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8. NEW 新考向·过程性学习 淇淇在计算$(-2)^3 - (-1)^{2024} + 12 ÷ (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$时，步骤如下.
解:原式$=-6 - (-2024) + 12 ÷ \frac{1}{2} -12 ÷ \frac{1}{3}$……①
$=-6 +2024 +24 -36$……②
$=2006$.……③
(1)淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是
(2)请给出正确的解题过程.
解:原式$=-6 - (-2024) + 12 ÷ \frac{1}{2} -12 ÷ \frac{1}{3}$……①
$=-6 +2024 +24 -36$……②
$=2006$.……③
(1)淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是
①
.(填序号)(2)请给出正确的解题过程.
答案
8. 解:(1)① (2)原式$=-8-1+12÷\frac{1}{6}=-9+72=63.$
解析
【分析】
(1) 要找首次出错的步骤，需逐一核对运算规则：首先乘方运算中负数的奇次幂是负数，(-1)的偶次幂为1；其次除法没有分配律，不能将被除数分别除以括号内的两个数，对照淇淇的步骤①可发现多处违背运算规则的错误，因此开始出错的是步骤①。
(2) 正确解题需遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算括号内的运算，接着算乘除，最后算加减，按该顺序逐步计算即可得到正确结果。
【解析】
(1) 对步骤①逐一核查：
① 乘方运算错误：$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，淇淇误算为$-6$；
② 乘方运算错误：$(-1)^{2024}=1$（偶数次幂为正），淇淇误算为$-2024$；
③ 运算律误用：除法没有分配律，$12÷(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$不能拆分为$12÷\frac{1}{2}-12÷\frac{1}{3}$。
因此开始出现错误的步骤是①。
(2) 正确解题过程：
先算乘方：$(-2)^3=-8$，$(-1)^{2024}=1$
再算括号内的运算：$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$
然后算除法：$12÷\frac{1}{6}=12×6=72$
最后算加减：$-8 - 1 + 72 = -9 + 72 = 63$
【答案】
(1) $\boxed{①}$
(2) 原式$=-8-1+12÷\frac{1}{6}=-9+72=\boxed{63}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 有理数混合运算顺序
3. 除法运算性质
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的规范，解题时要严格遵守运算顺序，注意乘方的符号判断，不可随意套用不存在的除法分配律，避免因运算规则误用导致失分。
【难度系数】
0.8
(1) 要找首次出错的步骤，需逐一核对运算规则：首先乘方运算中负数的奇次幂是负数，(-1)的偶次幂为1；其次除法没有分配律，不能将被除数分别除以括号内的两个数，对照淇淇的步骤①可发现多处违背运算规则的错误，因此开始出错的是步骤①。
(2) 正确解题需遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算括号内的运算，接着算乘除，最后算加减，按该顺序逐步计算即可得到正确结果。
【解析】
(1) 对步骤①逐一核查：
① 乘方运算错误：$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，淇淇误算为$-6$；
② 乘方运算错误：$(-1)^{2024}=1$（偶数次幂为正），淇淇误算为$-2024$；
③ 运算律误用：除法没有分配律，$12÷(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$不能拆分为$12÷\frac{1}{2}-12÷\frac{1}{3}$。
因此开始出现错误的步骤是①。
(2) 正确解题过程：
先算乘方：$(-2)^3=-8$，$(-1)^{2024}=1$
再算括号内的运算：$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=\frac{1}{6}$
然后算除法：$12÷\frac{1}{6}=12×6=72$
最后算加减：$-8 - 1 + 72 = -9 + 72 = 63$
【答案】
(1) $\boxed{①}$
(2) 原式$=-8-1+12÷\frac{1}{6}=-9+72=\boxed{63}$
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 有理数混合运算顺序
3. 除法运算性质
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的规范，解题时要严格遵守运算顺序，注意乘方的符号判断，不可随意套用不存在的除法分配律，避免因运算规则误用导致失分。
