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1. 如图，正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，点P在$\overset{\frown}{AF}$上，Q是$\overset{\frown}{DE}$的中点，则$∠ CPQ$的度数为(
A.$30°$
B.$36°$
C.$45°$
D.$60°$
C
).A.$30°$
B.$36°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决本题，首先利用正六边形内接于圆的性质，得到各段等弧的度数；再结合Q是弧DE中点的条件，算出∠CPQ所对的弧CQ的度数；最后根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，即可求出∠CPQ的度数。
【解析】
解：
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴正六边形各边所对的劣弧度数相等，每段弧的度数为$360°÷6=60°$，
即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=60°$。
∵Q是$\overset{\frown}{DE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DQ}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{DE}=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∴$\overset{\frown}{CQ}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DQ}=60°+30°=90°$。
∵$∠ CPQ$是$\overset{\frown}{CQ}$所对的圆周角，
∴根据圆周角定理，$∠ CPQ=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{CQ}$的度数$=\frac{1}{2}×90°=45°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形和圆，圆周角定理
【点评】
本题解题的核心是把圆周角的求解转化为对应弧的度数计算，熟练掌握正多边形的弧的性质和圆周角定理就能快速解答，是正多边形与圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先利用正六边形内接于圆的性质，得到各段等弧的度数；再结合Q是弧DE中点的条件，算出∠CPQ所对的弧CQ的度数；最后根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，即可求出∠CPQ的度数。
【解析】
解：
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴正六边形各边所对的劣弧度数相等，每段弧的度数为$360°÷6=60°$，
即$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=60°$。
∵Q是$\overset{\frown}{DE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{DQ}=\frac{1}{2}\overset{\frown}{DE}=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∴$\overset{\frown}{CQ}=\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DQ}=60°+30°=90°$。
∵$∠ CPQ$是$\overset{\frown}{CQ}$所对的圆周角，
∴根据圆周角定理，$∠ CPQ=\frac{1}{2}×\overset{\frown}{CQ}$的度数$=\frac{1}{2}×90°=45°$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形和圆，圆周角定理
【点评】
本题解题的核心是把圆周角的求解转化为对应弧的度数计算，熟练掌握正多边形的弧的性质和圆周角定理就能快速解答，是正多边形与圆章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
2. 如图，MN是⊙O的直径.若∠A＝10°，∠PMQ＝40°，以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是
六
边形.答案
2. 六
解析
【分析】
要解决本题，核心是先求出以PM为边的圆内接正多边形的中心角（即圆心角∠POM的度数），再根据正多边形边数与中心角的关系计算边数。解题步骤可分为三步：首先利用圆周角定理由已知的∠PMQ求出弧PQ的度数；再结合三角形外角性质推导角的关系，得到弧QN的度数表达式；最后利用半圆总度数为180°列方程求解∠POM，进而算出正多边形边数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半。
