$y=x^2$，得$y=2^2=4$，故C正确；
4. 选项D：$y=x^2$开口向上，对称轴为$x=0$，因此当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，故D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=x^2$的性质；2. 二次函数函数值计算
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，主要考查对$y=x^2$基础性质的掌握，牢记其开口方向、对称轴、增减性、最值等核心性质，结合代入求值的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.85
4. 已知二次函数$y=x^2$。
(1)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(2)当$-2＜x＜3$时，结合图象写出$y$的取值范围。
(1)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
(2)当$-2＜x＜3$时，结合图象写出$y$的取值范围。
答案
4.解:(1)如图
。(2)当 $x=-2$ 时,$y=(-2)^2=4$,
当 $x=3$ 时,$y=3^2=9$,
当 $x=0$ 时,$y=0^2=0$,
∴当$-2＜x＜3$时,$y$ 的取值范围为 $0≤ y＜9$。
解析
【分析】
(1) 画二次函数$y=x^2$的图象遵循“列表、描点、连线”的步骤：$y=x^2$的图象是关于y轴对称的抛物线，因此优先选取x为-2、-1、0、1、2这类对称的整数点，计算对应y值后描点，再用光滑曲线顺次连接各点即可得到函数图象。
(2) 求$-2＜x＜3$时y的取值范围，先分析$y=x^2$的性质：该函数开口向上，对称轴为y轴，顶点是原点$(0,0)$，为函数的最低点。首先找区间内的最小值：$x=0$在$-2＜x＜3$范围内，此时y取最小值0；再比较区间两端点的函数值：$x=-2$时$y=4$，$x=3$时$y=9$，因为开口向上的抛物线离对称轴越远函数值越大，且$x$取不到3，因此y的最大值小于9，即可得到y的取值范围。
【解析】
(1) 绘制$y=x^2$的图象：
① 列表：取x为-2、-1、0、1、2，对应y值分别为4、1、0、1、4；
② 在平面直角坐标系中描出上述点；
③ 用光滑的曲线顺次连接各点，得到抛物线图象。
(2) 分析$y=x^2$的性质与取值范围：
二次函数$y=x^2$开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,0)$：
$x=0$在$-2＜x＜3$的范围内，此时y取得最小值$0^2=0$，因此y可取到0；
计算端点函数值：当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4$；当$x=3$时，$y=3^2=9$；
因为$x＜3$，所以y取不到9，且$x＞0$时y随x的增大而增大，$x=3$处的函数值大于$x=-2$处的函数值，因此y的最大值小于9。
综上可得$-2＜x＜3$时y的取值范围。
【答案】
(1)如图。
(2)当 $-2＜x＜3$ 时，$y$ 的取值范围为 $0≤ y＜9$。
【知识点】
二次函数图象绘制，二次函数的性质，函数取值范围求解
【点评】
本题是二次函数的基础题型，考查了二次函数图象的画法和结合图象分析函数取值范围的能力，解题时要结合抛物线的开口方向、对称轴判断最值，同时要注意自变量区间的端点是否能取到，避免范围判断错误。
【难度系数】
0.8
(1) 画二次函数$y=x^2$的图象遵循“列表、描点、连线”的步骤：$y=x^2$的图象是关于y轴对称的抛物线，因此优先选取x为-2、-1、0、1、2这类对称的整数点，计算对应y值后描点，再用光滑曲线顺次连接各点即可得到函数图象。
(2) 求$-2＜x＜3$时y的取值范围，先分析$y=x^2$的性质：该函数开口向上，对称轴为y轴，顶点是原点$(0,0)$，为函数的最低点。首先找区间内的最小值：$x=0$在$-2＜x＜3$范围内，此时y取最小值0；再比较区间两端点的函数值：$x=-2$时$y=4$，$x=3$时$y=9$，因为开口向上的抛物线离对称轴越远函数值越大，且$x$取不到3，因此y的最大值小于9，即可得到y的取值范围。
【解析】
(1) 绘制$y=x^2$的图象：
① 列表：取x为-2、-1、0、1、2，对应y值分别为4、1、0、1、4；
② 在平面直角坐标系中描出上述点；
③ 用光滑的曲线顺次连接各点，得到抛物线图象。
(2) 分析$y=x^2$的性质与取值范围：
二次函数$y=x^2$开口向上，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,0)$：
$x=0$在$-2＜x＜3$的范围内，此时y取得最小值$0^2=0$，因此y可取到0；
计算端点函数值：当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4$；当$x=3$时，$y=3^2=9$；
因为$x＜3$，所以y取不到9，且$x＞0$时y随x的增大而增大，$x=3$处的函数值大于$x=-2$处的函数值，因此y的最大值小于9。
综上可得$-2＜x＜3$时y的取值范围。
【答案】
(1)如图
。(2)当 $-2＜x＜3$ 时，$y$ 的取值范围为 $0≤ y＜9$。
【知识点】
二次函数图象绘制，二次函数的性质，函数取值范围求解
【点评】