【难度系数】
0.8
9.(2024·甘肃)定义一种新运算*，规定运算法则为：$m*n=m^n - mn$（m，n均为整数，且$m≠0$）。例：$2*3=2^3 - 2×3=2$，则$(-2)*2=$
8
答案
9. 8
解析
【分析】
本题属于新定义运算题型，解题思路清晰明了：首先要准确理解新运算“*”的运算法则，即$m*n$的结果等于$m$的$n$次方减去$m$与$n$的乘积；接下来找到待求式$(-2)*2$中对应$m$、$n$的取值，其中$m=-2$，$n=2$；最后把$m$、$n$的取值代入运算法则，按照有理数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘法，最后算减法，注意符号的正确处理）计算出结果即可。
【解析】
根据题中给出的新运算法则$m*n=m^n - mn$，计算$(-2)*2$时，$m=-2$，$n=2$，代入公式计算：
1. 先计算乘方：$(-2)^2=4$
2. 再计算乘法：$(-2)×2=-4$
3. 最后计算减法：$4 - (-4)=4+4=8$
【答案】
8
【知识点】
新定义运算，有理数乘方运算，有理数混合运算
【点评】
本题侧重考查对新规则的理解应用能力和有理数运算的准确度，解题的关键是正确匹配新运算中的对应参数，严格按照有理数运算顺序计算，要特别注意负数的乘方符号、带负号的减法运算的符号处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义运算题型，解题思路清晰明了：首先要准确理解新运算“*”的运算法则，即$m*n$的结果等于$m$的$n$次方减去$m$与$n$的乘积；接下来找到待求式$(-2)*2$中对应$m$、$n$的取值，其中$m=-2$，$n=2$；最后把$m$、$n$的取值代入运算法则，按照有理数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘法，最后算减法，注意符号的正确处理）计算出结果即可。
【解析】
根据题中给出的新运算法则$m*n=m^n - mn$，计算$(-2)*2$时，$m=-2$，$n=2$，代入公式计算：
1. 先计算乘方：$(-2)^2=4$
2. 再计算乘法：$(-2)×2=-4$
3. 最后计算减法：$4 - (-4)=4+4=8$
【答案】
8
【知识点】
新定义运算，有理数乘方运算，有理数混合运算
【点评】
本题侧重考查对新规则的理解应用能力和有理数运算的准确度，解题的关键是正确匹配新运算中的对应参数，严格按照有理数运算顺序计算，要特别注意负数的乘方符号、带负号的减法运算的符号处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
10. 数学课上，老师给同学们编了如图所示的计算程序，当输入x的值是1时，输出y的值是
4
。答案
10. 4
解析
【分析】
解题时首先要明确程序的运算规则：输入x后，先计算$2x^2-4$的值，若该值大于0则直接输出，若不大于0，就将计算结果作为新的x值再次代入计算，直到结果大于0为止。首先将x=1代入计算，判断结果是否符合输出条件，若不符合就循环代入，最终得到符合条件的输出值。
【解析】
第一步：当输入$x=1$时，按照运算规则计算：
$2×1^2 -4 = 2×1 -4 = 2-4 = -2$
因为$-2＜0$，不满足输出条件，需将-2作为新的x值重新计算。
第二步：当输入$x=-2$时，计算：
$2×(-2)^2 -4 = 2×4 -4 = 8-4 = 4$
因为$4＞0$，满足输出条件，所以输出y的值为4。
【答案】
4
【知识点】
有理数混合运算，程序流程图运算，代数式求值
【点评】
本题核心是理解程序的循环运算逻辑，解题时要注意运算顺序，同时计算负数的平方时注意符号不要出错，遇到不满足输出条件的情况要记得循环代入计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确程序的运算规则：输入x后，先计算$2x^2-4$的值，若该值大于0则直接输出，若不大于0，就将计算结果作为新的x值再次代入计算，直到结果大于0为止。首先将x=1代入计算，判断结果是否符合输出条件，若不符合就循环代入，最终得到符合条件的输出值。
【解析】
第一步：当输入$x=1$时，按照运算规则计算：
$2×1^2 -4 = 2×1 -4 = 2-4 = -2$
因为$-2＜0$，不满足输出条件，需将-2作为新的x值重新计算。
第二步：当输入$x=-2$时，计算：
$2×(-2)^2 -4 = 2×4 -4 = 8-4 = 4$
因为$4＞0$，满足输出条件，所以输出y的值为4。
【答案】
4
【知识点】
有理数混合运算，程序流程图运算，代数式求值
【点评】
本题核心是理解程序的循环运算逻辑，解题时要注意运算顺序，同时计算负数的平方时注意符号不要出错，遇到不满足输出条件的情况要记得循环代入计算。
【难度系数】
0.7
11.计算：
(1)$2×(-1)^3 -4÷(-\dfrac{1}{2})×3$.
(2)$[(-1)^{2025}×\left|-\dfrac{3}{2}\right| + (-0.5)]÷(-\dfrac{1}{3})$.
(1)$2×(-1)^3 -4÷(-\dfrac{1}{2})×3$.
(2)$[(-1)^{2025}×\left|-\dfrac{3}{2}\right| + (-0.5)]÷(-\dfrac{1}{3})$.