∠PMQ是弧PQ所对的圆周角，因此弧PQ的度数为：$2×∠ PMQ=2×40°=80°$。
2. 设圆心角$∠ POM=x$，则弧PM的度数为$x$。
∠PQM是弧PM所对的圆周角，因此$∠ PQM=\frac{1}{2}x$。
3. 由三角形外角性质：三角形的外角等于不相邻两个内角的和。
∠PQM是$△ AQM$的外角，因此$∠ PQM=∠ A+∠ AMQ$，代入$∠ A=10°$可得：
$∠ AMQ=\frac{1}{2}x-10°$。
4. ∠AMQ是弧QN所对的圆周角，因此弧QN的度数为：$2×∠ AMQ=2×(\frac{1}{2}x-10°)=x-20°$。
5. 因为MN是⊙O的直径，半圆的度数为$180°$，因此弧PM+弧PQ+弧QN=$180°$，代入得：
$x+80°+(x-20°)=180°$
解得$x=60°$，即$∠ POM=60°$。
6. 正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，代入中心角$60°$得：
$n=\frac{360°}{60°}=6$。
【答案】
六
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，正多边形与圆
【点评】
本题是圆与正多边形的综合题，解题关键是梳理清楚角与对应弧的数量关系，结合方程思想求解圆心角，需要熟练掌握圆周角相关性质和正多边形中心角与边数的关系。
【难度系数】
0.6
要解决本题，核心是先求出以PM为边的圆内接正多边形的中心角（即圆心角∠POM的度数），再根据正多边形边数与中心角的关系计算边数。解题步骤可分为三步：首先利用圆周角定理由已知的∠PMQ求出弧PQ的度数；再结合三角形外角性质推导角的关系，得到弧QN的度数表达式；最后利用半圆总度数为180°列方程求解∠POM，进而算出正多边形边数。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半。
∠PMQ是弧PQ所对的圆周角，因此弧PQ的度数为：$2×∠ PMQ=2×40°=80°$。
2. 设圆心角$∠ POM=x$，则弧PM的度数为$x$。
∠PQM是弧PM所对的圆周角，因此$∠ PQM=\frac{1}{2}x$。
3. 由三角形外角性质：三角形的外角等于不相邻两个内角的和。
∠PQM是$△ AQM$的外角，因此$∠ PQM=∠ A+∠ AMQ$，代入$∠ A=10°$可得：
$∠ AMQ=\frac{1}{2}x-10°$。
4. ∠AMQ是弧QN所对的圆周角，因此弧QN的度数为：$2×∠ AMQ=2×(\frac{1}{2}x-10°)=x-20°$。
5. 因为MN是⊙O的直径，半圆的度数为$180°$，因此弧PM+弧PQ+弧QN=$180°$，代入得：
$x+80°+(x-20°)=180°$
解得$x=60°$，即$∠ POM=60°$。
6. 正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，代入中心角$60°$得：
$n=\frac{360°}{60°}=6$。
【答案】
六
【知识点】
圆周角定理，三角形外角性质，正多边形与圆
【点评】
本题是圆与正多边形的综合题，解题关键是梳理清楚角与对应弧的数量关系，结合方程思想求解圆心角，需要熟练掌握圆周角相关性质和正多边形中心角与边数的关系。
【难度系数】
0.6
3. 如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH. 若$△ ADE$的面积为10，则正八边形ABCDEFGH的面积为
40
.答案
3. 40
解析
【分析】
首先，正八边形内接于圆，8个顶点等分圆周，因此相邻顶点对应的中心角为$360°÷8=45°$。观察图形可知A到E间隔4个顶点，对应的圆心角为$180°$，因此AE是外接圆的直径，圆心O是AE的中点。接下来我们将$△ ADE$的面积和正八边形的组成联系起来：正八边形可以拆分为8个全等的、以圆心为顶点的等腰三角形，每个等腰三角形的顶角都是$45°$，和$△ DOE$（O是圆心，连接OD、OE得到的三角形）完全相同。过D作AE的垂线DM，DM既是$△ ADE$的高，也是$△ DOE$的高，$△ ADE$的底AE是$△ DOE$的底OE的2倍，高相等，因此$△ ADE$的面积是$△ DOE$的2倍，先算出单个中心等腰三角形的面积，再乘8就得到正八边形的总面积。
【解析】
解：设正八边形ABCDEFGH的外接圆圆心为O，连接OD、OE，过点D作$DM⊥ AE$于点M。
1. 计算中心角：正八边形内接于圆，8个顶点等分圆周，因此每个中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，即$∠ DOE=45°$。
2. 证明AE为直径：点A到点E间隔4条边，对应弧AE的圆心角为$4×45°=180°$，因此AE是圆的直径，O为AE中点，$AE=2OE$。
3. 推导面积关系：
DM是$△ ADE$和$△ DOE$的公共高，
已知$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}× AE × DM = 10$，
$S_{△ DOE}=\frac{1}{2}× OE × DM$，
因为$AE=2OE$，所以$S_{△ ADE}=2S_{△ DOE}$，
解得$S_{△ DOE}=10÷2=5$。
