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1. 关于正比例函数$y=-3x$，下列结论正确的是(
A.图象不经过原点
B.$y$的值随$x$值的增大而增大
C.图象经过第二、四象限
D.当$x=\frac{1}{3}$时，$y=1$
C
)A.图象不经过原点
B.$y$的值随$x$值的增大而增大
C.图象经过第二、四象限
D.当$x=\frac{1}{3}$时，$y=1$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们首先要回忆正比例函数$y=kx(k≠0)$的基础性质：所有正比例函数的图象都过原点；当$k＞0$时，图象经过第一、三象限，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，图象经过第二、四象限，$y$随$x$的增大而减小。接下来我们结合题干给出的函数$y=-3x$，逐个判断选项的对错即可。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：当$x=0$时，代入$y=-3x$得$y=0$，说明函数图象经过原点，A错误；
B选项：该函数的比例系数$k=-3＜0$，因此$y$的值随$x$值的增大而减小，B错误；
C选项：因为$k=-3＜0$，所以函数图象经过第二、四象限，C正确；
D选项：当$x=\frac{1}{3}$时，代入解析式得$y=-3×\frac{1}{3}=-1≠1$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的性质；正比例函数的图象
【点评】
本题是正比例函数的基础考查题，只要牢记比例系数$k$对函数图象走向、增减性的影响，结合代入求值的方法，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，我们首先要回忆正比例函数$y=kx(k≠0)$的基础性质：所有正比例函数的图象都过原点；当$k＞0$时，图象经过第一、三象限，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，图象经过第二、四象限，$y$随$x$的增大而减小。接下来我们结合题干给出的函数$y=-3x$，逐个判断选项的对错即可。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：当$x=0$时，代入$y=-3x$得$y=0$，说明函数图象经过原点，A错误；
B选项：该函数的比例系数$k=-3＜0$，因此$y$的值随$x$值的增大而减小，B错误；
C选项：因为$k=-3＜0$，所以函数图象经过第二、四象限，C正确；
D选项：当$x=\frac{1}{3}$时，代入解析式得$y=-3×\frac{1}{3}=-1≠1$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的性质；正比例函数的图象
【点评】
本题是正比例函数的基础考查题，只要牢记比例系数$k$对函数图象走向、增减性的影响，结合代入求值的方法，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.85
2.正比例函数 $ y = kx(k＞0) $ 的图象大致是(
D
) 答案
D
解析
【分析】
解题时先回忆正比例函数的图象与性质，按两步筛选：第一步，正比例函数的图象是过原点的直线，先排除不过原点的选项；第二步，根据k的正负判断直线经过的象限：k＞0时直线经过一、三象限，k＜0时经过二、四象限，结合题目k＞0的条件选出正确选项。
【解析】
1. 首先，正比例函数$ y=kx $的图象是经过坐标原点$(0,0)$的直线，观察选项，A、C的图象都不经过原点，属于一般一次函数$ y=kx+b(b≠0) $的图象，因此排除A、C。
2. 对于正比例函数，当$ k＞0 $时，图象经过第一、第三象限，$ y $随$ x $的增大而增大；当$ k＜0 $时，图象经过第二、第四象限，$ y $随$ x $的增大而减小。
3. 本题给出$ k＞0 $，因此图象经过一、三象限，排除经过二、四象限的选项B，故正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数图象特征、正比例函数的性质、k值与图象的关系
【点评】
本题是函数图象的基础考查题，核心是牢记正比例函数图象过原点的特征，以及k的正负对应的图象走向和经过的象限，熟练掌握性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆正比例函数的图象与性质，按两步筛选：第一步，正比例函数的图象是过原点的直线，先排除不过原点的选项；第二步，根据k的正负判断直线经过的象限：k＞0时直线经过一、三象限，k＜0时经过二、四象限，结合题目k＞0的条件选出正确选项。
