4. 在同一平面直角坐标系中，函数$y=x^2$与$y=-2x+6$的图象可能是()。

4.B

【分析】
解题时先分别分析两个函数的图象特征，再用排除法筛选正确选项：第一步先回忆二次函数$y=x^2$的性质，明确它的开口方向、顶点位置，据此排除不符合的选项；第二步再分析一次函数$y=-2x+6$的斜率、截距对应的图象特征，排除剩余选项里不符合的，即可得到答案。
【解析】
1. 分析二次函数$y=x^2$的图象：
二次项系数为$1＞0$，因此抛物线开口向上，且顶点为坐标原点，据此可排除开口向下的选项C、D。
2. 分析一次函数$y=-2x+6$的图象：
一次项系数$k=-2＜0$，因此直线从左上向右下倾斜（$y$随$x$的增大而减小），且常数项$b=6＞0$，直线与$y$轴正半轴相交，图象经过第一、二、四象限。
选项A中的一次函数图象从左下向右上倾斜（$k＞0$），不符合一次函数特征，排除A；只有选项B符合两个函数的图象特征。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象性质；一次函数的图象性质
【点评】
本题属于基础图象判断题，解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数的系数与图象特征的对应关系，通过排除法可快速得到答案。
【难度系数】
0.8

5. 已知点$A(-1,1),B(-1,-1),C(-2,-4),D(-1,4)$，这些点在抛物线$y=-x^2$上的是()。

A.点A和点B
B.点B和点C
C.点B和点D
D.点A和点C

5.B

【分析】要判断一个点是否在抛物线上，核心方法是代入验证：将点的横坐标代入抛物线的解析式，计算出对应的函数值，若计算结果与该点的纵坐标相等，则点在抛物线上，反之则不在。我们只需依次把四个点的横坐标代入$y=-x^2$计算，再对比纵坐标即可得出结果。
【解析】判断点是否在抛物线$y=-x^2$上，只需将点的横坐标代入解析式，验证计算所得$y$值是否与点的纵坐标相等：
1. 验证点$A(-1,1)$：把$x=-1$代入$y=-x^2$，得$y=-(-1)^2=-1≠1$，故点$A$不在抛物线上；
2. 验证点$B(-1,-1)$：把$x=-1$代入$y=-x^2$，得$y=-(-1)^2=-1$，与纵坐标相等，故点$B$在抛物线上；
3. 验证点$C(-2,-4)$：把$x=-2$代入$y=-x^2$，得$y=-(-2)^2=-4$，与纵坐标相等，故点$C$在抛物线上；
4. 验证点$D(-1,4)$：把$x=-1$代入$y=-x^2$，得$y=-(-1)^2=-1≠4$，故点$D$不在抛物线上。
综上，在抛物线上的是点$B$和点$C$。
【答案】B
【知识点】1.二次函数图象上点的坐标特征 2.代入求值
【点评】本题属于基础题型，解题关键是掌握“点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式”这一规律，通过代入验证即可快速得到答案。
【难度系数】0.9

6. 抛物线$y=-x^2$与直线$y=kx-2$有一个交点的坐标为$(2,m)$，那么$k$的值是。

6.-1

【分析】
已知点$(2,m)$是抛物线与直线的交点，说明该点坐标同时满足两个函数的解析式。解题思路分两步：首先将$x=2$代入抛物线解析式求出$m$的值，得到完整的交点坐标；再将完整的交点坐标代入直线解析式，即可求出$k$的值。
【解析】
1. 求$m$的值
因为点$(2,m)$在抛物线$y=-x^2$上，将$x=2$代入抛物线解析式可得：
$m=-2^2=-4$
因此两个函数的交点坐标为$(2,-4)$。
2. 求$k$的值
因为点$(2,-4)$在直线$y=kx-2$上，将$x=2$、$y=-4$代入直线解析式可得：
$-4=2k-2$
移项计算得$2k=-4+2=-2$，解得$k=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查函数交点的性质：两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，按照先求完整交点坐标、再代入求参数的顺序求解即可，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8

7.【数学应用】如图,一个桥洞的形状是抛物线,其表达式为$y=-x^2$。正常水位时,水面宽度$AB=4\ \mathrm{m}$;当水位上涨1 m时,水面的宽度约为m。

7.$2\sqrt{3}$

【分析】
解题首先利用抛物线关于y轴对称的性质，先根据正常水位的水面宽度求出正常水位对应的纵坐标，再计算水位上涨1m后的纵坐标，最后将新的纵坐标代入抛物线解析式求出对应的横坐标，即可得到上涨后水面的宽度。具体思路：①由AB=4m，得点B横坐标为2，代入解析式求正常水位的y值；②水位上涨1m，即纵坐标增加1，得到新的y值；③将新y值代入解析式求x，水面宽度为2倍的横坐标绝对值。
【解析】
∵ 抛物线$y=-x^2$的对称轴为y轴，水面AB为水平线段，
∴ 点A和点B关于y轴对称。
已知正常水位时$AB=4\ \mathrm{m}$，则点B的横坐标为$\frac{4}{2}=2$，
将$x=2$代入$y=-x^2$，得$y=-2^2=-4$，即正常水位的纵坐标为$-4$。
当水位上涨1m时，此时水面的纵坐标为$-4+1=-3$，
将$y=-3$代入$y=-x^2$，得$-3=-x^2$，解得$x=\pm\sqrt{3}$，
∴ 此时水面的宽度为$\sqrt{3}-(-\sqrt{3})=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数的求值；二次函数的实际应用
【点评】
本题考查二次函数在实际场景中的应用，核心是利用抛物线的对称性简化计算，解题时要注意水位上涨对应纵坐标的变化方向，避免符号出错，属于基础的二次函数应用题型。
【难度系数】
0.7

