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1. 下列函数是二次函数的是(
A.$y=2x^3+3x$
B.$y=\frac{1}{3x}$
C.$y=4x-3$
D.$y=\frac{1}{5}x^2+3$
D
)。A.$y=2x^3+3x$
B.$y=\frac{1}{3x}$
C.$y=4x-3$
D.$y=\frac{1}{5}x^2+3$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们只需用这三个标准逐一验证每个选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=2x^3+3x$中自变量$x$的最高次数为3，不符合最高次数为2的要求，不是二次函数；
选项B：$y=\frac{1}{3x}$的表达式是分式，不是整式，不符合要求，不是二次函数；
选项C：$y=4x-3$中自变量$x$的最高次数为1，是一次函数，不是二次函数；
选项D：$y=\frac{1}{5}x^2+3$满足二次函数的所有判定条件：是整式、自变量最高次数为2、二次项系数$\frac{1}{5}≠0$，属于二次函数。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数的定义 2.一次函数的定义 3.反比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查不同类型函数的区分，只要牢记二次函数的三个判定特征，就能快速准确选出答案。
【难度系数】
0.85
要判断一个函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们只需用这三个标准逐一验证每个选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=2x^3+3x$中自变量$x$的最高次数为3，不符合最高次数为2的要求，不是二次函数；
选项B：$y=\frac{1}{3x}$的表达式是分式，不是整式，不符合要求，不是二次函数；
选项C：$y=4x-3$中自变量$x$的最高次数为1，是一次函数，不是二次函数；
选项D：$y=\frac{1}{5}x^2+3$满足二次函数的所有判定条件：是整式、自变量最高次数为2、二次项系数$\frac{1}{5}≠0$，属于二次函数。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数的定义 2.一次函数的定义 3.反比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念类考题，主要考查不同类型函数的区分，只要牢记二次函数的三个判定特征，就能快速准确选出答案。
【难度系数】
0.85
2. 如果两个数中，一个比另一个大5，则这两个数的乘积y与较大的数n之间的关系式为
$y=n^2-5n$
。答案
$y=n^2-5n$
解析
【分析】
解题时先梳理题目中的数量关系：已知较大的数为n，两数的差是5，首先用含n的代数式表示出较小的数，再根据“两个数的乘积=较大数×较小数”的等量关系列出表达式，最后化简为最简形式即可。
【解析】
解：
∵ 较大的数为n，其中一个数比另一个大5
∴ 较小的数为 $ n-5 $
∵ 两个数的乘积为y
∴ $ y = n(n-5) $
展开化简可得：$ y = n^2 -5n $
【答案】
$ y=n^2-5n $
【知识点】
1. 列函数关系式
2. 整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对数量关系的理解和列式化简能力，解题的核心是正确用含n的式子表示出较小的数，再结合乘积的等量关系列式计算即可，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理题目中的数量关系：已知较大的数为n，两数的差是5，首先用含n的代数式表示出较小的数，再根据“两个数的乘积=较大数×较小数”的等量关系列出表达式，最后化简为最简形式即可。
【解析】
解：
∵ 较大的数为n，其中一个数比另一个大5
∴ 较小的数为 $ n-5 $
∵ 两个数的乘积为y
∴ $ y = n(n-5) $
展开化简可得：$ y = n^2 -5n $
【答案】
$ y=n^2-5n $
【知识点】
1. 列函数关系式
2. 整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对数量关系的理解和列式化简能力，解题的核心是正确用含n的式子表示出较小的数，再结合乘积的等量关系列式计算即可，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.9
3. 某公司10月的销售额为8万元，若该公司第四季度每个月销售额的平均增长率均为x，12月的销售额为y万元，那么y与x之间的关系式为
$y=8(1+x)^2$（或$y=8x^2+16x+8$）
。答案
$y=8(1+x)^2$(或$y=8x^2+16x+8$)
解析
【分析】
这是一道平均增长率的实际应用题，解题思路清晰：首先明确初始量是10月的销售额8万元，月平均增长率为x，按照“增长后量=增长前量×(1+增长率)”的逻辑，先求11月销售额，再以11月销售额为基数求12月销售额，最终得到y和x的关系式。要注意从10月到12月共经过2次增长，对应增长次数为2。
【解析】
1. 计算11月销售额：已知10月销售额为8万元，月平均增长率为x，因此11月销售额为$8(1+x)$万元。
2. 计算12月销售额：12月在11月销售额的基础上继续以增长率x增长，因此12月销售额$y=8(1+x) × (1+x) = 8(1+x)^2$。
