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1. 从半径为10 cm的圆片中挖掉4个大小相同的正方形孔，则剩余的面积$S(\mathrm{cm}^2)$与正方形孔的边长$x(\mathrm{cm})$之间的关系式为
$S=100π-4x^2$
。答案
$S=100π-4x^2$
解析
【分析】
解题时首先明确剩余面积的等量关系：剩余面积=原圆片的总面积 - 挖掉的4个正方形孔的总面积。先根据圆的面积公式计算出原圆片的面积，再根据正方形面积公式算出1个正方形孔的面积，进而得到4个正方形孔的总面积，最后将两部分代入等量关系即可得到S与x的关系式。
【解析】
首先计算原圆片的面积：已知圆的半径r=10cm，根据圆的面积公式$S_{圆}=π r^2$，可得圆的面积为$π × 10^2=100π \ \mathrm{cm}^2$。
再计算4个正方形孔的总面积：每个正方形孔的边长为$x\ \mathrm{cm}$，根据正方形面积公式$S_{正}=\mathrm{边长}^2$，1个正方形孔的面积为$x^2\ \mathrm{cm}^2$，则4个正方形孔的总面积为$4x^2\ \mathrm{cm}^2$。
根据剩余面积的等量关系，可得$S=S_{圆}-4S_{正}=100π - 4x^2$。
【答案】
$S=100π-4x^2$
【知识点】
列函数关系式；圆的面积计算；正方形面积计算
【点评】
本题考查结合几何面积关系列函数表达式，解题核心是找准面积之间的等量关系，只要熟练掌握常见几何图形的面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确剩余面积的等量关系：剩余面积=原圆片的总面积 - 挖掉的4个正方形孔的总面积。先根据圆的面积公式计算出原圆片的面积，再根据正方形面积公式算出1个正方形孔的面积，进而得到4个正方形孔的总面积，最后将两部分代入等量关系即可得到S与x的关系式。
【解析】
首先计算原圆片的面积：已知圆的半径r=10cm，根据圆的面积公式$S_{圆}=π r^2$，可得圆的面积为$π × 10^2=100π \ \mathrm{cm}^2$。
再计算4个正方形孔的总面积：每个正方形孔的边长为$x\ \mathrm{cm}$，根据正方形面积公式$S_{正}=\mathrm{边长}^2$，1个正方形孔的面积为$x^2\ \mathrm{cm}^2$，则4个正方形孔的总面积为$4x^2\ \mathrm{cm}^2$。
根据剩余面积的等量关系，可得$S=S_{圆}-4S_{正}=100π - 4x^2$。
【答案】
$S=100π-4x^2$
【知识点】
列函数关系式；圆的面积计算；正方形面积计算
【点评】
本题考查结合几何面积关系列函数表达式，解题核心是找准面积之间的等量关系，只要熟练掌握常见几何图形的面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
2. 有一块长为 60 m、宽为 40 m 的矩形空地，计划在它四周相同宽度的部分种植阔叶草，中间种郁金香，则郁金香的种植面积$S(\mathrm{m}^2)$与草坪宽度$a(\mathrm{m})$之间的关系式为
$S=4a^2-200a+2\ 400$
。答案
$S=4a^2-200a+2\ 400$
解析
【分析】
要写出郁金香种植面积S和草坪宽度a的关系式，首先需确定郁金香种植区域的形状与尺寸：郁金香区域为矩形，计算矩形面积需先得到它的长和宽。由于四周阔叶草宽度均为a m，原矩形的长要减去左右两侧各a m的宽度，即中间矩形的长为(60-2a)m；原矩形的宽要减去上下两侧各a m的宽度，即中间矩形的宽为(40-2a)m，再代入矩形面积公式列式化简即可。
【解析】
解：由题意可知，中间郁金香种植区域是矩形，
该矩形的长为：$60 - 2a$（m），宽为：$40 - 2a$（m），其中自变量a的取值范围为$0 ＜ a ＜ 20$。
根据矩形面积公式$S = 长 × 宽$，可得：
$S = (60 - 2a)(40 - 2a)$
展开并整理得：
$S = 60×40 - 60×2a - 40×2a + 4a^2$
$S = 2400 - 120a - 80a + 4a^2$
$S = 4a^2 - 200a + 2400$
【答案】
$S=4a^2-200a+2\ 400$
【知识点】
二次函数的实际应用；矩形面积计算；多项式乘法运算
【点评】
本题是典型的几何类二次函数建模基础题，解题核心是结合图形特征准确表示出所求区域的边长，计算时要注意不要漏乘系数，同时要结合实际意义明确自变量的取值范围。
