登录
8.如图，一次函数$y=mx+n$与$y=mnx$（$m≠0,n≠0$）在同一坐标系中的图象可能是（
C
）答案
8. C
解析
【分析】
要判断两个一次函数的图象是否匹配，需结合一次函数、正比例函数的图象性质，通过分析参数m、n的正负，推导两个函数图象的特征，再用排除法逐一验证选项即可。解题步骤为：①回忆一次函数y=kx+b中k、b对图象的影响；②分情况讨论m、n的正负，推导y=mx+n和y=mnx的图象特征；③逐一对比选项，排除矛盾的选项即可得到正确答案。
【解析】
一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象性质：$k＞0$时图象过一、三象限，$k＜0$时图象过二、四象限；$b＞0$时图象与y轴交于正半轴，$b＜0$时交于负半轴。
正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图象性质：$k＞0$时过一、三象限，$k＜0$时过二、四象限。
我们分情况讨论：
1. 若$m＞0$，$n＞0$：则$mn＞0$，此时$y=mx+n$过一、二、三象限，$y=mnx$过一、三象限。选项A中正比例函数过二、四象限（即$mn＜0$），矛盾，排除A。
2. 若$m＞0$，$n＜0$：则$mn＜0$，此时$y=mx+n$过一、三、四象限，$y=mnx$过二、四象限，与选项C的图象特征一致。
3. 若$m＜0$，$n＞0$：则$mn＜0$，此时$y=mx+n$过一、二、四象限，$y=mnx$过二、四象限，无对应选项。
4. 若$m＜0$，$n＜0$：则$mn＞0$，此时$y=mx+n$过二、三、四象限，$y=mnx$过一、三象限。选项B中$y=mx+n$交y轴负半轴（$n＜0$），但正比例函数过一、三象限（$mn＞0$），则需$m＜0$，此时$y=mx+n$应过二、三、四象限，与B中直线过一、三象限矛盾，排除B；选项D中正比例函数过一、三象限（$mn＞0$），但两条不过原点的直线分别过一、二、四、一、三、四象限，均不符合$mn＞0$时$y=mx+n$的图象特征，排除D。
综上，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象性质；正比例函数图象性质；有理数乘法符号判定
【点评】
本题是一次函数图象的典型题型，核心是结合参数的正负判断函数图象的特征，通过分类讨论结合排除法能快速得出答案，需熟练掌握一次函数中k、b对图象的影响。
【难度系数】
0.7
要判断两个一次函数的图象是否匹配，需结合一次函数、正比例函数的图象性质，通过分析参数m、n的正负，推导两个函数图象的特征，再用排除法逐一验证选项即可。解题步骤为：①回忆一次函数y=kx+b中k、b对图象的影响；②分情况讨论m、n的正负，推导y=mx+n和y=mnx的图象特征；③逐一对比选项，排除矛盾的选项即可得到正确答案。
【解析】
一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象性质：$k＞0$时图象过一、三象限，$k＜0$时图象过二、四象限；$b＞0$时图象与y轴交于正半轴，$b＜0$时交于负半轴。
正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图象性质：$k＞0$时过一、三象限，$k＜0$时过二、四象限。
我们分情况讨论：
1. 若$m＞0$，$n＞0$：则$mn＞0$，此时$y=mx+n$过一、二、三象限，$y=mnx$过一、三象限。选项A中正比例函数过二、四象限（即$mn＜0$），矛盾，排除A。
2. 若$m＞0$，$n＜0$：则$mn＜0$，此时$y=mx+n$过一、三、四象限，$y=mnx$过二、四象限，与选项C的图象特征一致。
3. 若$m＜0$，$n＞0$：则$mn＜0$，此时$y=mx+n$过一、二、四象限，$y=mnx$过二、四象限，无对应选项。
4. 若$m＜0$，$n＜0$：则$mn＞0$，此时$y=mx+n$过二、三、四象限，$y=mnx$过一、三象限。选项B中$y=mx+n$交y轴负半轴（$n＜0$），但正比例函数过一、三象限（$mn＞0$），则需$m＜0$，此时$y=mx+n$应过二、三、四象限，与B中直线过一、三象限矛盾，排除B；选项D中正比例函数过一、三象限（$mn＞0$），但两条不过原点的直线分别过一、二、四、一、三、四象限，均不符合$mn＞0$时$y=mx+n$的图象特征，排除D。
综上，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象性质；正比例函数图象性质；有理数乘法符号判定
