例1 已知一次函数$y=2x+4$。
(1)在如图所示的直角坐标系中画出函数的图象；
(2)求图象与$x$轴的交点$A$的坐标以及与$y$轴的交点$B$的坐标；
(3)在(2)的条件下求$△ AOB$的面积；
(4)利用图象直接写出当$y＜0$时，$x$的取值范围。

[点拨] 本题主要考查一次函数的图象及其点的坐标特征，正确求出一次函数与$x$轴和$y$轴的交点是解题的关键。
[解] (1)当$x=0$时，$y=4$；
当$y=0$时，$x=-2$。
图象如图所示。

(2)$A(-2,0),B(0,4)$。
(3)$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}× OA× OB=\dfrac{1}{2}× 2× 4=4$。
(4)$x＜-2$。

解：
(1) 当$x=0$时，$y=4$；当$y=0$时，$x=-2$。
在直角坐标系中描出点$(-2,0)$和点$(0,4)$，过这两点作直线，所得直线即为函数$y=2x+4$的图象。
(2) 把$y=0$代入$y=2x+4$，得$2x+4=0$，解得$x=-2$，因此图象与$x$轴的交点$A$的坐标为$(-2,0)$；
把$x=0$代入$y=2x+4$，得$y=4$，因此图象与$y$轴的交点$B$的坐标为$(0,4)$。
(3) 由$A(-2,0)$，$B(0,4)$可得$OA=2$，$OB=4$，
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×2×4=4$。
(4) 由图象可得，当$y＜0$时，$x$的取值范围是$x＜-2$。

【分析】
1. 画一次函数图象：一次函数图象是直线，根据“两点确定一条直线”的原理，只需找到函数与x轴、y轴的两个交点，描点后连线即可完成作图。
2. 求与坐标轴交点坐标：x轴上所有点的纵坐标为0，y轴上所有点的横坐标为0，分别将y=0、x=0代入函数解析式，计算对应的横、纵坐标，就能得到A、B两点的坐标。
3. 求△AOB的面积：△AOB是以原点O为直角顶点的直角三角形，两条直角边长度分别为OA（A点横坐标的绝对值）和OB（B点纵坐标的绝对值），代入直角三角形面积公式计算即可。
4. 求y＜0时x的取值范围：y＜0对应图象在x轴下方的部分，直接观察该部分图象对应的x的取值范围即可。
【解析】
(1) 计算特殊点坐标：当$x=0$时，代入$y=2x+4$得$y=4$；当$y=0$时，代入$y=2x+4$得$2x+4=0$，解得$x=-2$。在直角坐标系中描出点$(-2,0)$和点$(0,4)$，过这两点作直线，所得直线即为函数$y=2x+4$的图象。
(2) 求x轴交点A：把$y=0$代入$y=2x+4$，得$2x+4=0$，解得$x=-2$，因此A点坐标为$(-2,0)$；求y轴交点B：把$x=0$代入$y=2x+4$，得$y=4$，因此B点坐标为$(0,4)$。
(3) 由$A(-2,0)$得$OA=|-2|=2$，由$B(0,4)$得$OB=|4|=4$，根据直角三角形面积公式：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×2×4=4$。
(4) 观察函数图象，图象位于x轴下方时对应的函数值$y＜0$，此时x的取值范围是$x＜-2$。
【答案】
(1) 过点$(-2,0)$和$(0,4)$的直线，图象见解析；
(2) $A(-2,0)$，$B(0,4)$；
(3) $4$；
(4) $x＜-2$。
【知识点】
一次函数图象画法，坐标轴点的坐标特征，一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考查了两点法画一次函数图象、函数与坐标轴交点求解、直角三角形面积计算以及数形结合解不等式的能力，解题核心是掌握坐标轴上点的坐标特征，数形结合思想能帮助快速解决取值范围类问题。
【难度系数】
0.8

|变式训练1| 已知一次函数 $y=-\frac{2}{3}x+2$ 的图象分别与x轴、y轴交于点A，B。
(1)请直接写出A，B两点的坐标；
(2)在直角坐标系中画出函数的图象；
(3)在平面内有一点C(5，3)，连接AC，BC，则△ABC是 三角形。

解:(1)令 $y=0$,则 $x=3$,即 $A(3,0)$。
令 $x=0$,则 $y=2$,即 $B(0,2)$。
(2)如图所示。

(3)因为 $A(3,0),B(0,2),C(5,3)$,
所以 $AB^2=3^2+2^2=13,BC^2=5^2+1^2=26$,
$AC^2=2^2+3^2=13$,
所以 $BC^2=AB^2+AC^2$,且 $AB=AC$,
所以$∠CAB=90°$,
所以$△ABC$是等腰直角三角形。