8. 已知抛物线$y=x^2$经过点$A(-2,a)$。
(1)求$a$的值；
(2)判断点$B(-3,6)$是否在抛物线上；
(3)若抛物线经过点$(1,y_1)$和$(2,y_2)$，直接写出$y_1$与$y_2$的大小关系。

8.解:(1)$\because$ 抛物线 $y=x^2$ 经过点 $A(-2,a)$,
$\therefore a=(-2)^2=4$。
(2)$\because$ 当 $x=-3$ 时,$y=(-3)^2=9≠6$,
$\therefore$ 点 $B(-3,6)$ 不在抛物线上。
(3)$y_1＜y_2$。

【分析】
(1) 若点在抛物线上，则点的坐标满足抛物线的函数解析式，只需将点A的横坐标代入解析式，计算得到的y值就是a的值；
(2) 判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入函数解析式，求出对应的y值，和点的纵坐标对比，若相等则点在抛物线上，反之则不在；
(3) 抛物线$y=x^2$开口向上，对称轴为y轴，在$x＞0$的区间内，y随x的增大而增大，根据两个点横坐标的大小，即可判断对应函数值的大小关系。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线 $y=x^2$ 经过点 $A(-2,a)$，
$\therefore$ 将$x=-2$代入解析式得$a=(-2)^2=4$；
(2) 当$x=-3$时，代入$y=x^2$得$y=(-3)^2=9$，
$\because 9≠6$，
$\therefore$ 点$B(-3,6)$不在抛物线上；
(3) 抛物线$y=x^2$开口向上，$x＞0$时y随x的增大而增大，
$\because 1＜2$，
$\therefore y_1＜y_2$。
【答案】
(1) $a=4$；
(2) 点$B(-3,6)$不在抛物线上；
(3) $y_1＜y_2$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题，主要考查二次函数基本性质的简单应用，掌握点在函数图象上的判定方法和二次函数增减性规律即可顺利解题。
【难度系数】
0.85

9. 如图, 已知点 $M(-\dfrac{1}{2},2)$ 和抛物线 $y=x^2$。
(1)若直线 $y=kx+3$ 经过点 $M$, 且与 $x$ 轴交于点 $A$, 求点 $A$ 的坐标;
(2)在(1)的条件下, 抛物线交直线于点 $B$, 已知点 $B$ 的横坐标为 3, 求 $△ AOB$ 的面积。

9.解:(1)把点 $M(-\dfrac{1}{2},2)$ 的坐标代入 $y=kx+3$,得
$-\dfrac{1}{2}k+3=2$,解得 $k=2$,
$\therefore$ 直线 $AM$ 对应的函数表达式为 $y=2x+3$。
令 $2x+3=0$,解得 $x=-\dfrac{3}{2}$,
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(-\dfrac{3}{2},0)$。
(2)把 $x=3$ 代入 $y=x^2$,得 $y=9$,
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(3,9)$。
如图,过点 $B$ 作 $BC⊥ x$ 轴于点 $C$,则 $BC=9$。
$\because$ 点 $A$ 的坐标为 $(-\dfrac{3}{2},0)$,
$\therefore OA=\dfrac{3}{2}$,
$\therefore S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OA· BC=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×9=\dfrac{27}{4}$。

【分析】
(1) 要得到点A的坐标，首先需要确定直线$y=kx+3$的解析式：已知直线过点$M(-\dfrac{1}{2},2)$，将点M坐标代入直线表达式可求出k的值，得到完整的直线解析式；再根据x轴上点的纵坐标为0的特点，令解析式中$y=0$，解出对应的x值，即可得到点A的坐标。
(2) 计算$△ AOB$的面积，首先需要确定点B的坐标：已知点B在抛物线$y=x^2$上且横坐标为3，将$x=3$代入抛物线解析式可求出点B的纵坐标；$△ AOB$的边OA在x轴上，OA的长度为点A横坐标的绝对值，OA边上的高为点B到x轴的距离，即点B的纵坐标，最后代入三角形面积公式即可求出面积。
【解析】
(1) 把点$M(-\dfrac{1}{2},2)$的坐标代入$y=kx+3$，得：
$-\dfrac{1}{2}k+3=2$，解得$k=2$，
$\therefore$ 直线$AM$对应的函数表达式为$y=2x+3$。
令$y=0$，即$2x+3=0$，解得$x=-\dfrac{3}{2}$，
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-\dfrac{3}{2},0)$。
(2) 把$x=3$代入$y=x^2$，得$y=3^2=9$，
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(3,9)$。
如图，过点$B$作$BC⊥ x$轴于点$C$，则$BC=9$。
$\because$ 点$A$的坐标为$(-\dfrac{3}{2},0)$，
$\therefore OA=\dfrac{3}{2}$，
$\therefore S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OA· BC=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×9=\dfrac{27}{4}$。
【答案】
(1) 点$A$的坐标为$(-\dfrac{3}{2},0)$；
(2) $△ AOB$的面积为$\dfrac{27}{4}$。
参考图示：
【知识点】
一次函数的性质，二次函数的图象性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于函数基础综合题，解题核心是掌握函数图象上的点坐标满足对应函数解析式，以及坐标系中求三角形面积的方法，整体思路清晰，计算量小，属于应知应会的基础题型。
【难度系数】
0.7