【点评】
本题是一次函数图象的典型题型，核心是结合参数的正负判断函数图象的特征，通过分类讨论结合排除法能快速得出答案，需熟练掌握一次函数中k、b对图象的影响。
【难度系数】
0.7
9.如图，一次函数$y=-2x+b$的图象交$y$轴于点$A(0,3)$，则当$y＞0$时，$x$的取值范围是(
A.$x＞\dfrac{3}{2}$
B.$x＞3$
C.$x＜\dfrac{3}{2}$
D.$x＜3$
C
)A.$x＞\dfrac{3}{2}$
B.$x＞3$
C.$x＜\dfrac{3}{2}$
D.$x＜3$
答案
9. C
解析
【分析】
解题思路如下：首先，已知一次函数解析式含未知参数b，且函数过点A(0,3)，我们可以先用待定系数法，将点A坐标代入解析式求出b的值，得到完整的函数解析式；其次，题目要求y＞0时x的取值范围，我们可以直接将y＞0代入解析式，转化为一元一次不等式求解，也可以先求出函数与x轴的交点坐标，结合一次函数的增减性，从图像角度判断x的范围。
【解析】
步骤1：求参数b的值
将点A(0,3)代入一次函数$y=-2x+b$，得：
$3=-2×0 + b$
解得$b=3$，因此一次函数的解析式为$y=-2x+3$。
步骤2：求解$y＞0$时x的取值范围
当$y＞0$时，代入解析式得不等式：
$-2x + 3 ＞ 0$
移项得：$-2x ＞ -3$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：
$x ＜ \dfrac{3}{2}$
（也可通过图像法验证：令$y=0$，解得$x=\dfrac{3}{2}$，即函数与x轴交点为$B(\dfrac{3}{2},0)$，由于$k=-2＜0$，y随x的增大而减小，因此图像在x轴上方（$y＞0$）时，x的取值小于$\dfrac{3}{2}$）
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与不等式；一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的基础题，两种解题方法分别从代数计算和图像性质两个角度出发，熟练掌握一次函数增减性、与坐标轴交点的求法以及不等式的解法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先，已知一次函数解析式含未知参数b，且函数过点A(0,3)，我们可以先用待定系数法，将点A坐标代入解析式求出b的值，得到完整的函数解析式；其次，题目要求y＞0时x的取值范围，我们可以直接将y＞0代入解析式，转化为一元一次不等式求解，也可以先求出函数与x轴的交点坐标，结合一次函数的增减性，从图像角度判断x的范围。
【解析】
步骤1：求参数b的值
将点A(0,3)代入一次函数$y=-2x+b$，得：
$3=-2×0 + b$
解得$b=3$，因此一次函数的解析式为$y=-2x+3$。
步骤2：求解$y＞0$时x的取值范围
当$y＞0$时，代入解析式得不等式：
$-2x + 3 ＞ 0$
移项得：$-2x ＞ -3$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：
$x ＜ \dfrac{3}{2}$
（也可通过图像法验证：令$y=0$，解得$x=\dfrac{3}{2}$，即函数与x轴交点为$B(\dfrac{3}{2},0)$，由于$k=-2＜0$，y随x的增大而减小，因此图像在x轴上方（$y＞0$）时，x的取值小于$\dfrac{3}{2}$）
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与不等式；一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的基础题，两种解题方法分别从代数计算和图像性质两个角度出发，熟练掌握一次函数增减性、与坐标轴交点的求法以及不等式的解法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
10.如图,点B是第一象限内直线$y=-x+8$上的一个动点,点$A(6,0)$。设$△ AOB$的面积为$S$,点B的横坐标为$x$。
(1)求$S$与$x$之间的函数表达式,并写出$x$的取值范围;
(2)当$x=2$时,求$S$的值;
(3)$△ AOB$的面积能等于30吗?为什么?
(1)求$S$与$x$之间的函数表达式,并写出$x$的取值范围;
(2)当$x=2$时,求$S$的值;
(3)$△ AOB$的面积能等于30吗?为什么?