4. 计算正八边形面积：正八边形可以分割为8个和$△ DOE$全等的等腰三角形，因此总面积为$8×5=40$。
【答案】
40
【知识点】
正多边形与圆，三角形面积计算，正多边形性质
【点评】
本题解题核心是利用正多边形与外接圆的关系，将正八边形拆分为全等的中心三角形，通过底的倍数关系推导已知三角形和中心三角形的面积关系，侧重考查图形分割和转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
首先，正八边形内接于圆，8个顶点等分圆周，因此相邻顶点对应的中心角为$360°÷8=45°$。观察图形可知A到E间隔4个顶点，对应的圆心角为$180°$，因此AE是外接圆的直径，圆心O是AE的中点。接下来我们将$△ ADE$的面积和正八边形的组成联系起来：正八边形可以拆分为8个全等的、以圆心为顶点的等腰三角形，每个等腰三角形的顶角都是$45°$，和$△ DOE$（O是圆心，连接OD、OE得到的三角形）完全相同。过D作AE的垂线DM，DM既是$△ ADE$的高，也是$△ DOE$的高，$△ ADE$的底AE是$△ DOE$的底OE的2倍，高相等，因此$△ ADE$的面积是$△ DOE$的2倍，先算出单个中心等腰三角形的面积，再乘8就得到正八边形的总面积。
【解析】
解：设正八边形ABCDEFGH的外接圆圆心为O，连接OD、OE，过点D作$DM⊥ AE$于点M。
1. 计算中心角：正八边形内接于圆，8个顶点等分圆周，因此每个中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，即$∠ DOE=45°$。
2. 证明AE为直径：点A到点E间隔4条边，对应弧AE的圆心角为$4×45°=180°$，因此AE是圆的直径，O为AE中点，$AE=2OE$。
3. 推导面积关系：
DM是$△ ADE$和$△ DOE$的公共高，
已知$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}× AE × DM = 10$，
$S_{△ DOE}=\frac{1}{2}× OE × DM$，
因为$AE=2OE$，所以$S_{△ ADE}=2S_{△ DOE}$，
解得$S_{△ DOE}=10÷2=5$。
4. 计算正八边形面积：正八边形可以分割为8个和$△ DOE$全等的等腰三角形，因此总面积为$8×5=40$。
【答案】
40
【知识点】
正多边形与圆，三角形面积计算，正多边形性质
【点评】
本题解题核心是利用正多边形与外接圆的关系，将正八边形拆分为全等的中心三角形，通过底的倍数关系推导已知三角形和中心三角形的面积关系，侧重考查图形分割和转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
4. 一组有规律的正多边形如图所示，各正多边形中的阴影部分面积均为a. 按此规律，则第n个正多边形的面积为
$\frac{n+1}{2}a$
. 答案
4. $\frac{n+1}{2}a$
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题思路如下：首先从给出的前几个简单图形入手，先分析每个正多边形的总面积和已知阴影面积a的关系：第1个图形是正方形，整体都是阴影，面积等于a；第2个正六边形分割后可发现，除中间阴影a外，上下部分的面积和为$\frac{a}{2}$，总面积为$\frac{3a}{2}$；第3个正八边形除阴影a外，上下部分面积和为a，总面积为2a。接下来把得到的面积和对应序号n关联观察：n=1时面积为$\frac{1+1}{2}a$，n=2时为$\frac{2+1}{2}a$，n=3时为$\frac{3+1}{2}a$，可发现分子为序号n加1，分母恒为2，由此推导通用规律即可。
【解析】
观察图形可得：
第1个正多边形的面积$S_1=a=\frac{1+1}{2}a$；
第2个正多边形的面积$S_2=a+\frac{a}{2}=\frac{3}{2}a=\frac{2+1}{2}a$；
第3个正多边形的面积$S_3=a+a=2a=\frac{3+1}{2}a$；
第4个正多边形的面积$S_4=a+\frac{3a}{2}=\frac{5}{2}a=\frac{4+1}{2}a$；
……
按此规律，第n个正多边形的面积为$\frac{n+1}{2}a$。
【答案】
$\frac{n+1}{2}a$
【知识点】
图形规律探究；正多边形的性质；列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，重点考查学生观察图形特征、归纳总结数值规律的能力，解题核心是通过前几个特殊图形的面积关系，推导得出符合所有情况的通用表达式。
【难度系数】
0.7
这是一道图形规律探究题，解题思路如下：首先从给出的前几个简单图形入手，先分析每个正多边形的总面积和已知阴影面积a的关系：第1个图形是正方形，整体都是阴影，面积等于a；第2个正六边形分割后可发现，除中间阴影a外，上下部分的面积和为$\frac{a}{2}$，总面积为$\frac{3a}{2}$；第3个正八边形除阴影a外，上下部分面积和为a，总面积为2a。接下来把得到的面积和对应序号n关联观察：n=1时面积为$\frac{1+1}{2}a$，n=2时为$\frac{2+1}{2}a$，n=3时为$\frac{3+1}{2}a$，可发现分子为序号n加1，分母恒为2，由此推导通用规律即可。
