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3. 如果正九边形绕着它的中心旋转一定的角度后能与原来的图形完全重合，那么旋转的最小角度为
$40°$
。答案
3. $40°$
解析
【分析】
要解决正多边形旋转后与自身重合的最小角度问题，首先明确正多边形是旋转对称图形，绕中心旋转时，只要旋转角度等于其中心角的正整数倍，就能与原图形重合，因此最小旋转角度就是正多边形的中心角，接下来只需根据正多边形中心角的计算公式代入边数求解即可。
【解析】
正n边形的中心角计算公式为：$α = \frac{360°}{n}$，其中n为正多边形的边数。
本题中为正九边形，即$n=9$，代入公式可得：
中心角$α = \frac{360°}{9} = 40°$
因此正九边形旋转后与原图形重合的最小角度为$40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
正多边形性质；旋转对称图形；中心角计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握正多边形最小旋转角等于其中心角这一规律，计算难度低，只要熟记相关公式即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决正多边形旋转后与自身重合的最小角度问题，首先明确正多边形是旋转对称图形，绕中心旋转时，只要旋转角度等于其中心角的正整数倍，就能与原图形重合，因此最小旋转角度就是正多边形的中心角，接下来只需根据正多边形中心角的计算公式代入边数求解即可。
【解析】
正n边形的中心角计算公式为：$α = \frac{360°}{n}$，其中n为正多边形的边数。
本题中为正九边形，即$n=9$，代入公式可得：
中心角$α = \frac{360°}{9} = 40°$
因此正九边形旋转后与原图形重合的最小角度为$40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
正多边形性质；旋转对称图形；中心角计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是掌握正多边形最小旋转角等于其中心角这一规律，计算难度低，只要熟记相关公式即可快速得分。
【难度系数】
0.9
4. 如图，已知$\odot O$及$\odot O$上一点A.
(1)尺规作图：作$\odot O$的内接正方形ABCD(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若$\odot O$的周长等于$4π$，求正方形ABCD的边长.
(1)尺规作图：作$\odot O$的内接正方形ABCD(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若$\odot O$的周长等于$4π$，求正方形ABCD的边长.
答案
(1)作图略
(2) $2\sqrt{2}$
(2) $2\sqrt{2}$
解析
【分析】
(1) 要作⊙O的内接正方形，正方形的中心角为90°，因此可先过点A作⊙O的直径，再作该直径的垂直平分线，两条线与⊙O的四个交点就是正方形的四个顶点，顺次连接四个顶点即可得到内接正方形ABCD。
(2) 首先根据圆的周长公式求出圆的半径，进而得到圆的直径；圆内接正方形的对角线长度等于圆的直径，再结合勾股定理即可求出正方形的边长。
【解析】
(2) 解：设⊙O的半径为$r$，根据圆的周长公式$C=2π r$，已知$\odot O$的周长为$4π$，代入得：
$2π r=4π$，解得$r=2$，因此$\odot O$的直径为$2r=4$。
因为正方形ABCD是$\odot O$的内接正方形，所以正方形的对角线长等于$\odot O$的直径，即对角线长为4。
设正方形的边长为$a$，根据勾股定理可得：
$a^2+a^2=4^2$
$2a^2=16$
$a^2=8$
解得$a=2\sqrt{2}$（边长为正数，舍去负根）。
【答案】
(1) 作图略
(2) $2\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形与圆，圆的周长计算，勾股定理
【点评】
本题考查圆内接正多边形的作图及相关计算，作图的关键是利用正方形中心角为90°的特征构造互相垂直的直径，计算时需明确圆内接正方形的对角线与圆直径的等量关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要作⊙O的内接正方形，正方形的中心角为90°，因此可先过点A作⊙O的直径，再作该直径的垂直平分线，两条线与⊙O的四个交点就是正方形的四个顶点，顺次连接四个顶点即可得到内接正方形ABCD。
(2) 首先根据圆的周长公式求出圆的半径，进而得到圆的直径；圆内接正方形的对角线长度等于圆的直径，再结合勾股定理即可求出正方形的边长。
【解析】
(2) 解：设⊙O的半径为$r$，根据圆的周长公式$C=2π r$，已知$\odot O$的周长为$4π$，代入得：
$2π r=4π$，解得$r=2$，因此$\odot O$的直径为$2r=4$。
因为正方形ABCD是$\odot O$的内接正方形，所以正方形的对角线长等于$\odot O$的直径，即对角线长为4。
设正方形的边长为$a$，根据勾股定理可得：
$a^2+a^2=4^2$
$2a^2=16$
$a^2=8$
解得$a=2\sqrt{2}$（边长为正数，舍去负根）。
【答案】
(1) 作图略
(2) $2\sqrt{2}$
【知识点】
正多边形与圆，圆的周长计算，勾股定理
【点评】
本题考查圆内接正多边形的作图及相关计算，作图的关键是利用正方形中心角为90°的特征构造互相垂直的直径，计算时需明确圆内接正方形的对角线与圆直径的等量关系，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
5. 八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，如图1，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形。先将正方形ABCD和正方形EFGH完全重合，再将正方形EFGH绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形IJKLMNOP，如图2，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法。
(1)旋转的角度最小为
(2)若正八边形IJKLMNOP的边长为2，则正方形ABCD的边长为
(3)连接AC，则AC与AO之间有怎样的数量关系？请说明理由。
(1)旋转的角度最小为
45
°；(2)若正八边形IJKLMNOP的边长为2，则正方形ABCD的边长为
$2\sqrt{2}+2$
；(3)连接AC，则AC与AO之间有怎样的数量关系？请说明理由。
答案
5. (1) 45
(2) $2\sqrt{2}+2$
(3) $AC=2AO$. 理由略.