【分析】
(1)求一次函数与坐标轴的交点坐标，利用x轴上点的纵坐标为0、y轴上点的横坐标为0的特点，分别代入函数解析式计算即可得到A、B两点的坐标；
(2)一次函数的图象是直线，根据“两点确定一条直线”，连接求出的A、B两点就能画出该函数的图象；
(3)判断三角形形状时，借助网格特点，通过勾股定理计算AB、BC、AC三边长度的平方，先判断是否有边相等，再验证是否满足勾股定理的逆定理，即可得出三角形的类型。
【解析】
(1)求x轴交点A：令$y=0$，代入$y=-\frac{2}{3}x+2$，得$0=-\frac{2}{3}x+2$，解得$x=3$，即$A(3,0)$；
求y轴交点B：令$x=0$，代入$y=-\frac{2}{3}x+2$，得$y=2$，即$B(0,2)$。
(2)在坐标系中描出A(3,0)、B(0,2)两点，过两点画直线，即为函数$y=-\frac{2}{3}x+2$的图象，如图所示：

(3)已知$A(3,0)$，$B(0,2)$，$C(5,3)$，分别计算三边长度的平方：
$AB^2=(3-0)^2+(0-2)^2=3^2+2^2=13$，
$AC^2=(5-3)^2+(3-0)^2=2^2+3^2=13$，
$BC^2=(5-0)^2+(3-2)^2=5^2+1^2=26$。
由计算结果可知$AB=AC$，且$AB^2+AC^2=13+13=26=BC^2$，满足勾股定理的逆定理，即$∠ CAB=90°$，因此△ABC为等腰直角三角形。
【答案】
(1) $A(3,0)$，$B(0,2)$；
(2) ；
(3) 等腰直角
【知识点】
一次函数与坐标轴交点，勾股定理逆定理，等腰直角三角形判定
【点评】
本题是一次函数与几何结合的基础题型，前两问考察一次函数的基础性质和图象画法，第三问将坐标运算与勾股定理结合，侧重考察基础知识的综合运用能力，符合函数入门阶段的考察要求。
【难度系数】
0.7

例2 将正比例函数 $ y=-2x $ 的图象向上平移3个单位长度，平移后所得图象的函数表达式是。
[点拨] 本题考查正比例函数与一次函数的图象和性质。一次函数图象通过平移后，k值不变。根据平移规律可得，平移后点的坐标的变换规律是“上加下减，左加右减”，根据这一规律求解即可。
[解] 因为正比例函数 $ y=-2x $ 的图象经过原点$(0,0)$，
所以将正比例函数 $ y=-2x $ 的图象向上平移3个单位长度后，经过点$(0,3)$，且k值不变，
所以将正比例函数 $ y=-2x $ 的图象向上平移3个单位长度后，表达式为 $ y=-2x+3 $。

解：
正比例函数$y=-2x$的图象经过原点$(0,0)$，将其向上平移3个单位长度后，原点平移至点$(0,3)$，且平移后函数的$k$值不变，仍为$-2$。
设平移后的函数表达式为$y=-2x+b$，将点$(0,3)$代入表达式，可得$b=3$。
所以平移后所得图象的函数表达式是$\boldsymbol{y=-2x+3}$。

【分析】
遇到一次函数图象平移的问题，首先要明确一次函数平移时k值保持不变，这是解题的核心。我们可以通过两种思路求解：一是直接利用平移口诀“上加下减常数项”，向上平移几个单位就直接在原函数表达式后加几；二是先找到原函数上的特殊点（比如正比例函数过原点(0,0)），算出该点平移后的坐标，再结合不变的k值，用待定系数法求出平移后的函数表达式。
【解析】
正比例函数$y=-2x$的图象经过原点$(0,0)$，将其图象向上平移3个单位长度后，原点也随之向上平移3个单位，得到对应点$(0,3)$。
一次函数图象平移后k值不变，因此平移后函数的k值仍为$-2$，设平移后的函数表达式为$y=-2x+b$。
将点$(0,3)$代入表达式，可得$3=-2×0+b$，解得$b=3$。
因此平移后所得图象的函数表达式为$y=-2x+3$。
【答案】
$y=-2x+3$
【知识点】
1. 一次函数图象平移规律
2. 待定系数法求函数表达式
【点评】
本题是一次函数平移的常规基础题，解题关键是牢记一次函数平移时k值不变的性质，既可以通过特殊点平移后代入求解，也可以直接运用平移口诀快速得出结果，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9