2. 生活中为了节省材料，常常要讨论面积的最值. 请回答下列问题：
(1)如图，有一边长为2的正八边形ABCDEFGH薄木片，要从中锯出一个面积最大的正方形，则其面积等于.
(2)如图，现有边长为a的正方形花布，问应该怎样裁剪，才能得到一个面积最大的正八边形花布来做一个形状为正八边形的风筝?

2. (1) $8+4\sqrt{2}$
(2)正八边形与正方形都是轴对称图形和中心对称图形，为了使其面积最大，正八边形的部分边在正方形的边上，因此从四个角各剪去一个直角边为$\frac{2-\sqrt{2}}{2}a$ 的等腰直角三角形，才能得到一个面积最大的正八边形.

【分析】
(1) 要在正八边形中得到面积最大的正方形，需使正方形的四个顶点都在正八边形的外接圆上，此时正方形的对角线等于正八边形外接圆的直径。首先根据正八边形的边长求出外接圆半径，再利用正方形对角线与面积的关系计算即可。
(2) 要在正方形中裁剪出最大的正八边形，需利用图形对称性，在正方形四个角各剪去全等的等腰直角三角形，使剪去后得到的图形各边相等，据此设未知数列方程求解剪去的等腰直角三角形的直角边长即可。
【解析】
(1) 正八边形的中心角为$360° ÷ 8=45°$，设其外接圆半径为$R$。
已知正八边形边长为2，由正多边形边长与外接圆半径的关系：$l=2R\sin\frac{θ}{2}$（$θ$为中心角），代入得$2=2R\sin22.5°$，即$R=\frac{1}{\sin22.5°}$。
面积最大的正方形内接于正八边形的外接圆，其对角线长为$2R$。
正方形面积公式为$S=\frac{1}{2}× \mathrm{对角线}^2$，代入得：
$S=\frac{1}{2}× (2R)^2=2R^2$
由特殊角三角函数值，$\sin22.5°=\sqrt{\frac{1-\cos45°}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$，因此：
$R^2=\frac{1}{\sin^222.5°}=\frac{4}{2-\sqrt{2}}=4+2\sqrt{2}$
故$S=2×(4+2\sqrt{2})=8+4\sqrt{2}$。
(2) 要得到面积最大的正八边形，结合正八边形和正方形的对称性，需在正方形四个角各剪去一个全等的等腰直角三角形。
设剪去的等腰直角三角形的直角边长为$x$，则三角形的斜边长为$\sqrt{2}x$，原正方形边上剩余的长度为$a-2x$。
正八边形各边相等，因此$\sqrt{2}x=a-2x$，
解方程：$x(2+\sqrt{2})=a$，得$x=\frac{a}{2+\sqrt{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}a$。
即从正方形四个角各剪去一个直角边长为$\frac{2-\sqrt{2}}{2}a$的等腰直角三角形，即可得到面积最大的正八边形。
【答案】
(1) $8+4\sqrt{2}$
(2) 从正方形的四个角各剪去一个直角边为$\frac{2-\sqrt{2}}{2}a$ 的等腰直角三角形，就能得到面积最大的正八边形。
【知识点】
1. 正多边形的性质
2. 轴对称的应用
3. 二次根式的运算
【点评】
本题结合生活中的裁剪最值问题，考查正多边形与正方形的性质应用，解题的核心是利用图形对称性找到边长的等量关系，既需要掌握正多边形和圆的相关知识，也要求具备一定的方程思想和运算能力，实用性较强。
【难度系数】
0.6