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8.如图,三个正比例函数的图象分别对应表达式:①$y=ax$,②$y=bx$,③$y=cx$。将$a,b,c$从小到大排列并用“＜”连接为
$a＜c＜b$
。答案
$a＜c＜b$
解析
【分析】
要比较a、b、c的大小，需结合正比例函数y=kx的图象性质分析：首先根据图象经过的象限判断k的正负，k＞0时图象过一、三象限，k＜0时图象过二、四象限；再根据直线的陡峭程度判断|k|的大小，|k|越大，直线越靠近y轴（越陡），最后结合正负性排序即可。
【解析】
1. 判断系数正负：
观察图象，表达式①$y=ax$的图象经过第二、四象限，因此$a＜0$；
表达式②$y=bx$、③$y=cx$的图象都经过第一、三象限，因此$b＞0$，$c＞0$。
2. 比较正数系数的大小：
直线②比直线③更陡，说明$|b|＞|c|$，由于b、c均为正数，因此$b＞c$。
3. 综合排序：
负数小于所有正数，因此$a＜c＜b$。
【答案】
$a＜c＜b$
【知识点】
正比例函数的图象与性质
【点评】
本题考查正比例函数中系数k与图象的对应关系，解题的核心是熟记k的正负决定图象经过的象限、|k|的大小决定直线的倾斜程度，掌握性质即可快速判断系数大小。
【难度系数】
0.8
要比较a、b、c的大小，需结合正比例函数y=kx的图象性质分析：首先根据图象经过的象限判断k的正负，k＞0时图象过一、三象限，k＜0时图象过二、四象限；再根据直线的陡峭程度判断|k|的大小，|k|越大，直线越靠近y轴（越陡），最后结合正负性排序即可。
【解析】
1. 判断系数正负：
观察图象，表达式①$y=ax$的图象经过第二、四象限，因此$a＜0$；
表达式②$y=bx$、③$y=cx$的图象都经过第一、三象限，因此$b＞0$，$c＞0$。
2. 比较正数系数的大小：
直线②比直线③更陡，说明$|b|＞|c|$，由于b、c均为正数，因此$b＞c$。
3. 综合排序：
负数小于所有正数，因此$a＜c＜b$。
【答案】
$a＜c＜b$
【知识点】
正比例函数的图象与性质
【点评】
本题考查正比例函数中系数k与图象的对应关系，解题的核心是熟记k的正负决定图象经过的象限、|k|的大小决定直线的倾斜程度，掌握性质即可快速判断系数大小。
【难度系数】
0.8
9.如图，点B、C分别在两条直线$y=2x$和$y=kx$上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k值为
$\frac{2}{3}$
。答案
$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
我们可以通过设参数表示线段OA的长度，先利用正比例函数y=2x的性质求出点B的坐标，再结合正方形边长相等、邻边垂直的性质，推导出点C的坐标，最后将点C坐标代入正比例函数y=kx中，即可求出k的值。
【解析】
设OA的长度为a（a＞0）：
1. 求点B坐标：点B在直线y=2x上，且横坐标与A点相同为a，代入解析式得y=2a，因此B点坐标为(a, 2a)，可得正方形边长AB=2a。
2. 求点C坐标：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD=DC=2a，且DC⊥x轴，因此OD=OA+AD=a+2a=3a，点C的横坐标为3a，纵坐标与AB长度相等为2a，即C点坐标为(3a, 2a)。
3. 求k值：将C(3a, 2a)代入y=kx，得2a=3a·k，因为a≠0，两边同时除以a得3k=2，解得k=$\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
正比例函数的性质、正方形的性质
【点评】
本题是一次函数与几何图形结合的基础题型，解题核心是通过设参数法用同一参数表示出目标点的坐标，再利用函数图象上的点满足函数解析式建立方程求解，很好地考察了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
