登录
2. 如图，$\odot O$的内接多边形的周长为3，$\odot O$的外切多边形的周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是(
A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{10}$
D.$\sqrt{17}$
C
).A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{10}$
D.$\sqrt{17}$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先明确圆周长与它的内接、外切多边形周长的大小关系：圆内接多边形的每条边都是圆的弦，弦长小于对应弧长，因此内接多边形总周长小于圆周长；圆外切多边形的每条边是圆的切线，两切点间的切线段长度大于对应弧长，因此外切多边形总周长大于圆周长。先据此确定圆周长的取值范围，再估算各选项无理数的近似值，对比范围即可选出最接近的数值。
【解析】
1. 确定圆周长的取值范围
根据圆与内接、外切多边形的周长关系可知：
$\mathrm{内接多边形周长}＜\mathrm{圆的周长}＜\mathrm{外切多边形周长}$
已知内接多边形周长为3，外切多边形周长为3.4，因此：
$3＜C_\mathrm{圆}＜3.4$
2. 估算各选项的数值：
A. $\sqrt{6}\approx2.45＜3$，不符合取值范围；
B. $\sqrt{8}\approx2.83＜3$，不符合取值范围；
C. $\sqrt{10}\approx3.16$，在$3∼3.4$的范围内，符合要求；
D. $\sqrt{17}\approx4.12＞3.4$，不符合取值范围。
因此$\sqrt{10}$与圆的周长最接近。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆的关系，无理数估算，实数大小比较
【点评】
本题解题核心是先通过圆和内接、外切多边形的边长与弧长的大小关系，锁定圆周长的范围，再结合无理数的估算即可快速得到结果，属于基础应用型考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确圆周长与它的内接、外切多边形周长的大小关系：圆内接多边形的每条边都是圆的弦，弦长小于对应弧长，因此内接多边形总周长小于圆周长；圆外切多边形的每条边是圆的切线，两切点间的切线段长度大于对应弧长，因此外切多边形总周长大于圆周长。先据此确定圆周长的取值范围，再估算各选项无理数的近似值，对比范围即可选出最接近的数值。
【解析】
1. 确定圆周长的取值范围
根据圆与内接、外切多边形的周长关系可知：
$\mathrm{内接多边形周长}＜\mathrm{圆的周长}＜\mathrm{外切多边形周长}$
已知内接多边形周长为3，外切多边形周长为3.4，因此：
$3＜C_\mathrm{圆}＜3.4$
2. 估算各选项的数值：
A. $\sqrt{6}\approx2.45＜3$，不符合取值范围；
B. $\sqrt{8}\approx2.83＜3$，不符合取值范围；
C. $\sqrt{10}\approx3.16$，在$3∼3.4$的范围内，符合要求；
D. $\sqrt{17}\approx4.12＞3.4$，不符合取值范围。
因此$\sqrt{10}$与圆的周长最接近。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆的关系，无理数估算，实数大小比较
【点评】
本题解题核心是先通过圆和内接、外切多边形的边长与弧长的大小关系，锁定圆周长的范围，再结合无理数的估算即可快速得到结果，属于基础应用型考题。
【难度系数】
0.7
3. 如图，圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是(
A.$36°$
B.$60°$
C.$72°$
D.$108°$
C
).A.$36°$
B.$60°$
C.$72°$
D.$108°$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先回忆正多边形的性质：正五边形的各边相等，各内角相等，且圆内接正五边形的各边所对的弧度数相等。要求∠APB的度数，可先求出正五边形的内角，再结合等腰三角形的性质求出△ABP中另外两个内角的度数，最后利用三角形内角和计算∠APB；也可以先求出正五边形各边所对的弧的度数，结合圆周角定理求出∠PBC和∠PCB的度数，再利用三角形外角性质求解。
【解析】
解：
∵五边形ABCDE是圆内接正五边形，
∴正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，且$AB=BC=CD$。
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=108°$，
∴$∠ BAC=∠ BCA=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
同理可得$∠ CBD=36°$，
∴$∠ ABP=∠ ABC-∠ CBD=108°-36°=72°$，
在$△ ABP$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ APB=180°-∠ BAC-∠ ABP=180°-36°-72°=72°$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是正多边形与圆相关的典型题型，解题的核心是熟练掌握正多边形的角度计算方法，结合三角形的角度性质求解，难度不大，侧重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正多边形的性质：正五边形的各边相等，各内角相等，且圆内接正五边形的各边所对的弧度数相等。要求∠APB的度数，可先求出正五边形的内角，再结合等腰三角形的性质求出△ABP中另外两个内角的度数，最后利用三角形内角和计算∠APB；也可以先求出正五边形各边所对的弧的度数，结合圆周角定理求出∠PBC和∠PCB的度数，再利用三角形外角性质求解。
【解析】
解：
∵五边形ABCDE是圆内接正五边形，
∴正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，且$AB=BC=CD$。
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=108°$，
∴$∠ BAC=∠ BCA=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
同理可得$∠ CBD=36°$，
∴$∠ ABP=∠ ABC-∠ CBD=108°-36°=72°$，
在$△ ABP$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ APB=180°-∠ BAC-∠ ABP=180°-36°-72°=72°$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是正多边形与圆相关的典型题型，解题的核心是熟练掌握正多边形的角度计算方法，结合三角形的角度性质求解，难度不大，侧重对基础知识点的应用考查。
【难度系数】
0.7
4. 正多边形的一部分如图所示，点O为正多边形的中心. 若∠ACB=18°，则该正多边形的边数为(
