6. 如图，已知$\odot O$及$\odot O$上一点A.
(1)尺规作图：作$\odot O$的内接正六边形ABCDEF(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)连接BF和CE，判断四边形BCEF的形状，并加以证明；
(3)若内接正六边形ABCDEF的边心距为$2\sqrt{3}$，求四边形BCEF的周长.

(1) 作图说明
以点$A$为圆心，$OA$长为半径画弧，与$\odot O$交于两个点，再依次以新得到的交点为圆心、$OA$长为半径继续画弧，即可将$\odot O$六等分，顺次连接六个等分点得到正六边形$ABCDEF$，保留所有作图痕迹即可。
---
(2) 四边形$BCEF$是矩形，证明如下：
解：
$\because$ 六边形$ABCDEF$是$\odot O$的内接正六边形，
$\therefore$ 正六边形的每条边对应的圆心角为$\frac{360°}{6}=60°$，
$\therefore AB=BC=CD=DE=EF=FA$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FA}$，
$\therefore \overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{CE}$，可得$BF=CE$。
又$\because \overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}=3×60°=180°$，
$\therefore ∠ BFE$对应的圆心角为$180°$，即$BE$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BFE=∠ BCE=90°$，同理可证$∠ CEF=∠ FBC=90°$，
$\therefore$ 四边形$BCEF$是矩形。
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(3) 求四边形$BCEF$的周长
解：
设正六边形的外接圆半径为$R$，已知正六边形的边心距$r=2\sqrt{3}$。
正六边形的边心距与半径满足关系：
$r = R·\sin60°$
代入$r=2\sqrt{3}$得：
$2\sqrt{3}=R·\frac{\sqrt{3}}{2}$
解得$R=4$。
$\because$ 正六边形的边长等于外接圆半径，$\therefore BC=R=4$；
又$\because BF$是圆中对应圆心角为$4×60°=240°$的弦的一半对应的直角边，在$Rt△ BEF$中，$BE=2R=8$，$EF=R=4$，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{BE^2-EF^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$
$\because$ 四边形$BCEF$是矩形，$\therefore EF=BC=4$，$BF=CE=4\sqrt{3}$，
$\therefore$ 四边形$BCEF$的周长为：
$2×(BC + BF)=2×(4+4\sqrt{3})=8+8\sqrt{3}$

【分析】
(1) 尺规作图思路：正六边形的边长等于其外接圆的半径，因此只需以点A为起点，OA长为半径在⊙O上依次截取等长的弧，得到六个等分点后顺次连接，即可得到⊙O的内接正六边形。
(2) 四边形形状判断思路：先利用正六边形的性质得到各段弧的度数相等，通过弧的关系推导对边相等，再证明四个内角均为直角，即可判断四边形的形状。
(3) 周长计算思路：先根据正六边形边心距和外接圆半径的三角函数关系求出半径，再结合矩形的性质求出邻边长度，最后代入周长公式计算即可。
【解析】
(1) 作图方法：以点A为圆心，OA长为半径画弧，与⊙O交于两个点，再依次以新得到的交点为圆心、OA长为半径继续画弧，即可将⊙O六等分，顺次连接六个等分点得到正六边形ABCDEF，保留所有作图痕迹即可。
(2) 四边形BCEF是矩形，证明如下：
∵ 六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴ 正六边形每条边对应的圆心角为$\frac{360°}{6}=60°$，
∴ $AB=BC=CD=DE=EF=FA$，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{FA}$，
∴ $\overset{\frown}{BF}=\overset{\frown}{CE}$，可得$BF=CE$。
又
∵ $\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DE}=3×60°=180°$，
∴ BE是⊙O的直径，
∴ $∠ BFE=∠ BCE=90°$，同理可证$∠ CEF=∠ FBC=90°$，
∴ 四边形BCEF是矩形。
(3) 设正六边形的外接圆半径为$R$，已知正六边形的边心距$r=2\sqrt{3}$，
正六边形的边心距与半径满足关系$r = R·\sin60°$，
代入$r=2\sqrt{3}$得：$2\sqrt{3}=R·\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$R=4$。
∵ 正六边形的边长等于外接圆半径，
∴ $BC=R=4$；
又
∵ BE是⊙O的直径，
∴ $BE=2R=8$，在$Rt△ BEF$中，$EF=R=4$，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{BE^2-EF^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$
∵ 四边形BCEF是矩形，
∴ $EF=BC=4$，$BF=CE=4\sqrt{3}$，
∴ 四边形BCEF的周长为：$2×(BC + BF)=2×(4+4\sqrt{3})=8+8\sqrt{3}$
【答案】
(1) 作图见解析说明；
(2) 四边形BCEF是矩形；
(3) 四边形BCEF的周长为$8+8\sqrt{3}$
【知识点】
正多边形与圆、矩形的判定、正多边形相关计算
【点评】
本题综合考查了正六边形的尺规作图、性质，特殊四边形的判定以及正多边形边长、边心距、半径的相关计算，既考查基础作图能力，也考查逻辑推理能力和计算能力，熟练掌握正六边形边长等于外接圆半径的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.65