我们可以通过设参数表示线段OA的长度，先利用正比例函数y=2x的性质求出点B的坐标，再结合正方形边长相等、邻边垂直的性质，推导出点C的坐标，最后将点C坐标代入正比例函数y=kx中，即可求出k的值。
【解析】
设OA的长度为a（a＞0）：
1. 求点B坐标：点B在直线y=2x上，且横坐标与A点相同为a，代入解析式得y=2a，因此B点坐标为(a, 2a)，可得正方形边长AB=2a。
2. 求点C坐标：因为四边形ABCD是正方形，所以AB=AD=DC=2a，且DC⊥x轴，因此OD=OA+AD=a+2a=3a，点C的横坐标为3a，纵坐标与AB长度相等为2a，即C点坐标为(3a, 2a)。
3. 求k值：将C(3a, 2a)代入y=kx，得2a=3a·k，因为a≠0，两边同时除以a得3k=2，解得k=$\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
正比例函数的性质、正方形的性质
【点评】
本题是一次函数与几何图形结合的基础题型，解题核心是通过设参数法用同一参数表示出目标点的坐标，再利用函数图象上的点满足函数解析式建立方程求解，很好地考察了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在平面直角坐标系中,函数 $ y = 2x $ 和 $ y = -x $ 的图象分别为直线 $ l_1, l_2 $。过点(1,0)作x轴的垂线交$ l_1 $于点$ A_1 $,过点$ A_1 $作y轴的垂线交$ l_2 $于点$ A_2 $,过点$ A_2 $作x轴的垂线交$ l_1 $于点$ A_3 $,过点$ A_3 $作y轴的垂线交$ l_2 $于点$ A_4 $……依次进行下去,则点$ A_{2025} $的坐标为
$(2^{1012},2^{1013})$
。答案
$(2^{1012},2^{1013})$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先按照题目给出的操作步骤，依次求出前几个点的坐标，观察奇数序号点的坐标变化规律，再根据规律推导点$A_{2025}$的坐标。具体思路：1. 先根据直线解析式求出$A_1、A_2、A_3、A_4、A_5$的坐标；2. 重点观察序号为奇数的点的横、纵坐标的数值规律和符号规律；3. 判断2025对应的规律类型，代入计算即可得到结果。
【解析】
第一步：求前几个点的坐标
① 过点$(1,0)$作x轴垂线，即$x=1$，代入$y=2x$得$y=2×1=2$，故$A_1(1,2)$；
② 过$A_1$作y轴垂线，即$y=2$，代入$y=-x$得$x=-2$，故$A_2(-2,2)$；
③ 过$A_2$作x轴垂线，即$x=-2$，代入$y=2x$得$y=2×(-2)=-4$，故$A_3(-2,-4)$；
④ 过$A_3$作y轴垂线，即$y=-4$，代入$y=-x$得$x=4$，故$A_4(4,-4)$；
⑤ 过$A_4$作x轴垂线，即$x=4$，代入$y=2x$得$y=2×4=8$，故$A_5(4,8)$。
第二步：找奇数序号点的规律
观察奇数序号的点：
$A_1$（序号1，$1=4×0+1$）：坐标为$(2^0,2^1)$，在第一象限；
$A_3$（序号3，$3=4×0+3$）：坐标为$(-2^1,-2^2)$，在第三象限；
$A_5$（序号5，$5=4×1+1$）：坐标为$(2^2,2^3)$，在第一象限；
……
可得规律：当序号为$4k+1$（$k$为非负整数）时，点在第一象限，坐标为$(2^{2k},2^{2k+1})$。
第三步：计算$A_{2025}$的坐标
因为$2025=4×506+1$，对应$k=506$，则$2k=1012$，$2k+1=1013$，所以$A_{2025}$的坐标为$(2^{1012},2^{1013})$。
【答案】
$(2^{1012},2^{1013})$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；规律型点的坐标
【点评】