【解析】
观察图形可得：
第1个正多边形的面积$S_1=a=\frac{1+1}{2}a$；
第2个正多边形的面积$S_2=a+\frac{a}{2}=\frac{3}{2}a=\frac{2+1}{2}a$；
第3个正多边形的面积$S_3=a+a=2a=\frac{3+1}{2}a$；
第4个正多边形的面积$S_4=a+\frac{3a}{2}=\frac{5}{2}a=\frac{4+1}{2}a$；
……
按此规律，第n个正多边形的面积为$\frac{n+1}{2}a$。
【答案】
$\frac{n+1}{2}a$
【知识点】
图形规律探究；正多边形的性质；列代数式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，重点考查学生观察图形特征、归纳总结数值规律的能力，解题核心是通过前几个特殊图形的面积关系，推导得出符合所有情况的通用表达式。
【难度系数】
0.7
1. 同圆的内接正三角形与内接正六边形面积的比是(
A.$1:\sqrt{2}$
B.$1:2$
C.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D.$1:3$
B
).A.$1:\sqrt{2}$
B.$1:2$
C.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
D.$1:3$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先抓住“同圆”的条件，可知正三角形和正六边形的外接圆半径相等，因此可以设圆的半径为R，分别计算两个正多边形的面积后求比值即可。思考步骤如下：1. 利用正多边形和圆的关系，将正多边形拆分为若干个以圆心为顶点、半径为腰的等腰三角形；2. 分别计算拆分后的小三角形面积，求和得到正多边形的总面积；3. 代入半径R约分化简得到面积比。
【解析】
设该圆的半径为$ R $：
1. 计算圆内接正三角形的面积$ S_3 $：
圆内接正三角形的中心角为$ \frac{360°}{3}=120° $，过圆心作正三角形任意一边的垂线，结合垂径定理和特殊角的三角函数可得：
正三角形的边长$ a_3=2R·\sin60°=\sqrt{3}R $，正三角形的高$ h_3=R + R·\cos60°=\frac{3}{2}R $
因此$ S_3=\frac{1}{2}× a_3× h_3=\frac{1}{2}×\sqrt{3}R×\frac{3}{2}R=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 $
2. 计算圆内接正六边形的面积$ S_6 $：
圆内接正六边形的中心角为$ \frac{360°}{6}=60° $，因此正六边形可分割为6个边长为$ R $的全等等边三角形，单个等边三角形的面积为$ \frac{\sqrt{3}}{4}R^2 $
因此$ S_6=6×\frac{\sqrt{3}}{4}R^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2 $
3. 计算面积比：
$ S_3:S_6=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2:\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2=1:2 $
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆的性质，正多边形面积计算，特殊角的三角函数值
【点评】
本题核心是利用同圆半径相等的条件，通过拆分正多边形为多个等腰三角形简化面积计算，该方法是求解正多边形面积的通用思路，掌握后可快速解决同类正多边形边长、面积、周长比的问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住“同圆”的条件，可知正三角形和正六边形的外接圆半径相等，因此可以设圆的半径为R，分别计算两个正多边形的面积后求比值即可。思考步骤如下：1. 利用正多边形和圆的关系，将正多边形拆分为若干个以圆心为顶点、半径为腰的等腰三角形；2. 分别计算拆分后的小三角形面积，求和得到正多边形的总面积；3. 代入半径R约分化简得到面积比。
【解析】
设该圆的半径为$ R $：
1. 计算圆内接正三角形的面积$ S_3 $：
圆内接正三角形的中心角为$ \frac{360°}{3}=120° $，过圆心作正三角形任意一边的垂线，结合垂径定理和特殊角的三角函数可得：
正三角形的边长$ a_3=2R·\sin60°=\sqrt{3}R $，正三角形的高$ h_3=R + R·\cos60°=\frac{3}{2}R $
因此$ S_3=\frac{1}{2}× a_3× h_3=\frac{1}{2}×\sqrt{3}R×\frac{3}{2}R=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 $
2. 计算圆内接正六边形的面积$ S_6 $：
圆内接正六边形的中心角为$ \frac{360°}{6}=60° $，因此正六边形可分割为6个边长为$ R $的全等等边三角形，单个等边三角形的面积为$ \frac{\sqrt{3}}{4}R^2 $