本题是二次函数的基础题型，考查了二次函数图象的画法和结合图象分析函数取值范围的能力，解题时要结合抛物线的开口方向、对称轴判断最值，同时要注意自变量区间的端点是否能取到，避免范围判断错误。
【难度系数】
0.8
1.关于抛物线$y=x^2$与$y=-x^2$，下列说法正确的是（
A.顶点不同
B.对称轴不同
C.开口方向不同
D.都有最小值
C
）。A.顶点不同
B.对称轴不同
C.开口方向不同
D.都有最小值
答案
1.C
解析
【分析】
解答本题需先掌握二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时先分别确定抛物线$y=x^2$和$y=-x^2$的顶点、对称轴、开口方向、最值，再逐一对比四个选项的正误即可。对应性质规律：$y=ax^2$的顶点都是原点$(0,0)$，对称轴都是y轴；$a$的正负决定开口方向，$a＞0$时开口向上，函数有最小值；$a＜0$时开口向下，函数有最大值，$|a|$相同则开口大小一致。
【解析】
分别分析两个抛物线的性质：
1. 抛物线$y=x^2$：$a=1＞0$，开口向上，顶点为$(0,0)$，对称轴为y轴（直线$x=0$），因开口向上存在最小值0；
2. 抛物线$y=-x^2$：$a=-1＜0$，开口向下，顶点为$(0,0)$，对称轴为y轴（直线$x=0$），因开口向下存在最大值0。
逐一判断选项：
A. 两个抛物线顶点均为$(0,0)$，顶点相同，A错误；
B. 两个抛物线对称轴均为y轴，对称轴相同，B错误；
C. $y=x^2$开口向上，$y=-x^2$开口向下，开口方向不同，C正确；
D. $y=-x^2$只有最大值，不存在最小值，并非两个抛物线都有最小值，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数开口方向判断；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数图象性质的基础考查题，核心是理解参数$a$对二次函数$y=ax^2$的开口方向、最值的影响，熟练掌握基础性质就能快速得分，做题时注意区分开口方向对应的最值类型，避免混淆。
【难度系数】
0.9
解答本题需先掌握二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时先分别确定抛物线$y=x^2$和$y=-x^2$的顶点、对称轴、开口方向、最值，再逐一对比四个选项的正误即可。对应性质规律：$y=ax^2$的顶点都是原点$(0,0)$，对称轴都是y轴；$a$的正负决定开口方向，$a＞0$时开口向上，函数有最小值；$a＜0$时开口向下，函数有最大值，$|a|$相同则开口大小一致。
【解析】
分别分析两个抛物线的性质：
1. 抛物线$y=x^2$：$a=1＞0$，开口向上，顶点为$(0,0)$，对称轴为y轴（直线$x=0$），因开口向上存在最小值0；
2. 抛物线$y=-x^2$：$a=-1＜0$，开口向下，顶点为$(0,0)$，对称轴为y轴（直线$x=0$），因开口向下存在最大值0。
逐一判断选项：
A. 两个抛物线顶点均为$(0,0)$，顶点相同，A错误；
B. 两个抛物线对称轴均为y轴，对称轴相同，B错误；
C. $y=x^2$开口向上，$y=-x^2$开口向下，开口方向不同，C正确；
D. $y=-x^2$只有最大值，不存在最小值，并非两个抛物线都有最小值，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数开口方向判断；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数图象性质的基础考查题，核心是理解参数$a$对二次函数$y=ax^2$的开口方向、最值的影响，熟练掌握基础性质就能快速得分，做题时注意区分开口方向对应的最值类型，避免混淆。
【难度系数】
0.9
2. 已知抛物线 $y=x^2$ 上的三个点分别为 $A(-1,y_1),B(2,y_2),C(4,y_3)$，则 $y_1,y_2,y_3$ 的大小关系是（
A.$y_3＞y_1＞y_2$
B.$y_3＞y_2＞y_1$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_2＞y_3＞y_1$
B
）。A.$y_3＞y_1＞y_2$
B.$y_3＞y_2＞y_1$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_2＞y_3＞y_1$
答案
2.B
解析
【分析】
要比较抛物线上三点的函数值大小，有两种常用思路：一是直接代入法，将三个点的横坐标分别代入抛物线解析式，计算出对应的y₁、y₂、y₃的值，再比较大小即可；二是性质判断法，先明确抛物线y=x²的开口方向和对称轴，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，只需计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小就能得到y值的大小关系。
【解析】
方法一：代入求值法
将A(-1,y₁)代入y=x²，得y₁=(-1)²=1；
将B(2,y₂)代入y=x²，得y₂=2²=4；
将C(4,y₃)代入y=x²，得y₃=4²=16；
因为16＞4＞1，所以y₃＞y₂＞y₁。
方法二：性质判断法
抛物线y=x²的开口向上，对称轴为y轴（即直线x=0），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大。
计算各点横坐标到对称轴x=0的距离：
点A到对称轴的距离：|-1-0|=1；