本题是规律探索类问题，核心是结合一次函数的解析式求出前几个点的坐标，通过观察坐标的变化特征总结出通用规律，再运用规律求解目标点坐标，解题过程用到了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，我们可以先按照题目给出的操作步骤，依次求出前几个点的坐标，观察奇数序号点的坐标变化规律，再根据规律推导点$A_{2025}$的坐标。具体思路：1. 先根据直线解析式求出$A_1、A_2、A_3、A_4、A_5$的坐标；2. 重点观察序号为奇数的点的横、纵坐标的数值规律和符号规律；3. 判断2025对应的规律类型，代入计算即可得到结果。
【解析】
第一步：求前几个点的坐标
① 过点$(1,0)$作x轴垂线，即$x=1$，代入$y=2x$得$y=2×1=2$，故$A_1(1,2)$；
② 过$A_1$作y轴垂线，即$y=2$，代入$y=-x$得$x=-2$，故$A_2(-2,2)$；
③ 过$A_2$作x轴垂线，即$x=-2$，代入$y=2x$得$y=2×(-2)=-4$，故$A_3(-2,-4)$；
④ 过$A_3$作y轴垂线，即$y=-4$，代入$y=-x$得$x=4$，故$A_4(4,-4)$；
⑤ 过$A_4$作x轴垂线，即$x=4$，代入$y=2x$得$y=2×4=8$，故$A_5(4,8)$。
第二步：找奇数序号点的规律
观察奇数序号的点：
$A_1$（序号1，$1=4×0+1$）：坐标为$(2^0,2^1)$，在第一象限；
$A_3$（序号3，$3=4×0+3$）：坐标为$(-2^1,-2^2)$，在第三象限；
$A_5$（序号5，$5=4×1+1$）：坐标为$(2^2,2^3)$，在第一象限；
……
可得规律：当序号为$4k+1$（$k$为非负整数）时，点在第一象限，坐标为$(2^{2k},2^{2k+1})$。
第三步：计算$A_{2025}$的坐标
因为$2025=4×506+1$，对应$k=506$，则$2k=1012$，$2k+1=1013$，所以$A_{2025}$的坐标为$(2^{1012},2^{1013})$。
【答案】
$(2^{1012},2^{1013})$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；规律型点的坐标
【点评】
本题是规律探索类问题，核心是结合一次函数的解析式求出前几个点的坐标，通过观察坐标的变化特征总结出通用规律，再运用规律求解目标点坐标，解题过程用到了从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.4
1.一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象是一条
直线
，因此画一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象时，通常描出它与$x$轴的交点($-\frac{b}{k}$
,0)和它与$y$轴的交点(0,$b$
)，再过这两点确定一条直线即可。答案
1. 直线 $-\frac{b}{k}$ $b$
解析
【分析】
本题考查一次函数的基础概念，解题思路如下：
1. 首先回忆一次函数的图象性质，对应填写第一空；
2. 求函数与x轴的交点时，根据x轴上点的纵坐标恒为0的特征，把y=0代入一次函数解析式，解出x的值即可得到交点的横坐标；
3. 求函数与y轴的交点时，根据y轴上点的横坐标恒为0的特征，把x=0代入一次函数解析式，解出y的值即可得到交点的纵坐标。
【解析】
1. 根据一次函数的图象性质，一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象是一条直线；
2. 求与x轴的交点：令$y=0$，代入解析式得$0=kx+b$，移项得$kx=-b$，因为$k≠0$，两边同时除以$k$得$x=-\frac{b}{k}$，因此与x轴交点为$(-\frac{b}{k},0)$；
3. 求与y轴的交点：令$x=0$，代入解析式得$y=k×0 + b = b$，因此与y轴交点为$(0,b)$。
【答案】
直线 $-\frac{b}{k}$ $b$