1. 如图，正五边形ABCDE的边长为5，以顶点B为圆心，AB长为半径画圆。若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面圆的半径是。

1. $\frac{3}{2}$

【分析】
要求圆锥底面圆的半径，需结合圆锥侧面展开图的性质求解：圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长。因此第一步先求阴影扇形的弧长，弧长计算需要知道圆心角和半径：扇形半径为正五边形的边长5，圆心角是正五边形的内角，因此先利用多边形内角和公式计算正五边形的内角度数，再代入弧长公式求出弧长，最后根据弧长与底面周长的等量关系列方程求解底面半径。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，正五边形$n=5$，内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角$∠ ABC=540°÷5=108°$。
2. 计算阴影扇形的弧长：
扇形半径$r=AB=5$，圆心角$n=108°$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，代入得：
$l=\frac{108×π×5}{180}=3π$
3. 求解圆锥底面半径：
设圆锥底面圆的半径为$R$，圆锥侧面展开图弧长等于底面圆周长，即$2π R=l$，代入$l=3π$得：
$2π R=3π$，解得$R=\frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
正多边形内角计算、弧长公式、圆锥侧面展开图性质
【点评】
本题综合考查正多边形性质、弧长计算和圆锥的特征，解题核心是明确扇形弧长与圆锥底面周长的对应关系，理清各量之间的联系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

2. 如图，这是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图. 若镜头(⊙O)的直径为8 cm，通光直径(正六边形最长的对角线长)为4 cm，则光圈叶片(图中阴影部分)的面积为.

2. $(16π-6\sqrt{3})\mathrm{cm}^2$

【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影面积等于大圆的面积减去中间空白正六边形的面积。第一步先根据大圆直径求出大圆半径，计算出大圆的面积；第二步根据通光直径是正六边形最长对角线，得出正六边形的外接圆半径，结合正六边形边长等于外接圆半径的性质，算出正六边形的面积；最后用大圆面积减去正六边形面积即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：已知⊙O的直径为8 cm，因此⊙O的半径$ R = 8÷2 = 4\ \mathrm{cm} $，
则⊙O的面积$ S_{\mathrm{圆}} = π R^2 = π×4^2 = 16π\ \mathrm{cm}^2 $。
由题可知正六边形的最长对角线长为4 cm，正六边形的最长对角线长度等于其外接圆的直径，因此正六边形的外接圆半径$ r = 4÷2 = 2\ \mathrm{cm} $。
因为正六边形的边长等于其外接圆半径，所以正六边形的边长$ a = 2\ \mathrm{cm} $。
正六边形可分割为6个全等的边长为2 cm的等边三角形，单个等边三角形的面积为：
$ S_{△} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}×2^2 = \sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2 $，
因此正六边形的面积$ S_{\mathrm{正六边形}} = 6× S_{△} = 6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2 $。
所以阴影部分的面积$ S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{圆}} - S_{\mathrm{正六边形}} = (16π - 6\sqrt{3})\ \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
$ (16π-6\sqrt{3})\mathrm{cm}^2 $
【知识点】
正多边形与圆，阴影面积计算，正六边形性质
【点评】
本题结合生活中的光圈场景考查几何面积计算，解题的关键是将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积差，同时需要熟练掌握正六边形和外接圆的关系，能很好地考查学生对正多边形相关知识的应用能力。
【难度系数】
0.7

3. 如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内(包括正方形的边上).当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为.

3. $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$

【分析】
要解决本题，需分两步思考：第一步先确定正六边形的最大边长：正六边形绕正方形中心O任意旋转都在正方形内，其外接圆半径最大不能超过正方形中心到边的距离，结合正六边形边长等于外接圆半径，即可得到最大边长；第二步求AE的最小值：正六边形上的点到O的距离固定，因此点E的轨迹是以O为圆心的圆，利用圆外一点到圆上点的最短距离为点到圆心距离减去半径，即可求出AE的最小值。
【解析】
1. 求正六边形的最大边长：
正方形ABCD边长为1，中心O到正方形各边的距离为$\frac{1}{2}$。
正六边形的边长等于其外接圆半径，要保证正六边形绕O旋转时始终在正方形内，其外接圆半径最大为$\frac{1}{2}$，即正六边形的最大边长为$\frac{1}{2}$，此时正六边形上任意一点到O的距离均为$\frac{1}{2}$。
2. 计算OA的长度：
正方形的对角线长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，O是正方形的中心，因此$OA=\frac{1}{2}×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
3. 求AE的最小值：
点E在以O为圆心、半径$r=\frac{1}{2}$的圆上运动，根据点与圆的位置关系，圆外一点到圆上点的最短距离为该点到圆心的距离减去半径，因此AE的最小值为：
$OA - r = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
【知识点】
正方形的性质、正多边形的性质、点与圆的位置关系
【点评】
本题综合了旋转、正多边形与正方形的性质，核心是将动点E的轨迹转化为圆，再利用点和圆的位置关系求最值，解题时需要先确定正六边形的最大外接圆半径，对几何直观和转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.4