【难度系数】
0.75
要写出郁金香种植面积S和草坪宽度a的关系式，首先需确定郁金香种植区域的形状与尺寸：郁金香区域为矩形，计算矩形面积需先得到它的长和宽。由于四周阔叶草宽度均为a m，原矩形的长要减去左右两侧各a m的宽度，即中间矩形的长为(60-2a)m；原矩形的宽要减去上下两侧各a m的宽度，即中间矩形的宽为(40-2a)m，再代入矩形面积公式列式化简即可。
【解析】
解：由题意可知，中间郁金香种植区域是矩形，
该矩形的长为：$60 - 2a$（m），宽为：$40 - 2a$（m），其中自变量a的取值范围为$0 ＜ a ＜ 20$。
根据矩形面积公式$S = 长 × 宽$，可得：
$S = (60 - 2a)(40 - 2a)$
展开并整理得：
$S = 60×40 - 60×2a - 40×2a + 4a^2$
$S = 2400 - 120a - 80a + 4a^2$
$S = 4a^2 - 200a + 2400$
【答案】
$S=4a^2-200a+2\ 400$
【知识点】
二次函数的实际应用；矩形面积计算；多项式乘法运算
【点评】
本题是典型的几何类二次函数建模基础题，解题核心是结合图形特征准确表示出所求区域的边长，计算时要注意不要漏乘系数，同时要结合实际意义明确自变量的取值范围。
【难度系数】
0.75
3. 如图①，菱形的对角线将其分成四个直角三角形，用这四个直角三角形拼成如图②所示的边长为6 cm的大正方形，记直角三角形的一条直角边长为x cm，另一条直角边长为y cm，图②中小正方形的面积为S cm²。当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x之间的关系式为
$y=6-x$
，S与x之间的关系式为$S=2x^2-12x+36$
。答案
$y=6-x$ $S=2x^2-12x+36$
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：①图②是边长为6cm的大正方形，直角三角形的两条直角边x、y的和恰好等于大正方形的边长，由此可直接得到x和y的等量关系，变形即可得y与x的关系式；②中间小正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，小正方形面积等于两条直角边的平方和，再将y用含x的式子代入，展开整理即可得到S与x的关系式。
【解析】
1. 求y与x的关系式：
由图②中大正方形的边长为6cm，可得直角三角形两条直角边的和等于大正方形的边长，即：
$x + y = 6$
整理得：$y = 6 - x$
2. 求S与x的关系式：
中间小正方形的边长为直角三角形的斜边，根据勾股定理，小正方形的面积等于斜边的平方，即：
$S = x^2 + y^2$
将$y = 6 - x$代入上式：
$S = x^2 + (6 - x)^2$
展开完全平方：
$S = x^2 + 36 - 12x + x^2$
合并同类项得：
$S = 2x^2 - 12x + 36$
【答案】
$y=6-x$；$S=2x^2-12x+36$
【知识点】
勾股定理；列函数关系式；完全平方公式
【点评】
本题结合图形拼接考查函数关系式的推导，解题核心是通过观察图形找到边的数量关系，再结合勾股定理转化为代数式，较好地考查了数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：①图②是边长为6cm的大正方形，直角三角形的两条直角边x、y的和恰好等于大正方形的边长，由此可直接得到x和y的等量关系，变形即可得y与x的关系式；②中间小正方形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理，小正方形面积等于两条直角边的平方和，再将y用含x的式子代入，展开整理即可得到S与x的关系式。
【解析】
1. 求y与x的关系式：
由图②中大正方形的边长为6cm，可得直角三角形两条直角边的和等于大正方形的边长，即：
$x + y = 6$
整理得：$y = 6 - x$
2. 求S与x的关系式：
中间小正方形的边长为直角三角形的斜边，根据勾股定理，小正方形的面积等于斜边的平方，即：
$S = x^2 + y^2$
将$y = 6 - x$代入上式：
$S = x^2 + (6 - x)^2$
展开完全平方：
$S = x^2 + 36 - 12x + x^2$
合并同类项得：
$S = 2x^2 - 12x + 36$
【答案】
$y=6-x$；$S=2x^2-12x+36$