因此$ S_6=6×\frac{\sqrt{3}}{4}R^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2 $
3. 计算面积比：
$ S_3:S_6=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2:\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2=1:2 $
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆的性质，正多边形面积计算，特殊角的三角函数值
【点评】
本题核心是利用同圆半径相等的条件，通过拆分正多边形为多个等腰三角形简化面积计算，该方法是求解正多边形面积的通用思路，掌握后可快速解决同类正多边形边长、面积、周长比的问题。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上. 若AB=2，则中心P的坐标为
$(2,\sqrt{3})$
.答案
2. $(2,\sqrt{3})$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用正六边形边长相等的性质，得AF=AB=2，结合正六边形内角为120°，推出Rt△OAF中∠OAF=60°，解直角三角形求出OA的长度，得到A点坐标，再结合AB长度求出B点坐标；第二步，利用正六边形的轴对称性，可知中心P在AB的垂直平分线上，由此求出P的横坐标；第三步，计算正六边形的边心距，即为P点的纵坐标，最终得到P的坐标。
【解析】
解：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2
∴AF=AB=2，正六边形的内角∠FAB=120°，
∴∠OAF=180°-∠FAB=60°，
在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OAF=60°，AF=2，
∴OA=AF·cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，
∴点A坐标为(1,0)，
又
∵AB=2，点B在x轴上，
∴点B坐标为(1+2,0)=(3,0)，
∵正六边形是轴对称图形，AB的垂直平分线是其对称轴，中心P在该对称轴上，
∴P点的横坐标为$\frac{1+3}{2}$=2，
正六边形的边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}$×边长=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，即P点的纵坐标为$\sqrt{3}$，
∴中心P的坐标为(2,$\sqrt{3}$)。
【答案】
$(2,\sqrt{3})$
【知识点】
正六边形的性质，坐标与图形性质，解直角三角形
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查正六边形的相关性质，解题的关键是熟练掌握正六边形边长、边心距的关系以及轴对称性，通过解直角三角形求出关键点坐标即可求解，是正多边形相关知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先利用正六边形边长相等的性质，得AF=AB=2，结合正六边形内角为120°，推出Rt△OAF中∠OAF=60°，解直角三角形求出OA的长度，得到A点坐标，再结合AB长度求出B点坐标；第二步，利用正六边形的轴对称性，可知中心P在AB的垂直平分线上，由此求出P的横坐标；第三步，计算正六边形的边心距，即为P点的纵坐标，最终得到P的坐标。
【解析】
解：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2
∴AF=AB=2，正六边形的内角∠FAB=120°，
∴∠OAF=180°-∠FAB=60°，
在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OAF=60°，AF=2，
∴OA=AF·cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，
∴点A坐标为(1,0)，
又
∵AB=2，点B在x轴上，
∴点B坐标为(1+2,0)=(3,0)，
∵正六边形是轴对称图形，AB的垂直平分线是其对称轴，中心P在该对称轴上，
∴P点的横坐标为$\frac{1+3}{2}$=2，
正六边形的边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}$×边长=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，即P点的纵坐标为$\sqrt{3}$，
∴中心P的坐标为(2,$\sqrt{3}$)。
【答案】
$(2,\sqrt{3})$
【知识点】
正六边形的性质，坐标与图形性质，解直角三角形
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查正六边形的相关性质，解题的关键是熟练掌握正六边形边长、边心距的关系以及轴对称性，通过解直角三角形求出关键点坐标即可求解，是正多边形相关知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