【知识点】
一次函数的图象特征，一次函数与坐标轴交点计算
【点评】
本题属于基础概念题，侧重考察一次函数的核心基础性质，两点法画一次函数图象是常用技能，相关知识点是后续学习一次函数图象变换、实际应用的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查一次函数的基础概念，解题思路如下：
1. 首先回忆一次函数的图象性质，对应填写第一空；
2. 求函数与x轴的交点时，根据x轴上点的纵坐标恒为0的特征，把y=0代入一次函数解析式，解出x的值即可得到交点的横坐标；
3. 求函数与y轴的交点时，根据y轴上点的横坐标恒为0的特征，把x=0代入一次函数解析式，解出y的值即可得到交点的纵坐标。
【解析】
1. 根据一次函数的图象性质，一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象是一条直线；
2. 求与x轴的交点：令$y=0$，代入解析式得$0=kx+b$，移项得$kx=-b$，因为$k≠0$，两边同时除以$k$得$x=-\frac{b}{k}$，因此与x轴交点为$(-\frac{b}{k},0)$；
3. 求与y轴的交点：令$x=0$，代入解析式得$y=k×0 + b = b$，因此与y轴交点为$(0,b)$。
【答案】
直线 $-\frac{b}{k}$ $b$
【知识点】
一次函数的图象特征，一次函数与坐标轴交点计算
【点评】
本题属于基础概念题，侧重考察一次函数的核心基础性质，两点法画一次函数图象是常用技能，相关知识点是后续学习一次函数图象变换、实际应用的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
2.一次函数 $ y=kx+b \ (k≠0) $中，k,b值的正、负对函数图象的影响。
(1)当 $ k＞0 $时，直线 $ y=kx+b $由左至右
当 $ k＜0 $时，直线 $ y=kx+b $由左至右
y的值随x值的增大而
(2)当 $ k＞0,b＞0 $时，直线 $ y=kx+b $一定经过
当 $ k＞0,b＜0 $时，直线 $ y=kx+b $一定经过
当 $ k＜0,b＞0 $时，直线 $ y=kx+b $一定经过
当 $ k＜0,b＜0 $时，直线 $ y=kx+b $一定经过
(3)一次函数 $ y=kx+b $的图象经过点
(1)当 $ k＞0 $时，直线 $ y=kx+b $由左至右
上升
，y的值随x值的增大而增大
；当 $ k＜0 $时，直线 $ y=kx+b $由左至右
下降
，y的值随x值的增大而
减小
。(2)当 $ k＞0,b＞0 $时，直线 $ y=kx+b $一定经过
第一、二、三
象限；当 $ k＞0,b＜0 $时，直线 $ y=kx+b $一定经过
第一、三、四
象限；当 $ k＜0,b＞0 $时，直线 $ y=kx+b $一定经过
第一、二、四
象限；当 $ k＜0,b＜0 $时，直线 $ y=kx+b $一定经过
第二、三、四
象限。(3)一次函数 $ y=kx+b $的图象经过点
$(0,b)$
，与函数 $ y=kx $的图象平行。答案
2.(1)上升 增大 下降 减小
(2)第一、二、三 第一、三、四 第一、二、四 第二、三、四
3.$(0,b)$
(2)第一、二、三 第一、三、四 第一、二、四 第二、三、四
3.$(0,b)$
解析
【分析】
本题考查一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中$k$、$b$的取值对图象和性质的影响，解题时可分三步思考：①先明确$k$的意义和对增减性的影响：$k$决定直线的倾斜方向，$k＞0$直线斜向上，$k＜0$直线斜向下，对应增减性相反；②再明确$b$的意义：$b$是直线与$y$轴交点的纵坐标，$b＞0$交点在$y$轴正半轴，$b＜0$交点在$y$轴负半轴，结合$k$的取值就能判断直线经过的象限；③求一次函数与$y$轴交点时令$x=0$即可算出对应$y$值，两个一次函数$k$值相等则图象平行。
【解析】
