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|变式训练2| 若将直线$y=kx(k≠0)$向上平移3个单位长度后经过点$(2,7)$，则平移后的函数表达式为
$y=2x+3$
。答案
$y=2x+3$
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，回忆一次函数图象上下平移的规律：上下平移时，对函数表达式的常数项进行“上加下减”操作，向上平移3个单位，因此平移后的函数表达式可先写为y=kx+3的形式；第二步，已知平移后的直线经过点(2,7)，说明该点坐标满足平移后的函数式，将点坐标代入表达式即可求出k的值，进而得到最终的平移后函数表达式。
【解析】
1. 根据一次函数平移“上加下减”的规律，直线$y=kx(k≠0)$向上平移3个单位长度后，所得函数表达式为：$y=kx+3$；
2. 因为平移后的直线经过点$(2,7)$，将$x=2$，$y=7$代入$y=kx+3$中，可得：
$7 = 2k + 3$
解方程得：$2k = 7 - 3 = 4$，即$k=2$；
3. 将$k=2$代入$y=kx+3$，即可得到平移后的函数表达式。
【答案】
$y=2x+3$
【知识点】
一次函数平移规律、待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，核心是牢记一次函数平移的规律，熟练运用待定系数法代入已知点坐标求解未知参数即可，计算难度低，是对基础知识点的直接考查。
【难度系数】
0.8
解题时可分两步思考：第一步，回忆一次函数图象上下平移的规律：上下平移时，对函数表达式的常数项进行“上加下减”操作，向上平移3个单位，因此平移后的函数表达式可先写为y=kx+3的形式；第二步，已知平移后的直线经过点(2,7)，说明该点坐标满足平移后的函数式，将点坐标代入表达式即可求出k的值，进而得到最终的平移后函数表达式。
【解析】
1. 根据一次函数平移“上加下减”的规律，直线$y=kx(k≠0)$向上平移3个单位长度后，所得函数表达式为：$y=kx+3$；
2. 因为平移后的直线经过点$(2,7)$，将$x=2$，$y=7$代入$y=kx+3$中，可得：
$7 = 2k + 3$
解方程得：$2k = 7 - 3 = 4$，即$k=2$；
3. 将$k=2$代入$y=kx+3$，即可得到平移后的函数表达式。
【答案】
$y=2x+3$
【知识点】
一次函数平移规律、待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，核心是牢记一次函数平移的规律，熟练运用待定系数法代入已知点坐标求解未知参数即可，计算难度低，是对基础知识点的直接考查。
【难度系数】
0.8
1. 一次函数$y=2x-3$的图象大致是( 
)
)答案
1. B
解析
【分析】
要判断一次函数的图象，需结合一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与系数k、b的关系逐步分析：第一步先根据k的正负判断直线的倾斜方向，排除不符合的选项；第二步再根据b的正负判断直线与y轴的交点位置，最终确定正确选项。
【解析】
一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$，k、b为常数），其图象性质为：
1. 当$k＞0$时，直线从左下向右上倾斜，经过第一、三象限；当$k＜0$时，直线从左上向右下倾斜，经过第二、四象限。
本题中函数$y=2x-3$的$k=2＞0$，因此图象经过一、三象限，排除倾斜方向错误的选项C、D。
2. $b$是直线与y轴交点的纵坐标：当$b＞0$时，交点在y轴正半轴；当$b＜0$时，交点在y轴负半轴。
本题中$b=-3＜0$，因此直线与y轴交于负半轴，排除交于y轴正半轴的选项A，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是一次函数图象判断的基础题型，通过系数k和b的性质结合排除法即可快速解题，是对一次函数基本性质的直接考查。
【难度系数】
0.8
要判断一次函数的图象，需结合一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与系数k、b的关系逐步分析：第一步先根据k的正负判断直线的倾斜方向，排除不符合的选项；第二步再根据b的正负判断直线与y轴的交点位置，最终确定正确选项。
【解析】
一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$，k、b为常数），其图象性质为：
1. 当$k＞0$时，直线从左下向右上倾斜，经过第一、三象限；当$k＜0$时，直线从左上向右下倾斜，经过第二、四象限。