点B到对称轴的距离：|2-0|=2；
点C到对称轴的距离：|4-0|=4；
因为4＞2＞1，所以对应函数值y₃＞y₂＞y₁。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数y=x²的性质、函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，两种解题方法都需要掌握，代入法直白易理解，性质法更快捷，能帮助我们加深对二次函数图象特征的理解。
【难度系数】
0.9
要比较抛物线上三点的函数值大小，有两种常用思路：一是直接代入法，将三个点的横坐标分别代入抛物线解析式，计算出对应的y₁、y₂、y₃的值，再比较大小即可；二是性质判断法，先明确抛物线y=x²的开口方向和对称轴，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，只需计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小就能得到y值的大小关系。
【解析】
方法一：代入求值法
将A(-1,y₁)代入y=x²，得y₁=(-1)²=1；
将B(2,y₂)代入y=x²，得y₂=2²=4；
将C(4,y₃)代入y=x²，得y₃=4²=16；
因为16＞4＞1，所以y₃＞y₂＞y₁。
方法二：性质判断法
抛物线y=x²的开口向上，对称轴为y轴（即直线x=0），开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大。
计算各点横坐标到对称轴x=0的距离：
点A到对称轴的距离：|-1-0|=1；
点B到对称轴的距离：|2-0|=2；
点C到对称轴的距离：|4-0|=4；
因为4＞2＞1，所以对应函数值y₃＞y₂＞y₁。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数y=x²的性质、函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，两种解题方法都需要掌握，代入法直白易理解，性质法更快捷，能帮助我们加深对二次函数图象特征的理解。
【难度系数】
0.9
3. 关于二次函数$y=x^2$的图象，下列描述正确的有
①图象是一条抛物线；②开口向下；③关于y轴对称；④它与x轴有两个交点；⑤y随x的增大而减小；⑥当$x=0$时，y取最小值0。
①③⑥
。（填序号）①图象是一条抛物线；②开口向下；③关于y轴对称；④它与x轴有两个交点；⑤y随x的增大而减小；⑥当$x=0$时，y取最小值0。
答案
3.①③⑥
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先回忆二次函数$y=x^2$的图象特征和基本性质，再对给出的6个说法逐一判断即可。解题时要注意：二次函数的增减性描述必须结合自变量的取值范围，不能笼统概括；判断与x轴交点个数可通过令y=0解方程验证。
【解析】
我们对每个描述逐一分析：
1. ①：所有二次函数的图象都是抛物线，$y=x^2$是二次函数，因此它的图象是一条抛物线，①正确；
2. ②：二次函数$y=ax^2$中$a=1＞0$，所以图象开口向上，②错误；
3. ③：$y=x^2$的对称轴是直线$x=0$（即y轴），因此图象关于y轴对称，③正确；
4. ④：令$y=0$，得$x^2=0$，解得$x=0$，因此它与x轴只有1个交点$(0,0)$，④错误；
5. ⑤：$y=x^2$的增减性需分区间讨论：当$x＜0$时，y随x的增大而减小；当$x＞0$时，y随x的增大而增大，不能笼统说y随x的增大而减小，⑤错误；
6. ⑥：图象开口向上，顶点坐标为$(0,0)$，因此当$x=0$时，y取最小值0，⑥正确。
综上，正确的描述是①③⑥。
【答案】
①③⑥
【知识点】
二次函数图象特征、二次函数的性质、二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数$y=x^2$的图象及基本性质的掌握，解题时只需熟记相关性质逐一判断即可，注意增减性的表述要结合自变量的取值范围，避免判断失误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要先回忆二次函数$y=x^2$的图象特征和基本性质，再对给出的6个说法逐一判断即可。解题时要注意：二次函数的增减性描述必须结合自变量的取值范围，不能笼统概括；判断与x轴交点个数可通过令y=0解方程验证。
【解析】
我们对每个描述逐一分析：
1. ①：所有二次函数的图象都是抛物线，$y=x^2$是二次函数，因此它的图象是一条抛物线，①正确；
2. ②：二次函数$y=ax^2$中$a=1＞0$，所以图象开口向上，②错误；
3. ③：$y=x^2$的对称轴是直线$x=0$（即y轴），因此图象关于y轴对称，③正确；
4. ④：令$y=0$，得$x^2=0$，解得$x=0$，因此它与x轴只有1个交点$(0,0)$，④错误；
5. ⑤：$y=x^2$的增减性需分区间讨论：当$x＜0$时，y随x的增大而减小；当$x＞0$时，y随x的增大而增大，不能笼统说y随x的增大而减小，⑤错误；
6. ⑥：图象开口向上，顶点坐标为$(0,0)$，因此当$x=0$时，y取最小值0，⑥正确。
综上，正确的描述是①③⑥。
【答案】
①③⑥
【知识点】
二次函数图象特征、二次函数的性质、二次函数的最值
【点评】
本题属于基础题，主要考查对二次函数$y=x^2$的图象及基本性质的掌握，解题时只需熟记相关性质逐一判断即可，注意增减性的表述要结合自变量的取值范围，避免判断失误。
【难度系数】
0.8
