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12. 兰兰在解方程$2x=3x$时，在方程两边都除以$x$，得到$2=3$，她错在什么地方？求出方程的正确解。
答案
12. 当x等于0时,两边同时除以x无意义;$x=0$
解析
【分析】
首先回忆等式的基本性质2的使用要求：等式两边同时乘或除以的数必须不为0，否则等式不成立，且0本身不能作除数。兰兰直接在方程两边除以含未知数的x，没有考虑x可能为0的情况，这就是错误的根源。求解正确解时，要通过移项、合并同类项的方式计算，避免直接除以含未知数的式子，防止出现错误。
【解析】
错误原因：根据等式的基本性质，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。本题中x的取值可能为0，0不能作为除数，因此兰兰在方程两边同时除以x的操作不符合等式的基本性质，是错误的。
正确求解步骤：
对$2x=3x$移项，得：
$2x-3x=0$
合并同类项，得：
$-x=0$
系数化为1，得：
$x=0$
【答案】
当x等于0时，两边同时除以x无意义；方程的正确解为$x=0$
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程的解法；除数不为0的要求
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，重点考查对等式基本性质2适用条件的掌握，做题时要注意不能直接在方程两边除以含有未知数的整式，避免因忽略整式为0的情况得到错误结论。
【难度系数】
0.6
首先回忆等式的基本性质2的使用要求：等式两边同时乘或除以的数必须不为0，否则等式不成立，且0本身不能作除数。兰兰直接在方程两边除以含未知数的x，没有考虑x可能为0的情况，这就是错误的根源。求解正确解时，要通过移项、合并同类项的方式计算，避免直接除以含未知数的式子，防止出现错误。
【解析】
错误原因：根据等式的基本性质，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。本题中x的取值可能为0，0不能作为除数，因此兰兰在方程两边同时除以x的操作不符合等式的基本性质，是错误的。
正确求解步骤：
对$2x=3x$移项，得：
$2x-3x=0$
合并同类项，得：
$-x=0$
系数化为1，得：
$x=0$
【答案】
当x等于0时，两边同时除以x无意义；方程的正确解为$x=0$
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程的解法；除数不为0的要求
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，重点考查对等式基本性质2适用条件的掌握，做题时要注意不能直接在方程两边除以含有未知数的整式，避免因忽略整式为0的情况得到错误结论。
【难度系数】
0.6
13. 如图所示，天平上放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的质量是一个香蕉的质量的（
A.$\frac{3}{2}$倍
B.$\frac{4}{3}$倍
C.2倍
D.3倍
A
）A.$\frac{3}{2}$倍
B.$\frac{4}{3}$倍
C.2倍
D.3倍
答案
13.A
解析
【分析】
解题时首先依据“天平平衡时左右两边总质量相等”的原理，先设出苹果、香蕉、单个砝码的质量，再根据两个天平的平衡关系分别列出等式，最后通过等量代换消去砝码的质量，即可求出苹果质量和香蕉质量的倍数关系。
【解析】
设一个苹果的质量为$x$，一个砝码的质量为$y$，一个香蕉的质量为$z$。
由第一个天平平衡可得：$2x = 4y$，根据等式的基本性质，两边同时除以2，得$x = 2y$，变形得$y=\frac{1}{2}x$；
由第二个天平平衡可得：$3z = 2y + x$；
将$y=\frac{1}{2}x$代入上式，得$3z = 2×\frac{1}{2}x + x$，化简右边得$3z = 2x$，再将等式两边同时除以$3$，得$z=\frac{2}{3}x$，即$x=\frac{3}{2}z$。
因此一个苹果的质量是一个香蕉质量的$\frac{3}{2}$倍。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质、等量代换
【点评】
本题结合天平平衡的生活场景考查等式性质的实际应用，解题的核心是从天平平衡中提取等量关系，通过消去中间量（砝码质量）得到所求量的关系，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先依据“天平平衡时左右两边总质量相等”的原理，先设出苹果、香蕉、单个砝码的质量，再根据两个天平的平衡关系分别列出等式，最后通过等量代换消去砝码的质量，即可求出苹果质量和香蕉质量的倍数关系。
【解析】
设一个苹果的质量为$x$，一个砝码的质量为$y$，一个香蕉的质量为$z$。
由第一个天平平衡可得：$2x = 4y$，根据等式的基本性质，两边同时除以2，得$x = 2y$，变形得$y=\frac{1}{2}x$；
由第二个天平平衡可得：$3z = 2y + x$；
将$y=\frac{1}{2}x$代入上式，得$3z = 2×\frac{1}{2}x + x$，化简右边得$3z = 2x$，再将等式两边同时除以$3$，得$z=\frac{2}{3}x$，即$x=\frac{3}{2}z$。
因此一个苹果的质量是一个香蕉质量的$\frac{3}{2}$倍。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质、等量代换
【点评】