本题中函数$y=2x-3$的$k=2＞0$，因此图象经过一、三象限，排除倾斜方向错误的选项C、D。
2. $b$是直线与y轴交点的纵坐标：当$b＞0$时，交点在y轴正半轴；当$b＜0$时，交点在y轴负半轴。
本题中$b=-3＜0$，因此直线与y轴交于负半轴，排除交于y轴正半轴的选项A，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是一次函数图象判断的基础题型，通过系数k和b的性质结合排除法即可快速解题，是对一次函数基本性质的直接考查。
【难度系数】
0.8
2.一次函数$y=-3x+5$的图象不经过的象限是(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
2. C
解析
【分析】
要判断一次函数图象不经过的象限，我们需要先明确一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中两个系数的作用：$k$的符号决定直线的倾斜方向，$b$的符号决定直线与y轴交点的位置。解题时先提取题目中函数对应的$k$、$b$的值，再分别判断两个系数的符号，结合对应规律就能推出图象经过的所有象限，最终找到不经过的象限。
【解析】
对于一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k≠0$），解题步骤如下：
1. 确定本题函数的系数：在$y=-3x+5$中，$k=-3$，$b=5$。
2. 分析$k$的影响：因为$k=-3＜0$，直线从左上向右下倾斜，因此必然经过第二、四象限。
3. 分析$b$的影响：因为$b=5＞0$，直线与y轴交于正半轴（$x=0$时$y=5$，在原点上方），因此直线还会经过第一象限。
综上，该一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象性质；一次函数系数与图象象限的关系
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考察一次函数中$k$、$b$的符号和图象所在象限的对应规律，牢记规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
要判断一次函数图象不经过的象限，我们需要先明确一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中两个系数的作用：$k$的符号决定直线的倾斜方向，$b$的符号决定直线与y轴交点的位置。解题时先提取题目中函数对应的$k$、$b$的值，再分别判断两个系数的符号，结合对应规律就能推出图象经过的所有象限，最终找到不经过的象限。
【解析】
对于一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k≠0$），解题步骤如下：
1. 确定本题函数的系数：在$y=-3x+5$中，$k=-3$，$b=5$。
2. 分析$k$的影响：因为$k=-3＜0$，直线从左上向右下倾斜，因此必然经过第二、四象限。
3. 分析$b$的影响：因为$b=5＞0$，直线与y轴交于正半轴（$x=0$时$y=5$，在原点上方），因此直线还会经过第一象限。
综上，该一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象性质；一次函数系数与图象象限的关系
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考察一次函数中$k$、$b$的符号和图象所在象限的对应规律，牢记规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
3.已知$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$是一次函数$y=-\frac{1}{3}x+2$图象上的两个点,则下列判断中正确的是(
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.当$x_1＜x_2$时,$y_1＜y_2$
D.当$x_1＜x_2$时,$y_1＞y_2$
D
)A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.当$x_1＜x_2$时,$y_1＜y_2$
D.当$x_1＜x_2$时,$y_1＞y_2$
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查一次函数的增减性判断，解题思路如下：第一步先确定一次函数解析式中k的取值，k的正负决定函数的增减性；第二步根据k＜0可得y随x的增大而减小；第三步结合选项判断：没有给出x₁、x₂的大小关系时无法直接比较y₁、y₂的大小，给出x的大小关系时可根据增减性判断y的大小关系。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）：