答案
10. 解:(1)$S=\frac{1}{2}×6×(-x+8)$,
即 $S=-3x+24\ (0＜x＜8)$。
(2)当 $x=2$ 时,$S=-3×2+24=18$。
(3)令$-3x+24=30$,
解得 $x=-2$,不在取值范围内,
故 S 不能等于 30。
即 $S=-3x+24\ (0＜x＜8)$。
(2)当 $x=2$ 时,$S=-3×2+24=18$。
(3)令$-3x+24=30$,
解得 $x=-2$,不在取值范围内,
故 S 不能等于 30。
解析
【分析】
解题时先明确△AOB的底和高：OA在x轴上，长度为点A的横坐标6；点B在直线$y=-x+8$上，横坐标为$x$，所以纵坐标为$(-x+8)$，这个纵坐标就是△AOB中OA边上的高。
(1) 利用三角形面积公式“面积=$\frac{1}{2}$×底×高”即可写出S与x的函数表达式；再结合点B在第一象限，可得横坐标$x＞0$、纵坐标$(-x+8)＞0$，解不等式就能得到x的取值范围。
(2) 直接将$x=2$代入第一问得到的函数表达式，计算即可得到S的值。
(3) 假设面积能等于30，令$S=30$，解方程求出x的值，判断x是否在之前求出的取值范围内，若不在则说明面积不能等于30。
【解析】
(1) 已知点$A(6,0)$，所以OA的长度为6。
点B的横坐标为$x$，且在直线$y=-x+8$上，所以点B的纵坐标为$(-x+8)$，即△AOB中OA边上的高为$(-x+8)$。
根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}×OA×高=\frac{1}{2}×6×(-x+8)$
化简得：$S=-3x+24$
因为点B在第一象限，所以$\begin{cases}x＞0 \\ -x+8＞0\end{cases}$，解得$0＜x＜8$。
(2) 把$x=2$代入$S=-3x+24$，得：
$S=-3×2+24=18$
(3) 假设△AOB的面积能等于30，令$S=30$，则：
$-3x+24=30$
解得$x=-2$
因为$x=-2$不在$0＜x＜8$的取值范围内，所以△AOB的面积不能等于30。
【答案】
(1) $S=-3x+24\ (0＜x＜8)$
(2) $18$
(3) 不能，令$S=30$解得$x=-2$，不在x的取值范围内，故△AOB的面积不能等于30。
【知识点】
一次函数的坐标应用，三角形面积计算，函数自变量取值范围
【点评】
本题将一次函数与三角形面积相结合，考查了函数关系式的推导、代入求值以及利用取值范围判断结果合理性的能力，解题的关键是找准三角形的高与点B纵坐标的关系，同时不要忽略自变量的取值限制。
【难度系数】
0.8
解题时先明确△AOB的底和高：OA在x轴上，长度为点A的横坐标6；点B在直线$y=-x+8$上，横坐标为$x$，所以纵坐标为$(-x+8)$，这个纵坐标就是△AOB中OA边上的高。
(1) 利用三角形面积公式“面积=$\frac{1}{2}$×底×高”即可写出S与x的函数表达式；再结合点B在第一象限，可得横坐标$x＞0$、纵坐标$(-x+8)＞0$，解不等式就能得到x的取值范围。
(2) 直接将$x=2$代入第一问得到的函数表达式，计算即可得到S的值。
(3) 假设面积能等于30，令$S=30$，解方程求出x的值，判断x是否在之前求出的取值范围内，若不在则说明面积不能等于30。
【解析】
(1) 已知点$A(6,0)$，所以OA的长度为6。
点B的横坐标为$x$，且在直线$y=-x+8$上，所以点B的纵坐标为$(-x+8)$，即△AOB中OA边上的高为$(-x+8)$。
根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}×OA×高=\frac{1}{2}×6×(-x+8)$
化简得：$S=-3x+24$
因为点B在第一象限，所以$\begin{cases}x＞0 \\ -x+8＞0\end{cases}$，解得$0＜x＜8$。
(2) 把$x=2$代入$S=-3x+24$，得：
$S=-3×2+24=18$
(3) 假设△AOB的面积能等于30，令$S=30$，则：
$-3x+24=30$
解得$x=-2$
因为$x=-2$不在$0＜x＜8$的取值范围内，所以△AOB的面积不能等于30。
【答案】
(1) $S=-3x+24\ (0＜x＜8)$
(2) $18$
(3) 不能，令$S=30$解得$x=-2$，不在x的取值范围内，故△AOB的面积不能等于30。
【知识点】
一次函数的坐标应用，三角形面积计算，函数自变量取值范围
【点评】
本题将一次函数与三角形面积相结合，考查了函数关系式的推导、代入求值以及利用取值范围判断结果合理性的能力，解题的关键是找准三角形的高与点B纵坐标的关系，同时不要忽略自变量的取值限制。
【难度系数】
0.8