【知识点】
勾股定理；列函数关系式；完全平方公式
【点评】
本题结合图形拼接考查函数关系式的推导，解题核心是通过观察图形找到边的数量关系，再结合勾股定理转化为代数式，较好地考查了数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
4.某商店购进一批单价为10元的学具，若按每件15元销售，则每天可售出50件。调查发现，这种学具的售价每提高1元，销售量就减少5件。设涨价后售价为每件x元，每天的销售利润为y元，则y与x之间的关系式为
$y=-5x^2+175x-1\ 250$
。答案
$y=-5x^2+175x-1\ 250$
解析
【分析】
要解决该问题，需围绕销售总利润的核心公式“总利润=单件利润×销售量”分步推导：首先明确单件利润为售价减去进价，再根据售价涨幅计算出对应销售量，最后将两个量相乘并化简，即可得到y与x的函数关系式。
【解析】
解：1. 求单件利润：
已知学具进价为10元，涨价后售价为x元，因此每件学具的利润为 $(x-10)$ 元。
2. 求对应销售量：
原售价15元时每天可售50件，售价每提高1元销量减少5件。当售价为x元时，相比15元上涨了 $(x-15)$ 元，因此销量减少 $5(x-15)$ 件，
则当前每天的销售量为：
$50 - 5(x-15) = 125 - 5x$（件）
3. 列利润关系式并化简：
根据总利润公式代入得：
$y = (x-10)(125-5x)$
展开合并同类项：
$y = 125x - 5x^2 - 1250 + 50x$
$y = -5x^2 +175x -1250$
【答案】
$y=-5x^2+175x-1250$
【知识点】
销售利润计算；列二次函数关系式
【点评】
本题是销售类基础应用题，解题关键是理清售价、销量、利润三者之间的对应关系，展开计算时需注意运算符号，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.75
要解决该问题，需围绕销售总利润的核心公式“总利润=单件利润×销售量”分步推导：首先明确单件利润为售价减去进价，再根据售价涨幅计算出对应销售量，最后将两个量相乘并化简，即可得到y与x的函数关系式。
【解析】
解：1. 求单件利润：
已知学具进价为10元，涨价后售价为x元，因此每件学具的利润为 $(x-10)$ 元。
2. 求对应销售量：
原售价15元时每天可售50件，售价每提高1元销量减少5件。当售价为x元时，相比15元上涨了 $(x-15)$ 元，因此销量减少 $5(x-15)$ 件，
则当前每天的销售量为：
$50 - 5(x-15) = 125 - 5x$（件）
3. 列利润关系式并化简：
根据总利润公式代入得：
$y = (x-10)(125-5x)$
展开合并同类项：
$y = 125x - 5x^2 - 1250 + 50x$
$y = -5x^2 +175x -1250$
【答案】
$y=-5x^2+175x-1250$
【知识点】
销售利润计算；列二次函数关系式
【点评】
本题是销售类基础应用题，解题关键是理清售价、销量、利润三者之间的对应关系，展开计算时需注意运算符号，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.75
5.【数学应用】用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设长方形地面，观察图案并解答问题：
(1)在第n个图案中，每一行共有
(2)在第n个图案中，求铺设地面所用瓷砖的总块数y与n之间的关系式；
(3)当n=20时，求y的值。
(1)在第n个图案中，每一行共有
$(n+3)$
块瓷砖，每一列共有$(n+2)$
块瓷砖；(2)在第n个图案中，求铺设地面所用瓷砖的总块数y与n之间的关系式；
(3)当n=20时，求y的值。
答案
(1)$(n+3)$ $(n+2)$
(2)解:$y=(n+3)(n+2)=n^2+5n+6$。
(3)解:当 $n=20$ 时,$y=(20+3)(20+2)=23×22=506$。
(2)解:$y=(n+3)(n+2)=n^2+5n+6$。
(3)解:当 $n=20$ 时,$y=(20+3)(20+2)=23×22=506$。
解析
【分析】
解决本题需按照从特殊到一般的规律探究思路思考：1.先统计第1、2、3个图案中每行、每列的瓷砖数量，对比对应n的取值，推导第n个图案每行、每列瓷砖数和n的关系；2.长方形地面的总瓷砖数=每行瓷砖数×每列瓷砖数，据此即可得到总块数y与n的关系式；3.将n=20代入所得关系式计算，即可求出对应y的值。
