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4. 如图1，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，阅读以下作图过程，回答下列问题：
作法
.
a. 作直径AF.
b. 以F为圆心，FO为半径作圆弧，与$\odot O$交于点M，N.
c. 连接AM，MN，NA.
(1)求$∠ ABC$的度数.
(2)$△ AMN$是等边三角形吗？请说明理由.
(3)从点A开始，以$\overset{\frown}{DN}$长为弧长，在$\odot O$上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值.
作法
.a. 作直径AF.
b. 以F为圆心，FO为半径作圆弧，与$\odot O$交于点M，N.
c. 连接AM，MN，NA.
(1)求$∠ ABC$的度数.
(2)$△ AMN$是等边三角形吗？请说明理由.
(3)从点A开始，以$\overset{\frown}{DN}$长为弧长，在$\odot O$上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值.
答案
4. (1)
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴$∠ ABC=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即$∠ ABC=108°$.
(2)$△ AMN$是等边三角形. 理由如下：如图，连接ON，NF. 由题意可得 $FN = ON = OF$，$△ FON$ 是等边三角形，$\therefore ∠ NFA = 60°$，$\therefore ∠ NMA=60°$. 同理可得$∠ ANM=60°$，$\therefore ∠ MAN=60°$，$△ AMN$是等边三角形.
(3)如图，连接OD. $\because ∠ AMN=60°,\therefore ∠ AON=120°$. $\because ∠ AOD=\frac{360°}{5}×2=144°$, $\therefore ∠ NOD=∠ AOD-∠ AON=144°-120°=24°$. $\because 360°÷24°=15$，$\therefore n$ 的值是15.
解析
【分析】
（1）第一问求正五边形的内角，直接利用正n边形内角和公式$(n-2)×180°$，因正五边形各内角相等，用内角和除以边数5即可算出$∠ ABC$的度数。
（2）第二问判断$△ AMN$是否为等边三角形，需证明三个内角均为$60°$。先根据作图条件得$FN=ON=OF$，推出$△ FON$是等边三角形得到$60°$角，再利用同弧所对圆周角相等，推导得$△ AMN$的三个内角都是$60°$即可判定。
（3）第三问求正n边形的边数n，本质是求弧$\overset{\frown}{DN}$对应的圆心角度数，用$360°$除以该圆心角即可。先算出正五边形的中心角得到$∠ AOD$的度数，再由圆周角定理得$∠ AON$的度数，作差得到$\overset{\frown}{DN}$对应的圆心角，最后计算n的值。
【解析】
(1) 解：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴$∠ ABC=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$。
(2) $△ AMN$是等边三角形，理由如下：
如图，连接ON，NF。
由作图可知$FN=FO$，又$ON、OF$均为$\odot O$的半径，
∴$FN = ON = OF$，即$△ FON$是等边三角形，
∴$∠ NFA = 60°$。
∵$∠ NMA$和$∠ NFA$同是弧$AN$所对的圆周角，
∴$∠ NMA=∠ NFA=60°$，同理可得$∠ ANM=60°$，
∴$∠ MAN=180°-60°-60°=60°$，
∴$△ AMN$是等边三角形。
(3) 解：如图，连接OD。
∵$∠ AMN=60°$，$∠ AMN$是弧$AN$所对的圆周角，$∠ AON$是弧$AN$所对的圆心角，
∴$∠ AON=2∠ AMN=120°$。
∵正五边形的中心角为$\frac{360°}{5}=72°$，
∴$∠ AOD=\frac{360°}{5}×2=144°$，
∴$∠ NOD=∠ AOD-∠ AON=144°-120°=24°$，
∴$n=360°÷24°=15$。
【答案】
(1) $∠ ABC=108°$
(2) $△ AMN$是等边三角形，理由见解析。
(3) $n=15$
【知识点】
正多边形的性质，圆周角定理，等边三角形判定
【点评】
本题结合作图考查正多边形与圆的相关知识，覆盖了正多边形角度计算、等边三角形判定、圆周角定理等核心考点，解题时需结合图形理清角度间的关系，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
（1）第一问求正五边形的内角，直接利用正n边形内角和公式$(n-2)×180°$，因正五边形各内角相等，用内角和除以边数5即可算出$∠ ABC$的度数。
（2）第二问判断$△ AMN$是否为等边三角形，需证明三个内角均为$60°$。先根据作图条件得$FN=ON=OF$，推出$△ FON$是等边三角形得到$60°$角，再利用同弧所对圆周角相等，推导得$△ AMN$的三个内角都是$60°$即可判定。