【解析】
1. 首先，正比例函数$ y=kx $的图象是经过坐标原点$(0,0)$的直线，观察选项，A、C的图象都不经过原点，属于一般一次函数$ y=kx+b(b≠0) $的图象，因此排除A、C。
2. 对于正比例函数，当$ k＞0 $时，图象经过第一、第三象限，$ y $随$ x $的增大而增大；当$ k＜0 $时，图象经过第二、第四象限，$ y $随$ x $的增大而减小。
3. 本题给出$ k＞0 $，因此图象经过一、三象限，排除经过二、四象限的选项B，故正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数图象特征、正比例函数的性质、k值与图象的关系
【点评】
本题是函数图象的基础考查题，核心是牢记正比例函数图象过原点的特征，以及k的正负对应的图象走向和经过的象限，熟练掌握性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 已知函数$y=(m+1)x^{m^2 -3}$是正比例函数，且图象在第二、四象限，则$m$的值是（
A.2
B.$-2$
C.$\pm2$
D.$\frac{1}{2}$
B
）A.2
B.$-2$
C.$\pm2$
D.$\frac{1}{2}$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，需要分两步思考：第一步先根据正比例函数的定义，确定m的可能取值；第二步再结合函数图象所在的象限，对m的取值进行筛选，最终得到符合条件的m值。首先回忆正比例函数的定义：形如$y=kx$（k为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数，因此x的次数必须为1，且x的系数不能为0；其次，正比例函数图象在第二、四象限时，说明系数k是负数，由此可以排除不符合条件的取值。
【解析】
解：
∵函数$y=(m+1)x^{m^2 -3}$是正比例函数
∴根据正比例函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 - 3 = 1 \quad \mathrm{（x的次数为1）} \\m + 1 ≠ 0 \quad \mathrm{（系数不为0）}\end{cases}$
解方程$m^2 -3 =1$，得$m^2=4$，即$m=2$或$m=-2$
又
∵$m+1≠0$，即$m≠-1$，因此$m=2$和$m=-2$都满足这个条件
再
∵函数图象在第二、四象限
∴正比例函数的系数小于0，即$m+1＜0$，解得$m＜-1$
对比$m=2$和$m=-2$，只有$m=-2$满足$m＜-1$的要求
因此$m$的值是$-2$
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的图象与性质
【点评】
本题考查正比例函数的相关知识，解题时需要同时满足函数的形式要求和图象性质的限制，容易出现的错误是只根据指数条件计算出m的取值就直接选择，忽略了系数正负的限制。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需要分两步思考：第一步先根据正比例函数的定义，确定m的可能取值；第二步再结合函数图象所在的象限，对m的取值进行筛选，最终得到符合条件的m值。首先回忆正比例函数的定义：形如$y=kx$（k为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数，因此x的次数必须为1，且x的系数不能为0；其次，正比例函数图象在第二、四象限时，说明系数k是负数，由此可以排除不符合条件的取值。
【解析】
解：
∵函数$y=(m+1)x^{m^2 -3}$是正比例函数
∴根据正比例函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 - 3 = 1 \quad \mathrm{（x的次数为1）} \\m + 1 ≠ 0 \quad \mathrm{（系数不为0）}\end{cases}$
解方程$m^2 -3 =1$，得$m^2=4$，即$m=2$或$m=-2$
又
∵$m+1≠0$，即$m≠-1$，因此$m=2$和$m=-2$都满足这个条件
再
∵函数图象在第二、四象限
∴正比例函数的系数小于0，即$m+1＜0$，解得$m＜-1$
对比$m=2$和$m=-2$，只有$m=-2$满足$m＜-1$的要求
因此$m$的值是$-2$
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的图象与性质