【解析】
(1)观察已知图案：
第1个图案（n=1）：每行有$4=1+3$块瓷砖，每列有$3=1+2$块瓷砖；
第2个图案（n=2）：每行有$5=2+3$块瓷砖，每列有$4=2+2$块瓷砖；
第3个图案（n=3）：每行有$6=3+3$块瓷砖，每列有$5=3+2$块瓷砖；
由此可归纳规律：第n个图案中，每一行共有$(n+3)$块瓷砖，每一列共有$(n+2)$块瓷砖。
(2)总瓷砖数为每行瓷砖数与每列瓷砖数的乘积，因此：
$y=(n+3)(n+2)$
展开整理得：$y=n^2+5n+6$
(3)将$n=20$代入$y=(n+3)(n+2)$中计算：
$y=(20+3)×(20+2)=23×22=506$
【答案】
(1)$(n+3)$；$(n+2)$
(2)$y=n^2+5n+6$
(3)$506$
【知识点】
图形规律探究，二次函数的表达式，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心考查学生观察图形、归纳共性规律的能力，解题时运用从特殊到一般的推导方法，结合长方形面积的计算逻辑即可顺利求解，同时也考查了整式乘法和代数式代入求值的基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解决本题需按照从特殊到一般的规律探究思路思考：1.先统计第1、2、3个图案中每行、每列的瓷砖数量，对比对应n的取值，推导第n个图案每行、每列瓷砖数和n的关系；2.长方形地面的总瓷砖数=每行瓷砖数×每列瓷砖数，据此即可得到总块数y与n的关系式；3.将n=20代入所得关系式计算，即可求出对应y的值。
【解析】
(1)观察已知图案：
第1个图案（n=1）：每行有$4=1+3$块瓷砖，每列有$3=1+2$块瓷砖；
第2个图案（n=2）：每行有$5=2+3$块瓷砖，每列有$4=2+2$块瓷砖；
第3个图案（n=3）：每行有$6=3+3$块瓷砖，每列有$5=3+2$块瓷砖；
由此可归纳规律：第n个图案中，每一行共有$(n+3)$块瓷砖，每一列共有$(n+2)$块瓷砖。
(2)总瓷砖数为每行瓷砖数与每列瓷砖数的乘积，因此：
$y=(n+3)(n+2)$
展开整理得：$y=n^2+5n+6$
(3)将$n=20$代入$y=(n+3)(n+2)$中计算：
$y=(20+3)×(20+2)=23×22=506$
【答案】
(1)$(n+3)$；$(n+2)$
(2)$y=n^2+5n+6$
(3)$506$
【知识点】
图形规律探究，二次函数的表达式，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心考查学生观察图形、归纳共性规律的能力，解题时运用从特殊到一般的推导方法，结合长方形面积的计算逻辑即可顺利求解，同时也考查了整式乘法和代数式代入求值的基础运算能力。
【难度系数】
0.7
6.【数学应用】如图，圆柱的高为10 cm，底面直径为x cm，表面积为S cm²。
(1)求S与x之间的关系式，并判断它是否为二次函数；
(2)当圆柱的底面直径从4 cm增加到10 cm时，圆柱的表面积增加了多少？
(1)求S与x之间的关系式，并判断它是否为二次函数；
(2)当圆柱的底面直径从4 cm增加到10 cm时，圆柱的表面积增加了多少？
答案
解:(1)根据题意,得
$S=2π × \frac{x}{2} × 10+2π × (\frac{x}{2})^2 = (\frac{1}{2}π x^2 + 10π x)(\mathrm{cm}^2)$。
∵$\frac{1}{2}π ≠ 0$,
∴S与x之间的关系式是$S=\frac{1}{2}π x^2+10π x$,它是二次函数。
(2)
∵$(\frac{1}{2}π × 10^2 + 10π × 10) - (\frac{1}{2}π × 4^2 + 10π × 4) = 150π - 48π = 102π(\mathrm{cm}^2)$,
∴圆柱的表面积增加了 $102π\ \mathrm{cm}^2$。
$S=2π × \frac{x}{2} × 10+2π × (\frac{x}{2})^2 = (\frac{1}{2}π x^2 + 10π x)(\mathrm{cm}^2)$。
∵$\frac{1}{2}π ≠ 0$,
∴S与x之间的关系式是$S=\frac{1}{2}π x^2+10π x$,它是二次函数。
(2)
∵$(\frac{1}{2}π × 10^2 + 10π × 10) - (\frac{1}{2}π × 4^2 + 10π × 4) = 150π - 48π = 102π(\mathrm{cm}^2)$,