A.8
B.9
C.10
D.11
C
).A.8
B.9
C.10
D.11
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先明确正多边形的顶点都在以中心O为圆心的外接圆上，∠ACB是外接圆中弧AB所对的圆周角。第一步可根据圆周角定理求出弧AB对应的圆心角，即正多边形的一个中心角的度数；第二步利用正多边形所有中心角之和为360°，且每个中心角相等，用360°除以单个中心角的度数即可求出边数。
【解析】
解：连接OA、OB，O为正多边形外接圆的圆心，A、B、C均在该外接圆上。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ AOB=2∠ ACB=2×18°=36°$
$∠ AOB$是该正多边形的一个中心角，正多边形所有中心角之和为$360°$，且各中心角相等，因此边数为：
$n=\frac{360°}{36°}=10$
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，正多边形中心角性质
【点评】
本题将正多边形的问题和圆的性质结合考查，解题的核心是将正多边形的中心角和圆的圆心角对应起来，再结合圆周角定理求解，属于基础类的综合应用题。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确正多边形的顶点都在以中心O为圆心的外接圆上，∠ACB是外接圆中弧AB所对的圆周角。第一步可根据圆周角定理求出弧AB对应的圆心角，即正多边形的一个中心角的度数；第二步利用正多边形所有中心角之和为360°，且每个中心角相等，用360°除以单个中心角的度数即可求出边数。
【解析】
解：连接OA、OB，O为正多边形外接圆的圆心，A、B、C均在该外接圆上。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ AOB=2∠ ACB=2×18°=36°$
$∠ AOB$是该正多边形的一个中心角，正多边形所有中心角之和为$360°$，且各中心角相等，因此边数为：
$n=\frac{360°}{36°}=10$
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，正多边形中心角性质
【点评】
本题将正多边形的问题和圆的性质结合考查，解题的核心是将正多边形的中心角和圆的圆心角对应起来，再结合圆周角定理求解，属于基础类的综合应用题。
【难度系数】
0.7
5. 如图，若$\odot O$的半径为3，六边形$ABCDEF$是$\odot O$的内接正六边形，求图中阴影部分的面积.
第5题
第5题答案
$9π-\frac{27\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影部分的面积等于圆的面积减去内部内接正六边形的面积，因此只需分别计算圆的面积和正六边形的面积，再作差即可。首先利用圆的面积公式计算圆的面积，再结合圆内接正六边形的性质：内接正六边形的边长等于外接圆半径，且可分割为6个全等的等边三角形，通过计算单个等边三角形的面积再乘以6得到正六边形的面积，最后两者相减得到结果。
【解析】
解：已知$\odot O$的半径$r=3$，
1. 计算圆的面积：
$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×3^2=9π$
2. 计算正六边形$ABCDEF$的面积：
∵六边形$ABCDEF$是$\odot O$的内接正六边形
∴正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，正六边形的边长等于圆的半径3
∴正六边形可分割为6个边长为3的全等等边三角形
单个等边三角形的面积为：$S_{\mathrm{等边三角形}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×3^2=\frac{9\sqrt{3}}{4}$
则正六边形的面积为：$S_{\mathrm{正六边形}}=6×\frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{2}$
3. 计算阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{圆}}-S_{\mathrm{正六边形}}=9π-\frac{27\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$9π-\frac{27\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
1. 圆内接正六边形性质
2. 圆的面积计算
3. 正多边形面积计算
【点评】
本题解题的核心是明确阴影部分的面积构成，掌握圆内接正六边形边长等于外接圆半径、可拆分为6个全等等边三角形的性质是解题的关键，计算时要注意等边三角形面积公式的正确应用。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影部分的面积等于圆的面积减去内部内接正六边形的面积，因此只需分别计算圆的面积和正六边形的面积，再作差即可。首先利用圆的面积公式计算圆的面积，再结合圆内接正六边形的性质：内接正六边形的边长等于外接圆半径，且可分割为6个全等的等边三角形，通过计算单个等边三角形的面积再乘以6得到正六边形的面积，最后两者相减得到结果。
【解析】
解：已知$\odot O$的半径$r=3$，
1. 计算圆的面积：
$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×3^2=9π$
2. 计算正六边形$ABCDEF$的面积：
∵六边形$ABCDEF$是$\odot O$的内接正六边形
∴正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，正六边形的边长等于圆的半径3
∴正六边形可分割为6个边长为3的全等等边三角形
单个等边三角形的面积为：$S_{\mathrm{等边三角形}}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}×3^2=\frac{9\sqrt{3}}{4}$
则正六边形的面积为：$S_{\mathrm{正六边形}}=6×\frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{2}$
3. 计算阴影部分面积：
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{圆}}-S_{\mathrm{正六边形}}=9π-\frac{27\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$9π-\frac{27\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
1. 圆内接正六边形性质
2. 圆的面积计算
3. 正多边形面积计算
【点评】
本题解题的核心是明确阴影部分的面积构成，掌握圆内接正六边形边长等于外接圆半径、可拆分为6个全等等边三角形的性质是解题的关键，计算时要注意等边三角形面积公式的正确应用。
【难度系数】
0.7
6. 如图，大正方形ABCD的四边均和⊙O相切，小正方形内接于⊙O中，求图中空白部分与阴影部分面积的比值.