答案
11. 解:(1)原式$=2×(-1)+4×2×3=-2+24=22.$
(2)原式$=(-1×\frac{3}{2}-\frac{1}{2})×(-3)=-2×(-3)=6.$
(2)原式$=(-1×\frac{3}{2}-\frac{1}{2})×(-3)=-2×(-3)=6.$
解析
【分析】
有理数混合运算遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的顺序，计算时需注意负数幂的符号规律（奇次幂为负，偶次幂为正）、绝对值的非负性，以及除法变乘法的符号处理。
针对第(1)题：第一步先计算乘方$(-1)^3$，第二步依次计算乘法、除法运算，最后计算加法得到结果；
针对第(2)题：第一步先计算括号内的乘方$(-1)^{2025}$和绝对值$\left|-\dfrac{3}{2}\right|$，第二步计算括号内的乘法、加减运算，最后将除法转化为乘法计算最终结果。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法计算乘除部分，最后算加减：
原式$=2×(-1) - 4÷(-\dfrac{1}{2})×3$
$=-2 + 4×2×3$
$=-2 + 24$
$=22$
(2) 先计算括号内的乘方和绝对值，再计算括号内的加减，最后将除法转化为乘法计算：
原式$=[(-1)×\dfrac{3}{2} + (-\dfrac{1}{2})]÷(-\dfrac{1}{3})$
$=(-\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2})×(-3)$
$=(-2)×(-3)$
$=6$
【答案】
(1)$22$；(2)$6$
【知识点】
有理数混合运算；乘方的运算；绝对值的化简
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，重点考查运算顺序的掌握和符号的判断能力，计算时只要严格遵循运算规则，仔细核对符号，就能顺利得出正确结果。
【难度系数】
0.8
有理数混合运算遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的顺序，计算时需注意负数幂的符号规律（奇次幂为负，偶次幂为正）、绝对值的非负性，以及除法变乘法的符号处理。
针对第(1)题：第一步先计算乘方$(-1)^3$，第二步依次计算乘法、除法运算，最后计算加法得到结果；
针对第(2)题：第一步先计算括号内的乘方$(-1)^{2025}$和绝对值$\left|-\dfrac{3}{2}\right|$，第二步计算括号内的乘法、加减运算，最后将除法转化为乘法计算最终结果。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法计算乘除部分，最后算加减：
原式$=2×(-1) - 4÷(-\dfrac{1}{2})×3$
$=-2 + 4×2×3$
$=-2 + 24$
$=22$
(2) 先计算括号内的乘方和绝对值，再计算括号内的加减，最后将除法转化为乘法计算：
原式$=[(-1)×\dfrac{3}{2} + (-\dfrac{1}{2})]÷(-\dfrac{1}{3})$
$=(-\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2})×(-3)$
$=(-2)×(-3)$
$=6$
【答案】
(1)$22$；(2)$6$
【知识点】
有理数混合运算；乘方的运算；绝对值的化简
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，重点考查运算顺序的掌握和符号的判断能力，计算时只要严格遵循运算规则，仔细核对符号，就能顺利得出正确结果。
【难度系数】
0.8
12.已知$a,b,c$都是有理数，$a^2=9$，$|b|=4$，$c^3=27$，且$ab＜0$，$bc＞0$，求式子$ab - bc + ca$的值.
答案
12. 解:由题意,得$a=±3,b=±4,c=3.∵ab＜0,bc＞0,∴c=3,b=4,a=-3.∴原式=-3×4-4×3+3×(-3)=-12-12-9=-33.$
解析
【分析】
解题分三步思考：第一步，根据有理数乘方、绝对值的性质，分别求出a、b、c的所有可能取值；第二步，根据ab＜0（说明a、b异号）、bc＞0（说明b、c同号）的符号约束，筛选出a、b、c的唯一确定值；第三步，将确定的字母值代入待求代数式，按照有理数混合运算规则计算出最终结果。
【解析】
解：由题意可得：
∵$a^2=9$，
∴$a=±3$
∵$|b|=4$，
∴$b=±4$
∵$c^3=27$，
∴$c=3$
又
∵$ab＜0$，$bc＞0$，
∴b与c同号，可得$b=4$；a与b异号，可得$a=-3$。
将$a=-3$，$b=4$，$c=3$代入$ab - bc + ca$得：
原式$=(-3)×4 - 4×3 + 3×(-3)$
$=-12 - 12 - 9$
$=-33$
【答案】
$-33$
【知识点】
绝对值的性质；有理数乘方运算；有理数混合运算
【点评】
本题重点考查有理数基础性质的应用，解题核心是根据符号限制条件准确锁定各字母的取值，计算过程中要特别注意运算符号的判断，避免因符号疏漏失分。
【难度系数】
0.8
解题分三步思考：第一步，根据有理数乘方、绝对值的性质，分别求出a、b、c的所有可能取值；第二步，根据ab＜0（说明a、b异号）、bc＞0（说明b、c同号）的符号约束，筛选出a、b、c的唯一确定值；第三步，将确定的字母值代入待求代数式，按照有理数混合运算规则计算出最终结果。
【解析】
解：由题意可得：
∵$a^2=9$，
∴$a=±3$
∵$|b|=4$，
∴$b=±4$
∵$c^3=27$，
∴$c=3$
又
∵$ab＜0$，$bc＞0$，
∴b与c同号，可得$b=4$；a与b异号，可得$a=-3$。
将$a=-3$，$b=4$，$c=3$代入$ab - bc + ca$得：
原式$=(-3)×4 - 4×3 + 3×(-3)$
$=-12 - 12 - 9$
$=-33$
【答案】
$-33$
【知识点】
绝对值的性质；有理数乘方运算；有理数混合运算
【点评】
本题重点考查有理数基础性质的应用，解题核心是根据符号限制条件准确锁定各字母的取值，计算过程中要特别注意运算符号的判断，避免因符号疏漏失分。
【难度系数】
0.8