∴圆柱的表面积增加了 $102π\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
(1) 推导S与x的关系式时，首先明确圆柱表面积由2个底面积和侧面积两部分组成：已知底面直径为x，可得半径为$\frac{x}{2}$，分别计算出底面积总和、侧面积，相加即可得到S的表达式；再根据二次函数的定义（形如$y=ax^2+bx+c$，$a≠0$的函数为二次函数）判断类型即可。
(2) 求表面积的增量，只需将$x=10$、$x=4$分别代入第一问得到的关系式，计算两个表面积的差值即可。
【解析】
(1) 圆柱表面积=2个底面积+侧面积：
底面积总和为$2× π× (\frac{x}{2})^2=\frac{1}{2}π x^2$，
侧面积为底面周长×高，即$π x × 10=10π x$，
因此$S=\frac{1}{2}π x^2 + 10π x$。
该表达式中x的最高次数为2，且二次项系数$\frac{1}{2}π≠0$，符合二次函数的定义，因此它是二次函数。
(2) 当底面直径$x=10\ \mathrm{cm}$时，代入关系式得：
$S_1=\frac{1}{2}π × 10^2 +10π ×10=50π+100π=150π\ \mathrm{cm}^2$
当底面直径$x=4\ \mathrm{cm}$时，代入关系式得：
$S_2=\frac{1}{2}π × 4^2 +10π ×4=8π+40π=48π\ \mathrm{cm}^2$
表面积增加量为$S_1-S_2=150π-48π=102π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $S=\frac{1}{2}π x^2 + 10π x$，是二次函数；
(2) 圆柱的表面积增加了$102π\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
圆柱表面积计算，二次函数的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础综合题，重点考查几何公式与函数定义的结合应用，解题核心是牢记圆柱表面积的计算方法，同时准确掌握二次函数的判定规则，计算时注意运算准确性即可得分。
【难度系数】
0.7
(1) 推导S与x的关系式时，首先明确圆柱表面积由2个底面积和侧面积两部分组成：已知底面直径为x，可得半径为$\frac{x}{2}$，分别计算出底面积总和、侧面积，相加即可得到S的表达式；再根据二次函数的定义（形如$y=ax^2+bx+c$，$a≠0$的函数为二次函数）判断类型即可。
(2) 求表面积的增量，只需将$x=10$、$x=4$分别代入第一问得到的关系式，计算两个表面积的差值即可。
【解析】
(1) 圆柱表面积=2个底面积+侧面积：
底面积总和为$2× π× (\frac{x}{2})^2=\frac{1}{2}π x^2$，
侧面积为底面周长×高，即$π x × 10=10π x$，
因此$S=\frac{1}{2}π x^2 + 10π x$。
该表达式中x的最高次数为2，且二次项系数$\frac{1}{2}π≠0$，符合二次函数的定义，因此它是二次函数。
(2) 当底面直径$x=10\ \mathrm{cm}$时，代入关系式得：
$S_1=\frac{1}{2}π × 10^2 +10π ×10=50π+100π=150π\ \mathrm{cm}^2$
当底面直径$x=4\ \mathrm{cm}$时，代入关系式得：
$S_2=\frac{1}{2}π × 4^2 +10π ×4=8π+40π=48π\ \mathrm{cm}^2$
表面积增加量为$S_1-S_2=150π-48π=102π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $S=\frac{1}{2}π x^2 + 10π x$，是二次函数；
(2) 圆柱的表面积增加了$102π\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
圆柱表面积计算，二次函数的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础综合题，重点考查几何公式与函数定义的结合应用，解题核心是牢记圆柱表面积的计算方法，同时准确掌握二次函数的判定规则，计算时注意运算准确性即可得分。
【难度系数】
0.7