【点评】
本题考查正比例函数的相关知识，解题时需要同时满足函数的形式要求和图象性质的限制，容易出现的错误是只根据指数条件计算出m的取值就直接选择，忽略了系数正负的限制。
【难度系数】
0.7
4.已知点$A(m,4)$在正比例函数$y=mx$的图象上，且$y$的值随$x$值的增大而增大，则$m=$
2
。答案
2
解析
【分析】
解题分两步思考：第一步，根据“函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式”这一规律，把点A的坐标代入正比例函数解析式，得到关于m的方程，求出m的所有可能取值；第二步，结合“y的值随x值的增大而增大”的条件，利用正比例函数的增减性判断m的正负，舍去不符合要求的取值，就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵点$A(m,4)$在正比例函数$y=mx$的图象上
∴将$x=m$，$y=4$代入$y=mx$，可得：
$4=m· m$
即$m^2=4$
解得$m=2$或$m=-2$
又
∵正比例函数$y=mx$中，$y$的值随$x$值的增大而增大
∴比例系数$m＞0$
∴$m=-2$不符合题意，舍去
综上可得$m=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 正比例函数的增减性
3. 解方程
【点评】
本题是正比例函数的基础考题，易错点是容易忽略“y随x增大而增大”的限制条件，误把-2也当成最终结果，解题时要注意认真审题，不要遗漏题目给出的所有限定条件。
【难度系数】
0.7
解题分两步思考：第一步，根据“函数图象上的点的坐标一定满足该函数的解析式”这一规律，把点A的坐标代入正比例函数解析式，得到关于m的方程，求出m的所有可能取值；第二步，结合“y的值随x值的增大而增大”的条件，利用正比例函数的增减性判断m的正负，舍去不符合要求的取值，就能得到最终结果。
【解析】
解：
∵点$A(m,4)$在正比例函数$y=mx$的图象上
∴将$x=m$，$y=4$代入$y=mx$，可得：
$4=m· m$
即$m^2=4$
解得$m=2$或$m=-2$
又
∵正比例函数$y=mx$中，$y$的值随$x$值的增大而增大
∴比例系数$m＞0$
∴$m=-2$不符合题意，舍去
综上可得$m=2$
【答案】
2
【知识点】
1. 函数图象上点的坐标特征
2. 正比例函数的增减性
3. 解方程
【点评】
本题是正比例函数的基础考题，易错点是容易忽略“y随x增大而增大”的限制条件，误把-2也当成最终结果，解题时要注意认真审题，不要遗漏题目给出的所有限定条件。
【难度系数】
0.7
5.已知A,B两地相距600 m,甲、乙两人同时从A地出发前往B地,所走路程y(单位:m)与行走时间x(单位:min)之间的函数关系如图
所示。
有下列说法：
①甲每分钟走100 m；
②2 min后乙每分钟走50 m；
③甲比乙提前3 min到达B地；
④当$x=2$或$6$时,甲、乙两人相距100 m。
其中正确的有
所示。有下列说法：
①甲每分钟走100 m；
②2 min后乙每分钟走50 m；
③甲比乙提前3 min到达B地；
④当$x=2$或$6$时,甲、乙两人相距100 m。
其中正确的有
①②④
(在横线上填写正确的序号)。答案
①②④
解析
【分析】
本题是路程-时间图像类的行程问题，解题思路如下：第一步先从图像提取甲的路程与对应时间，计算甲的速度验证①；第二步提取乙2min和6min对应的路程，计算2min后乙的速度验证②；第三步先计算乙走完全程的总时间，和甲的总时间作差验证③；第四步分别计算x=2和x=6时甲乙的路程差，验证④。
【解析】
我们逐一判断每个说法：
1. 验证①：由图可知甲6min走了600m，甲的速度为$600÷6=100\ \mathrm{m/min}$，故①正确。
2. 验证②：2~6min内，乙走的路程为$500-300=200\ \mathrm{m}$，用时$6-2=4\ \mathrm{min}$，则2min后乙的速度为$200÷4=50\ \mathrm{m/min}$，故②正确。
3. 验证③：乙走完全程，前2min走300m，剩余路程$600-300=300\ \mathrm{m}$，剩余路程所需时间为$300÷50=6\ \mathrm{min}$，乙走完全程总时间为$2+6=8\ \mathrm{min}$，甲走完全程用时6min，因此甲比乙提前$8-6=2\ \mathrm{min}$到达，故③错误。
