1. 完成下列有关正多边形的计算：
| 形状 | 中心角 | 半径 | 边长 | 边心距 | 周长 | 面积 |
|--------|--------|------|------|--------|------|------|
| 正三角形 | | 6 | | | | |
| 正方形 | | | | | | |
| 正六边形 | | | | $\sqrt{3}$ | | |

正三角形：中心角$120°$，边长$6\sqrt{3}$，边心距3，周长$18\sqrt{3}$，面积$27\sqrt{3}$；正方形：中心角$90°$，半径$3\sqrt{2}$，边长6，边心距3，周长24，面积36；正六边形：中心角$60°$，半径2，边长2，边心距$\sqrt{3}$，周长12，面积$6\sqrt{3}$

【分析】
正n边形的中心角等于$360°$除以边数n；正多边形的半径、边心距、边长的一半可构成直角三角形，我们可以利用三角函数或勾股定理，结合已知量求解未知的边长、边心距、半径，再根据“周长=边长×边数”“面积=$\frac{1}{2}$×周长×边心距”计算周长和面积，分别对正三角形、正方形、正六边形逐个计算即可。
【解析】
一、正三角形（边数$n=3$，已知半径$R=6$）
1. 中心角：$α=\frac{360°}{3}=120°$
2. 边长：中心角的一半为$60°$，边长的一半为$R·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，故边长$a=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
3. 边心距：$r=R·\cos60°=6×\frac{1}{2}=3$
4. 周长：$C=3a=3×6\sqrt{3}=18\sqrt{3}$
5. 面积：$S=\frac{1}{2}· C· r=\frac{1}{2}×18\sqrt{3}×3=27\sqrt{3}$
二、正方形（边数$n=4$，已知边长$a=6$）
1. 中心角：$α=\frac{360°}{4}=90°$
2. 半径：中心角的一半为$45°$，边长的一半为3，半径$R=\frac{3}{\cos45°}=\frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=3\sqrt{2}$
3. 边心距：$r=$边长的一半$=3$
4. 周长：$C=4a=4×6=24$
5. 面积：$S=a^2=6^2=36$
三、正六边形（边数$n=6$，已知边心距$r=\sqrt{3}$）
1. 中心角：$α=\frac{360°}{6}=60°$
2. 半径：中心角的一半为$30°$，由$r=R·\cos30°$得$R=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$
3. 边长：正六边形边长等于半径，故$a=R=2$
4. 周长：$C=6a=6×2=12$
5. 面积：$S=\frac{1}{2}· C· r=\frac{1}{2}×12×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
【答案】
正三角形：中心角$120°$，边长$6\sqrt{3}$，边心距$3$，周长$18\sqrt{3}$，面积$27\sqrt{3}$；
正方形：中心角$90°$，半径$3\sqrt{2}$，边心距$3$，周长$24$，面积$36$；
正六边形：中心角$60°$，半径$2$，边长$2$，周长$12$，面积$6\sqrt{3}$
【知识点】
1. 正多边形中心角计算
2. 正多边形各量换算
3. 正多边形周长面积计算
【点评】
本题考查正多边形与圆的相关计算，解题核心是将正多边形问题转化为直角三角形问题求解，掌握正n边形半径、边心距、边长的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7