(1) 根据$k$的性质：当$k＞0$时，直线$y=kx+b$倾斜向上，因此由左至右上升，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，直线$y=kx+b$倾斜向下，因此由左至右下降，$y$随$x$的增大而减小。
(2) 结合$k$、$b$的共同影响判断经过的象限：
当$k＞0,b＞0$时：$k＞0$说明直线过第一、三象限，$b＞0$说明直线与$y$轴交于正半轴，额外过第二象限，因此共经过第一、二、三象限；
当$k＞0,b＜0$时：$k＞0$过第一、三象限，$b＜0$说明直线与$y$轴交于负半轴，额外过第四象限，因此共经过第一、三、四象限；
当$k＜0,b＞0$时：$k＜0$说明直线过第二、四象限，$b＞0$说明直线与$y$轴交于正半轴，额外过第一象限，因此共经过第一、二、四象限；
当$k＜0,b＜0$时：$k＜0$过第二、四象限，$b＜0$说明直线与$y$轴交于负半轴，额外过第三象限，因此共经过第二、三、四象限。
(3) 求直线与$y$轴的交点：令$x=0$，代入$y=kx+b$得$y=b$，因此图象经过点$(0,b)$；两个一次函数的$k$值相等时，图象互相平行，因此$y=kx+b$与$y=kx$的图象平行。
【答案】
(1)上升；增大；下降；减小
(2)第一、二、三；第一、三、四；第一、二、四；第二、三、四
(3)$(0,b)$
【知识点】
一次函数的性质；一次函数与系数的关系；一次函数图象特征
【点评】
本题是一次函数的基础概念题，核心考查$k$、$b$两个参数对一次函数图象走向、增减性、经过象限的影响，是一次函数相关内容的核心基础知识点，需要熟练掌握并能灵活运用判断函数图象特征。
【难度系数】
0.85
本题考查一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中$k$、$b$的取值对图象和性质的影响，解题时可分三步思考：①先明确$k$的意义和对增减性的影响：$k$决定直线的倾斜方向，$k＞0$直线斜向上，$k＜0$直线斜向下，对应增减性相反；②再明确$b$的意义：$b$是直线与$y$轴交点的纵坐标，$b＞0$交点在$y$轴正半轴，$b＜0$交点在$y$轴负半轴，结合$k$的取值就能判断直线经过的象限；③求一次函数与$y$轴交点时令$x=0$即可算出对应$y$值，两个一次函数$k$值相等则图象平行。
【解析】
(1) 根据$k$的性质：当$k＞0$时，直线$y=kx+b$倾斜向上，因此由左至右上升，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，直线$y=kx+b$倾斜向下，因此由左至右下降，$y$随$x$的增大而减小。
(2) 结合$k$、$b$的共同影响判断经过的象限：
当$k＞0,b＞0$时：$k＞0$说明直线过第一、三象限，$b＞0$说明直线与$y$轴交于正半轴，额外过第二象限，因此共经过第一、二、三象限；
当$k＞0,b＜0$时：$k＞0$过第一、三象限，$b＜0$说明直线与$y$轴交于负半轴，额外过第四象限，因此共经过第一、三、四象限；
当$k＜0,b＞0$时：$k＜0$说明直线过第二、四象限，$b＞0$说明直线与$y$轴交于正半轴，额外过第一象限，因此共经过第一、二、四象限；
当$k＜0,b＜0$时：$k＜0$过第二、四象限，$b＜0$说明直线与$y$轴交于负半轴，额外过第三象限，因此共经过第二、三、四象限。
(3) 求直线与$y$轴的交点：令$x=0$，代入$y=kx+b$得$y=b$，因此图象经过点$(0,b)$；两个一次函数的$k$值相等时，图象互相平行，因此$y=kx+b$与$y=kx$的图象平行。
【答案】
(1)上升；增大；下降；减小
(2)第一、二、三；第一、三、四；第一、二、四；第二、三、四
(3)$(0,b)$
【知识点】
一次函数的性质；一次函数与系数的关系；一次函数图象特征
【点评】
本题是一次函数的基础概念题，核心考查$k$、$b$两个参数对一次函数图象走向、增减性、经过象限的影响，是一次函数相关内容的核心基础知识点，需要熟练掌握并能灵活运用判断函数图象特征。
【难度系数】
0.85