（3）第三问求正n边形的边数n，本质是求弧$\overset{\frown}{DN}$对应的圆心角度数，用$360°$除以该圆心角即可。先算出正五边形的中心角得到$∠ AOD$的度数，再由圆周角定理得$∠ AON$的度数，作差得到$\overset{\frown}{DN}$对应的圆心角，最后计算n的值。
【解析】
(1) 解：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴$∠ ABC=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$。
(2) $△ AMN$是等边三角形，理由如下：
如图，连接ON，NF。
由作图可知$FN=FO$，又$ON、OF$均为$\odot O$的半径，
∴$FN = ON = OF$，即$△ FON$是等边三角形，
∴$∠ NFA = 60°$。
∵$∠ NMA$和$∠ NFA$同是弧$AN$所对的圆周角，
∴$∠ NMA=∠ NFA=60°$，同理可得$∠ ANM=60°$，
∴$∠ MAN=180°-60°-60°=60°$，
∴$△ AMN$是等边三角形。
(3) 解：如图，连接OD。
∵$∠ AMN=60°$，$∠ AMN$是弧$AN$所对的圆周角，$∠ AON$是弧$AN$所对的圆心角，
∴$∠ AON=2∠ AMN=120°$。
∵正五边形的中心角为$\frac{360°}{5}=72°$，
∴$∠ AOD=\frac{360°}{5}×2=144°$，
∴$∠ NOD=∠ AOD-∠ AON=144°-120°=24°$，
∴$n=360°÷24°=15$。
【答案】
(1) $∠ ABC=108°$
(2) $△ AMN$是等边三角形，理由见解析。
(3) $n=15$
【知识点】
正多边形的性质，圆周角定理，等边三角形判定
【点评】
本题结合作图考查正多边形与圆的相关知识，覆盖了正多边形角度计算、等边三角形判定、圆周角定理等核心考点，解题时需结合图形理清角度间的关系，能有效考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
1. 刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积. 如图，若用圆的内接正十二边形的面积 $ S_1 $ 来近似估计 $ \odot O $ 的面积 $ S $，设 $ \odot O $ 的半径为 1，求 $ S - S_1 $ 的值.（结果保留两位小数）
答案
1. 0.14
解析
【分析】
要计算$S - S_1$的值，需分三步求解：
1. 先求圆的面积$S$：已知圆半径为1，直接代入圆面积公式即可计算；
2. 再求正十二边形的面积$S_1$：正十二边形可以拆分为12个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长等于圆的半径，顶角为正十二边形的中心角（$360°÷12=30°$），先计算单个等腰三角形的面积，再乘12即可得到$S_1$；
3. 最后将$S$与$S_1$作差，按要求保留两位小数即可。
【解析】
解：
∵$\odot O$的半径为1，
∴$\odot O$的面积$S=π r^2=π×1^2=π\approx3.1416$。
∵圆内接正十二边形的中心角为$360°÷12=30°$，
∴正十二边形可分割为12个腰长为1、顶角为$30°$的全等等腰三角形，
单个等腰三角形的面积为：$\frac{1}{2}×1×1×\sin30°=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
∴正十二边形的面积$S_1=12×\frac{1}{4}=3$，
∴$S-S_1\approx3.1416-3\approx0.14$。
【答案】
0.14
【知识点】
圆的面积计算，正多边形与圆，三角形面积计算
【点评】
本题依托我国古代“割圆术”的数学背景出题，既考查了正多边形和圆的相关计算，也渗透了数学文化教育，解题核心是掌握将正多边形面积转化为多个等腰三角形面积之和的方法。
【难度系数】
0.75
要计算$S - S_1$的值，需分三步求解：
1. 先求圆的面积$S$：已知圆半径为1，直接代入圆面积公式即可计算；
2. 再求正十二边形的面积$S_1$：正十二边形可以拆分为12个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长等于圆的半径，顶角为正十二边形的中心角（$360°÷12=30°$），先计算单个等腰三角形的面积，再乘12即可得到$S_1$；
3. 最后将$S$与$S_1$作差，按要求保留两位小数即可。
【解析】
解：
∵$\odot O$的半径为1，
∴$\odot O$的面积$S=π r^2=π×1^2=π\approx3.1416$。
∵圆内接正十二边形的中心角为$360°÷12=30°$，
∴正十二边形可分割为12个腰长为1、顶角为$30°$的全等等腰三角形，
单个等腰三角形的面积为：$\frac{1}{2}×1×1×\sin30°=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
∴正十二边形的面积$S_1=12×\frac{1}{4}=3$，
∴$S-S_1\approx3.1416-3\approx0.14$。
【答案】
0.14
【知识点】
圆的面积计算，正多边形与圆，三角形面积计算
【点评】
本题依托我国古代“割圆术”的数学背景出题，既考查了正多边形和圆的相关计算，也渗透了数学文化教育，解题核心是掌握将正多边形面积转化为多个等腰三角形面积之和的方法。
【难度系数】
0.75