当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
本题中一次函数为$y=-\frac{1}{3}x+2$，其中$k=-\frac{1}{3}＜0$，因此该函数$y$随$x$的增大而减小。
选项A、B未给出$x_1$和$x_2$的大小关系，无法判断$y_1$与$y_2$的大小，故A、B错误；
当$x_1＜x_2$时，根据函数增减性，可得$y_1＞y_2$，因此C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查一次函数增减性的应用，解题核心是根据k的符号快速判断函数的增减规律，再结合自变量的大小关系对应判断函数值的大小。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数的增减性判断，解题思路如下：第一步先确定一次函数解析式中k的取值，k的正负决定函数的增减性；第二步根据k＜0可得y随x的增大而减小；第三步结合选项判断：没有给出x₁、x₂的大小关系时无法直接比较y₁、y₂的大小，给出x的大小关系时可根据增减性判断y的大小关系。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）：
当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
本题中一次函数为$y=-\frac{1}{3}x+2$，其中$k=-\frac{1}{3}＜0$，因此该函数$y$随$x$的增大而减小。
选项A、B未给出$x_1$和$x_2$的大小关系，无法判断$y_1$与$y_2$的大小，故A、B错误；
当$x_1＜x_2$时，根据函数增减性，可得$y_1＞y_2$，因此C错误，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查一次函数增减性的应用，解题核心是根据k的符号快速判断函数的增减规律，再结合自变量的大小关系对应判断函数值的大小。
【难度系数】
0.8
4.将直线$y=2x-1$向上平移3个单位长度，得到的函数表达式是
$y=2x+2$
。答案
4. $y=2x+2$
解析
【分析】
解决一次函数图象平移问题，首先要牢记平移规律：一次函数上下平移时，自变量x的系数保持不变，仅调整常数项，遵循“上加下减”的规则，即向上平移几个单位，就在原常数项上加几，向下平移则在原常数项上减几。本题是向上平移3个单位，因此只需在原函数的常数项上加上3，即可得到平移后的函数表达式。
【解析】
一次函数上下平移遵循“k值不变，上加下减常数项”的规律：
原直线的函数表达式为$y=2x-1$，向上平移3个单位长度，给常数项加3，可得新的常数项为$-1+3=2$，自变量x的系数仍为2，
因此平移后得到的函数表达式为$y=2x+2$。
【答案】
$y=2x+2$
【知识点】
1. 一次函数平移规律
2. 一次函数的表达式
【点评】
本题属于一次函数平移的基础题型，核心考查平移规则的应用，只要准确掌握平移规则、区分上下平移和左右平移的运算对象，即可快速作答。
【难度系数】
0.85
解决一次函数图象平移问题，首先要牢记平移规律：一次函数上下平移时，自变量x的系数保持不变，仅调整常数项，遵循“上加下减”的规则，即向上平移几个单位，就在原常数项上加几，向下平移则在原常数项上减几。本题是向上平移3个单位，因此只需在原函数的常数项上加上3，即可得到平移后的函数表达式。
【解析】
一次函数上下平移遵循“k值不变，上加下减常数项”的规律：
原直线的函数表达式为$y=2x-1$，向上平移3个单位长度，给常数项加3，可得新的常数项为$-1+3=2$，自变量x的系数仍为2，
因此平移后得到的函数表达式为$y=2x+2$。
【答案】
$y=2x+2$
【知识点】
1. 一次函数平移规律
2. 一次函数的表达式
【点评】
本题属于一次函数平移的基础题型，核心考查平移规则的应用，只要准确掌握平移规则、区分上下平移和左右平移的运算对象，即可快速作答。
【难度系数】
0.85
5.将长20 cm、宽8 cm的长方形白纸按如图所示的方法黏合起来，黏合部分的宽为3 cm。设x张白纸黏合后的总长度为y cm，则y与x的函数表达式为
$y=17x+3$
。答案
5. $y=17x+3$
解析
【分析】
要推导y与x的函数表达式，首先思考白纸黏合的规律：1张白纸长度为20cm，每多黏合1张白纸，不是直接加20cm，因为黏合部分会重叠3cm，总长度会少3cm。首先计算x张白纸不黏合的总长度，再计算黏合时总共减少的长度，两者作差即可得到总长度y的表达式。其中x张白纸黏合时，黏合处共有(x-1)个，每个黏合处减少3cm。