本题结合天平平衡的生活场景考查等式性质的实际应用，解题的核心是从天平平衡中提取等量关系，通过消去中间量（砝码质量）得到所求量的关系，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
14. 小明和小慧在某文具店购买文具。小明买了5支铅笔和3块橡皮共花费3.4元，小慧买了3支铅笔和5块橡皮共花费3元，则购买1支铅笔和1块橡皮共需要多少元？
答案
14. 0.8元
解析
【分析】
我们可以先设1支铅笔的价格为x元，1块橡皮的价格为y元，根据小明和小慧的消费情况分别列出方程。观察两个方程的特点，发现把两个方程左右两边分别相加后，左边刚好是8支铅笔和8块橡皮的总费用，也就是8(x+y)，再结合等式的基本性质，两边同时除以8就能直接求出1支铅笔加1块橡皮的总费用，不需要分别算出x和y的值，可简化计算步骤。
【解析】
解：设购买1支铅笔需要x元，购买1块橡皮需要y元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases} 5x + 3y = 3.4 \quad ① \\ 3x + 5y = 3 \quad \quad ② \end{cases}$
根据等式的基本性质，将①和②左右两边分别相加，得：
$5x + 3y + 3x + 5y = 3.4 + 3$
合并同类项得：$8x + 8y = 6.4$
提取公因式得：$8(x + y) = 6.4$
等式两边同时除以8，得：$x + y = 0.8$
即购买1支铅笔和1块橡皮共需要0.8元。
【答案】
0.8元
【知识点】
等式的基本性质；二元一次方程组的应用；整体代入求值
【点评】
本题考查方程在实际问题中的应用，解题时可灵活运用整体思想，不需要分别求出两种文具的单价，通过将两个方程相加直接求出目标值，能有效简化运算过程。
【难度系数】
0.8
我们可以先设1支铅笔的价格为x元，1块橡皮的价格为y元，根据小明和小慧的消费情况分别列出方程。观察两个方程的特点，发现把两个方程左右两边分别相加后，左边刚好是8支铅笔和8块橡皮的总费用，也就是8(x+y)，再结合等式的基本性质，两边同时除以8就能直接求出1支铅笔加1块橡皮的总费用，不需要分别算出x和y的值，可简化计算步骤。
【解析】
解：设购买1支铅笔需要x元，购买1块橡皮需要y元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases} 5x + 3y = 3.4 \quad ① \\ 3x + 5y = 3 \quad \quad ② \end{cases}$
根据等式的基本性质，将①和②左右两边分别相加，得：
$5x + 3y + 3x + 5y = 3.4 + 3$
合并同类项得：$8x + 8y = 6.4$
提取公因式得：$8(x + y) = 6.4$
等式两边同时除以8，得：$x + y = 0.8$
即购买1支铅笔和1块橡皮共需要0.8元。
【答案】
0.8元
【知识点】
等式的基本性质；二元一次方程组的应用；整体代入求值
【点评】
本题考查方程在实际问题中的应用，解题时可灵活运用整体思想，不需要分别求出两种文具的单价，通过将两个方程相加直接求出目标值，能有效简化运算过程。
【难度系数】
0.8
15.已知$x+y=4$，$2x-2y=4$，请利用等式的性质求出$x$和$y$的值。
答案
15. $x=3,y=1$
解析
【分析】
解题时首先观察给出的两个等式，发现第二个等式的各项系数都有公因数2，可先利用等式的性质2对其化简，得到x-y=2；此时我们得到了x与y的和、差两个等式，接下来根据等式的性质1，将两个等式左右两边分别相加，即可消去未知数y，得到只含x的等式，求出x的值后，再将x代入任意一个原等式，即可求出y的值，每一步变形都要严格遵循等式的基本性质。
【解析】
解：记$x+y=4$为①式，$2x-2y=4$为②式。
1. 根据等式的性质2，将②式两边同时除以2，可得：$x - y = 2$，记为③式；
2. 根据等式的性质1，将①式和③式的左右两边分别相加，得：
$(x+y)+(x-y) = 4 + 2$
化简后得$2x = 6$；
3. 再次根据等式的性质2，将$2x=6$两边同时除以2，解得$x=3$；
4. 将$x=3$代入①式，得$3 + y = 4$，根据等式的性质1，两边同时减3，解得$y=1$。
【答案】
$x=3,y=1$
【知识点】
等式的基本性质、加减消元法、代入求值
【点评】
本题属于等式基本性质的基础应用类题目，通过先化简方程再消元的思路可以快速求解，解题时要注意每一步变形都要符合等式性质的要求，避免因违规变形或计算失误出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察给出的两个等式，发现第二个等式的各项系数都有公因数2，可先利用等式的性质2对其化简，得到x-y=2；此时我们得到了x与y的和、差两个等式，接下来根据等式的性质1，将两个等式左右两边分别相加，即可消去未知数y，得到只含x的等式，求出x的值后，再将x代入任意一个原等式，即可求出y的值，每一步变形都要严格遵循等式的基本性质。
【解析】
解：记$x+y=4$为①式，$2x-2y=4$为②式。
1. 根据等式的性质2，将②式两边同时除以2，可得：$x - y = 2$，记为③式；
2. 根据等式的性质1，将①式和③式的左右两边分别相加，得：
$(x+y)+(x-y) = 4 + 2$
化简后得$2x = 6$；
3. 再次根据等式的性质2，将$2x=6$两边同时除以2，解得$x=3$；
4. 将$x=3$代入①式，得$3 + y = 4$，根据等式的性质1，两边同时减3，解得$y=1$。
【答案】
$x=3,y=1$
【知识点】
等式的基本性质、加减消元法、代入求值
【点评】
本题属于等式基本性质的基础应用类题目，通过先化简方程再消元的思路可以快速求解，解题时要注意每一步变形都要符合等式性质的要求，避免因违规变形或计算失误出错。
【难度系数】
0.8