3. 展开整理可得$y=8x^2+16x+8$，两种形式均符合要求。
【答案】
$y=8(1+x)^2$(或$y=8x^2+16x+8$)
【知识点】
平均增长率计算，列二次函数关系式，二次函数实际应用
【点评】
本题属于增长率类基础题型，解题关键是明确增长的基数和增长的次数，理清两次增长的逻辑即可正确列出关系式，不易出错。
【难度系数】
0.85
这是一道平均增长率的实际应用题，解题思路清晰：首先明确初始量是10月的销售额8万元，月平均增长率为x，按照“增长后量=增长前量×(1+增长率)”的逻辑，先求11月销售额，再以11月销售额为基数求12月销售额，最终得到y和x的关系式。要注意从10月到12月共经过2次增长，对应增长次数为2。
【解析】
1. 计算11月销售额：已知10月销售额为8万元，月平均增长率为x，因此11月销售额为$8(1+x)$万元。
2. 计算12月销售额：12月在11月销售额的基础上继续以增长率x增长，因此12月销售额$y=8(1+x) × (1+x) = 8(1+x)^2$。
3. 展开整理可得$y=8x^2+16x+8$，两种形式均符合要求。
【答案】
$y=8(1+x)^2$(或$y=8x^2+16x+8$)
【知识点】
平均增长率计算，列二次函数关系式，二次函数实际应用
【点评】
本题属于增长率类基础题型，解题关键是明确增长的基数和增长的次数，理清两次增长的逻辑即可正确列出关系式，不易出错。
【难度系数】
0.85
4.如图，矩形的长为4 cm，宽为3 cm，如果将这个矩形的长与宽都增加x cm，那么这个矩形的面积增加y cm²。求y与x之间的关系式。这个函数是二次函数吗？
答案
解:
∵矩形的长为 4 cm,宽为 3 cm,
∴矩形的面积为 $4×3=12(\mathrm{cm}^2)$。
∵矩形的长与宽都增加 x cm,
∴增加后矩形的面积为$(4+x)(3+x)=(x^2+7x+12)(\mathrm{cm}^2)$,
∴$y=x^2+7x+12-12=x^2+7x$,
∴y 与 x 之间的关系式为 $y=x^2+7x$,这个函数是二次函数。
∵矩形的长为 4 cm,宽为 3 cm,
∴矩形的面积为 $4×3=12(\mathrm{cm}^2)$。
∵矩形的长与宽都增加 x cm,
∴增加后矩形的面积为$(4+x)(3+x)=(x^2+7x+12)(\mathrm{cm}^2)$,
∴$y=x^2+7x+12-12=x^2+7x$,
∴y 与 x 之间的关系式为 $y=x^2+7x$,这个函数是二次函数。
解析
【分析】
解题时需先明确等量关系：面积增加量$y$ = 长宽增加后的矩形面积 - 原矩形面积。第一步利用矩形面积公式求出原矩形的面积；第二步表示出长、宽增加$x\,\mathrm{cm}$后的新矩形的长和宽，计算出新矩形的面积；第三步用新面积减去原面积，化简得到$y$与$x$的关系式；最后对照二次函数的定义判断该函数是否为二次函数。
【解析】
解：已知原矩形长为$4\,\mathrm{cm}$，宽为$3\,\mathrm{cm}$，
则原矩形的面积为：$4×3=12\,\mathrm{cm}^2$。
当长和宽都增加$x\,\mathrm{cm}$后，新矩形的长为$(4+x)\,\mathrm{cm}$，宽为$(3+x)\,\mathrm{cm}$，
新矩形的面积为：$(4+x)(3+x)=x^2+7x+12\,\mathrm{cm}^2$。
因此面积增加量$y$为：
$y=(x^2+7x+12)-12=x^2+7x$。
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）的函数是二次函数，该关系式中$a=1≠0$，符合二次函数的特征。
【答案】
$y$与$x$之间的关系式为$y=x^2+7x$，这个函数是二次函数。
【知识点】
矩形面积计算，二次函数定义，列函数关系式
【点评】
本题是基础题型，核心是抓住面积差的等量关系列式，同时考察对二次函数定义的识别，掌握基础公式和概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
解题时需先明确等量关系：面积增加量$y$ = 长宽增加后的矩形面积 - 原矩形面积。第一步利用矩形面积公式求出原矩形的面积；第二步表示出长、宽增加$x\,\mathrm{cm}$后的新矩形的长和宽，计算出新矩形的面积；第三步用新面积减去原面积，化简得到$y$与$x$的关系式；最后对照二次函数的定义判断该函数是否为二次函数。
【解析】
解：已知原矩形长为$4\,\mathrm{cm}$，宽为$3\,\mathrm{cm}$，
则原矩形的面积为：$4×3=12\,\mathrm{cm}^2$。
当长和宽都增加$x\,\mathrm{cm}$后，新矩形的长为$(4+x)\,\mathrm{cm}$，宽为$(3+x)\,\mathrm{cm}$，
新矩形的面积为：$(4+x)(3+x)=x^2+7x+12\,\mathrm{cm}^2$。
因此面积增加量$y$为：
$y=(x^2+7x+12)-12=x^2+7x$。
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，$a≠0$）的函数是二次函数，该关系式中$a=1≠0$，符合二次函数的特征。
【答案】
$y$与$x$之间的关系式为$y=x^2+7x$，这个函数是二次函数。
【知识点】
矩形面积计算，二次函数定义，列函数关系式
【点评】
本题是基础题型，核心是抓住面积差的等量关系列式，同时考察对二次函数定义的识别，掌握基础公式和概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