【解析】
解：x张白纸若不进行黏合，总长度为$20x\ \mathrm{cm}$。
x张白纸黏合时，相邻两张纸之间有1个黏合部分，共存在$(x-1)$个黏合处，每个黏合处宽3cm，即总长度共减少$3(x-1)\ \mathrm{cm}$。
因此黏合后的总长度：
$y=20x - 3(x-1)$
化简得：
$y=20x -3x +3 = 17x +3$
【答案】
$y=17x+3$
【知识点】
列函数表达式；一次函数实际应用；代数式化简
【点评】
本题解题的核心是找准黏合时重叠部分的数量，避免出现重叠次数误算为x的错误，结合实际场景理解黏合导致总长度减少的规律即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要推导y与x的函数表达式，首先思考白纸黏合的规律：1张白纸长度为20cm，每多黏合1张白纸，不是直接加20cm，因为黏合部分会重叠3cm，总长度会少3cm。首先计算x张白纸不黏合的总长度，再计算黏合时总共减少的长度，两者作差即可得到总长度y的表达式。其中x张白纸黏合时，黏合处共有(x-1)个，每个黏合处减少3cm。
【解析】
解：x张白纸若不进行黏合，总长度为$20x\ \mathrm{cm}$。
x张白纸黏合时，相邻两张纸之间有1个黏合部分，共存在$(x-1)$个黏合处，每个黏合处宽3cm，即总长度共减少$3(x-1)\ \mathrm{cm}$。
因此黏合后的总长度：
$y=20x - 3(x-1)$
化简得：
$y=20x -3x +3 = 17x +3$
【答案】
$y=17x+3$
【知识点】
列函数表达式；一次函数实际应用；代数式化简
【点评】
本题解题的核心是找准黏合时重叠部分的数量，避免出现重叠次数误算为x的错误，结合实际场景理解黏合导致总长度减少的规律即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
6.已知点$(-4,y_1),(2,y_2)$都在直线$y=\frac{1}{2}x+2$上，则$y_1\_\_\_\_\_\_y_2$（填“＞”“＜”或“=”）。
答案
6. ＜
解析
【分析】
要比较$y_1$和$y_2$的大小，有两种清晰的解题思路：①代入计算法：将两个点的横坐标分别代入直线解析式，求出$y_1$、$y_2$的具体数值后直接比较大小；②性质判断法：先根据一次函数的$k$值判断函数的增减性，再通过两点横坐标的大小关系推导纵坐标的大小关系，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一：代入求值比较
把$x=-4$代入$y=\frac{1}{2}x+2$，得：
$y_1=\frac{1}{2}×(-4)+2=-2+2=0$
把$x=2$代入$y=\frac{1}{2}x+2$，得：
$y_2=\frac{1}{2}×2+2=1+2=3$
因为$0＜3$，所以$y_1＜y_2$。
方法二：利用一次函数增减性判断
在一次函数$y=\frac{1}{2}x+2$中，$k=\frac{1}{2}＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大。
已知两点的横坐标满足$-4＜2$，所以对应的函数值满足$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，两种解题方法都很容易掌握，熟练运用一次函数的增减性可以不用计算直接快速得出结果，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
要比较$y_1$和$y_2$的大小，有两种清晰的解题思路：①代入计算法：将两个点的横坐标分别代入直线解析式，求出$y_1$、$y_2$的具体数值后直接比较大小；②性质判断法：先根据一次函数的$k$值判断函数的增减性，再通过两点横坐标的大小关系推导纵坐标的大小关系，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一：代入求值比较
把$x=-4$代入$y=\frac{1}{2}x+2$，得：
$y_1=\frac{1}{2}×(-4)+2=-2+2=0$
把$x=2$代入$y=\frac{1}{2}x+2$，得：
$y_2=\frac{1}{2}×2+2=1+2=3$
因为$0＜3$，所以$y_1＜y_2$。
方法二：利用一次函数增减性判断
在一次函数$y=\frac{1}{2}x+2$中，$k=\frac{1}{2}＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大。