(2) $2\sqrt{2}+2$
(3) $AC=2AO$. 理由略.
解析
【分析】
(1) 求最小旋转角度，可结合正八边形的中心角计算：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，正八边形的中心角就是本次旋转的最小角度。
(2) 求正方形边长，先观察图形特征：旋转后形成的外围小三角形均为等腰直角三角形，斜边等于正八边形的边长，先用勾股定理求出等腰直角三角形的直角边长，再根据正方形边长由2个直角边长加正八边形边长组成，即可求解。
(3) 推导AC与AO的数量关系：分别用含正八边形边长的式子表示出正方形对角线AC和线段AO的长度，对比二者表达式即可得到数量关系。
【解析】
(1) 正八边形的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，因此正方形EFGH绕中心旋转的最小角度为$45°$。
(2) 设图中等腰直角三角形（如$△ APH$）的直角边长为$x$，已知其斜边长等于正八边形的边长2，由勾股定理得：
$x^2+x^2=2^2$
解得$x=\sqrt{2}$（边长为正数，舍去负根）
则正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}+2+\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$。
(3) $AC=2AO$，理由如下：
设正八边形边长为$m$，则等腰直角三角形的直角边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}m$，
可得$AO=\frac{\sqrt{2}}{2}m + m$，
正方形ABCD的边长$a = m + 2×\frac{\sqrt{2}}{2}m = m+\sqrt{2}m$，
正方形对角线$AC=\sqrt{2}a=\sqrt{2}(m+\sqrt{2}m)=\sqrt{2}m + 2m=2(m+\frac{\sqrt{2}}{2}m)$，
因此$AC=2AO$。
【答案】
(1) $\boxed{45}$
(2) $\boxed{2+2\sqrt{2}}$
(3) $\boxed{AC=2AO}$
【知识点】
正多边形的性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题以传统建筑八角亭为背景，将几何知识和实际生活结合，考查了正多边形、旋转、勾股定理的综合应用，解题的关键是找准图形中等腰直角三角形的边长与正八边形、正方形边长的对应关系。
【难度系数】
0.65
(1) 求最小旋转角度，可结合正八边形的中心角计算：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，正八边形的中心角就是本次旋转的最小角度。
(2) 求正方形边长，先观察图形特征：旋转后形成的外围小三角形均为等腰直角三角形，斜边等于正八边形的边长，先用勾股定理求出等腰直角三角形的直角边长，再根据正方形边长由2个直角边长加正八边形边长组成，即可求解。
(3) 推导AC与AO的数量关系：分别用含正八边形边长的式子表示出正方形对角线AC和线段AO的长度，对比二者表达式即可得到数量关系。
【解析】
(1) 正八边形的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，因此正方形EFGH绕中心旋转的最小角度为$45°$。
(2) 设图中等腰直角三角形（如$△ APH$）的直角边长为$x$，已知其斜边长等于正八边形的边长2，由勾股定理得：
$x^2+x^2=2^2$
解得$x=\sqrt{2}$（边长为正数，舍去负根）
则正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}+2+\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$。
(3) $AC=2AO$，理由如下：
设正八边形边长为$m$，则等腰直角三角形的直角边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}m$，
可得$AO=\frac{\sqrt{2}}{2}m + m$，
正方形ABCD的边长$a = m + 2×\frac{\sqrt{2}}{2}m = m+\sqrt{2}m$，
正方形对角线$AC=\sqrt{2}a=\sqrt{2}(m+\sqrt{2}m)=\sqrt{2}m + 2m=2(m+\frac{\sqrt{2}}{2}m)$，
因此$AC=2AO$。
【答案】
(1) $\boxed{45}$
(2) $\boxed{2+2\sqrt{2}}$
(3) $\boxed{AC=2AO}$
【知识点】
正多边形的性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题以传统建筑八角亭为背景，将几何知识和实际生活结合，考查了正多边形、旋转、勾股定理的综合应用，解题的关键是找准图形中等腰直角三角形的边长与正八边形、正方形边长的对应关系。
【难度系数】
0.65