答案
6. 比值为1
解析
【分析】
解题时可先设⊙O的半径为参数简化计算：首先根据大正方形和圆相切的性质，可知大正方形边长等于圆的直径；再根据小正方形内接于圆的性质，可知小正方形的对角线长等于圆的直径。分别计算出大正方形、阴影小正方形的面积后，用大正方形面积减去阴影面积得到空白面积，最后求两者的比值即可。
【解析】
设⊙O的半径为$ r $，则圆的直径为$ 2r $。
1. 计算大正方形$ ABCD $的面积：
∵ 大正方形四边与⊙O相切，
∴ 大正方形的边长等于圆的直径$ 2r $，
$ S_{\mathrm{大正方形}} = (2r)^2 = 4r^2 $。
2. 计算阴影小正方形的面积：
∵ 小正方形内接于⊙O，
∴ 小正方形的对角线长等于圆的直径$ 2r $，
根据正方形面积公式（对角线乘积的一半），得：
$ S_{\mathrm{阴影}} = \frac{1}{2} × 2r × 2r = 2r^2 $。
3. 计算空白部分面积：
$ S_{\mathrm{空白}} = S_{\mathrm{大正方形}} - S_{\mathrm{阴影}} = 4r^2 - 2r^2 = 2r^2 $。
4. 求面积比值：
$ \frac{S_{\mathrm{空白}}}{S_{\mathrm{阴影}}} = \frac{2r^2}{2r^2} = 1 $。
【答案】
1
【知识点】
正多边形与圆，正方形面积计算，比值计算
【点评】
本题结合圆与正方形的位置关系考查面积计算，采用设参数的方法可简化运算，解题的核心是找准正方形的边长、对角线与圆直径的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题时可先设⊙O的半径为参数简化计算：首先根据大正方形和圆相切的性质，可知大正方形边长等于圆的直径；再根据小正方形内接于圆的性质，可知小正方形的对角线长等于圆的直径。分别计算出大正方形、阴影小正方形的面积后，用大正方形面积减去阴影面积得到空白面积，最后求两者的比值即可。
【解析】
设⊙O的半径为$ r $，则圆的直径为$ 2r $。
1. 计算大正方形$ ABCD $的面积：
∵ 大正方形四边与⊙O相切，
∴ 大正方形的边长等于圆的直径$ 2r $，
$ S_{\mathrm{大正方形}} = (2r)^2 = 4r^2 $。
2. 计算阴影小正方形的面积：
∵ 小正方形内接于⊙O，
∴ 小正方形的对角线长等于圆的直径$ 2r $，
根据正方形面积公式（对角线乘积的一半），得：
$ S_{\mathrm{阴影}} = \frac{1}{2} × 2r × 2r = 2r^2 $。
3. 计算空白部分面积：
$ S_{\mathrm{空白}} = S_{\mathrm{大正方形}} - S_{\mathrm{阴影}} = 4r^2 - 2r^2 = 2r^2 $。
4. 求面积比值：
$ \frac{S_{\mathrm{空白}}}{S_{\mathrm{阴影}}} = \frac{2r^2}{2r^2} = 1 $。
【答案】
1
【知识点】
正多边形与圆，正方形面积计算，比值计算
【点评】
本题结合圆与正方形的位置关系考查面积计算，采用设参数的方法可简化运算，解题的核心是找准正方形的边长、对角线与圆直径的对应关系。
【难度系数】
0.7