已知两点的横坐标满足$-4＜2$，所以对应的函数值满足$y_1＜y_2$。
【答案】
＜
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，两种解题方法都很容易掌握，熟练运用一次函数的增减性可以不用计算直接快速得出结果，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
7.已知函数$y=(m+1)x+2m-6$。
(1)若函数图象过点$(-1,2)$，求此函数的表达式；
(2)若函数图象与直线$y=2x+5$平行，求此函数的表达式。
(1)若函数图象过点$(-1,2)$，求此函数的表达式；
(2)若函数图象与直线$y=2x+5$平行，求此函数的表达式。
答案
7. 解:(1)把$(-1,2)$代入 $y=(m+1)x+2m-6$,得
$-(m+1)+2m-6=2$,
解得 $m=9$,
所以一次函数的表达式为 $y=10x+12$。
(2)因为函数 $y=(m+1)x+2m-6$ 的图象与直线 $y=2x+5$ 平行,
所以 $m+1=2$,解得 $m=1$,
所以一次函数的表达式为 $y=2x-4$。
$-(m+1)+2m-6=2$,
解得 $m=9$,
所以一次函数的表达式为 $y=10x+12$。
(2)因为函数 $y=(m+1)x+2m-6$ 的图象与直线 $y=2x+5$ 平行,
所以 $m+1=2$,解得 $m=1$,
所以一次函数的表达式为 $y=2x-4$。
解析
【分析】
(1) 若点在函数图象上，则点的坐标满足函数表达式，我们可以将点$(-1,2)$的横、纵坐标代入给定的函数式，得到关于参数$m$的一元一次方程，解出$m$的值后代回原式，即可求出对应的函数表达式。
(2) 一次函数的图象为直线，两条互相平行的直线的一次项系数（$k$值）相等，且常数项（$b$值）不相等。因此我们先令题中函数的一次项系数等于直线$y=2x+5$的一次项系数，解出$m$的值，验证常数项不重合后，代回原式就能得到所求函数表达式。
【解析】
(1) 把点$(-1,2)$代入$y=(m+1)x+2m-6$，得：
$-(m+1)+2m-6=2$
去括号合并得：$m-7=2$
解得：$m=9$
将$m=9$代入原函数式，得$y=(9+1)x+2×9-6=10x+12$。
(2) 因为函数$y=(m+1)x+2m-6$的图象与直线$y=2x+5$平行，所以两个函数的一次项系数相等：
$m+1=2$
解得：$m=1$
此时常数项$2m-6=2×1-6=-4≠5$，满足平行的条件。
将$m=1$代入原函数式，得$y=(1+1)x+2×1-6=2x-4$。
【答案】
(1) $y=10x+12$；(2) $y=2x-4$
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 两直线平行的性质
3. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题属于一次函数基础常考题，分别考查了点与函数图象的对应关系、平行直线的系数特征，解题的关键是熟练掌握一次函数的基本性质，正确运用待定系数法求解参数。
【难度系数】
0.85
(1) 若点在函数图象上，则点的坐标满足函数表达式，我们可以将点$(-1,2)$的横、纵坐标代入给定的函数式，得到关于参数$m$的一元一次方程，解出$m$的值后代回原式，即可求出对应的函数表达式。
(2) 一次函数的图象为直线，两条互相平行的直线的一次项系数（$k$值）相等，且常数项（$b$值）不相等。因此我们先令题中函数的一次项系数等于直线$y=2x+5$的一次项系数，解出$m$的值，验证常数项不重合后，代回原式就能得到所求函数表达式。
【解析】
(1) 把点$(-1,2)$代入$y=(m+1)x+2m-6$，得：
$-(m+1)+2m-6=2$
去括号合并得：$m-7=2$
解得：$m=9$
将$m=9$代入原函数式，得$y=(9+1)x+2×9-6=10x+12$。
(2) 因为函数$y=(m+1)x+2m-6$的图象与直线$y=2x+5$平行，所以两个函数的一次项系数相等：
$m+1=2$
解得：$m=1$
此时常数项$2m-6=2×1-6=-4≠5$，满足平行的条件。
将$m=1$代入原函数式，得$y=(1+1)x+2×1-6=2x-4$。
【答案】
(1) $y=10x+12$；(2) $y=2x-4$
【知识点】
1. 一次函数图象上点的坐标特征
2. 两直线平行的性质
3. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题属于一次函数基础常考题，分别考查了点与函数图象的对应关系、平行直线的系数特征，解题的关键是熟练掌握一次函数的基本性质，正确运用待定系数法求解参数。
【难度系数】
0.85