4. 验证④：当$x=2$时，甲走的路程为$100×2=200\ \mathrm{m}$，乙走了300m，两人相距$300-200=100\ \mathrm{m}$；当$x=6$时，甲走了600m，乙走了500m，两人相距$600-500=100\ \mathrm{m}$，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
行程图像分析，速度计算，行程问题应用
【点评】
本题结合函数图像考查行程问题的相关计算，解题核心是准确从图像中提取路程、时间的对应信息，注意乙的运动速度分为两段，计算总时间时要分段计算，逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.7
本题是路程-时间图像类的行程问题，解题思路如下：第一步先从图像提取甲的路程与对应时间，计算甲的速度验证①；第二步提取乙2min和6min对应的路程，计算2min后乙的速度验证②；第三步先计算乙走完全程的总时间，和甲的总时间作差验证③；第四步分别计算x=2和x=6时甲乙的路程差，验证④。
【解析】
我们逐一判断每个说法：
1. 验证①：由图可知甲6min走了600m，甲的速度为$600÷6=100\ \mathrm{m/min}$，故①正确。
2. 验证②：2~6min内，乙走的路程为$500-300=200\ \mathrm{m}$，用时$6-2=4\ \mathrm{min}$，则2min后乙的速度为$200÷4=50\ \mathrm{m/min}$，故②正确。
3. 验证③：乙走完全程，前2min走300m，剩余路程$600-300=300\ \mathrm{m}$，剩余路程所需时间为$300÷50=6\ \mathrm{min}$，乙走完全程总时间为$2+6=8\ \mathrm{min}$，甲走完全程用时6min，因此甲比乙提前$8-6=2\ \mathrm{min}$到达，故③错误。
4. 验证④：当$x=2$时，甲走的路程为$100×2=200\ \mathrm{m}$，乙走了300m，两人相距$300-200=100\ \mathrm{m}$；当$x=6$时，甲走了600m，乙走了500m，两人相距$600-500=100\ \mathrm{m}$，故④正确。
综上，正确的是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
行程图像分析，速度计算，行程问题应用
【点评】
本题结合函数图像考查行程问题的相关计算，解题核心是准确从图像中提取路程、时间的对应信息，注意乙的运动速度分为两段，计算总时间时要分段计算，逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.7
6. 已知$y=(k-1)x^{|k|}$是正比例函数，若点$A(-2,y_1),B(1,y_2)$都在该函数图象上，则$y_1\_\_\_\_\_\_y_2$。（填“＞”“＜”或“=”）
答案
＞
解析
【分析】
要解决这道题，第一步需根据正比例函数的定义求出参数k的值，确定函数解析式。正比例函数需满足两个核心条件：一是x的次数为1，二是x的系数不为0，这两个条件缺一不可。求出k后，既可以直接代入两个点的横坐标计算y₁、y₂的值比较大小，也可以根据正比例函数的增减性快速判断大小关系。
【解析】
解：
∵$y=(k-1)x^{|k|}$是正比例函数
∴根据正比例函数的定义可得：
$\begin{cases}|k|=1 \\k-1≠0\end{cases}$
由$|k|=1$解得$k=\pm1$，由$k-1≠0$得$k≠1$
∴$k=-1$，代入得函数解析式为$y=-2x$
方法1：代入计算比较
将点A$(-2,y_1)$代入$y=-2x$，得$y_1=-2×(-2)=4$
将点B$(1,y_2)$代入$y=-2x$，得$y_2=-2×1=-2$
∵$4＞-2$，
∴$y_1＞y_2$
方法2：利用增减性比较
∵$y=-2x$中$k=-2＜0$，
∴y随x的增大而减小
∵$-2＜1$，
∴对应函数值$y_1＞y_2$
【答案】
＞
【知识点】
正比例函数的定义，正比例函数的性质
【点评】
本题主要考查正比例函数定义的应用和函数值大小比较，解题时要注意一次项系数不为0是正比例函数的隐含条件，熟练掌握正比例函数的增减性可以提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，第一步需根据正比例函数的定义求出参数k的值，确定函数解析式。正比例函数需满足两个核心条件：一是x的次数为1，二是x的系数不为0，这两个条件缺一不可。求出k后，既可以直接代入两个点的横坐标计算y₁、y₂的值比较大小，也可以根据正比例函数的增减性快速判断大小关系。
【解析】
解：
∵$y=(k-1)x^{|k|}$是正比例函数
∴根据正比例函数的定义可得：
$\begin{cases}|k|=1 \\k-1≠0\end{cases}$
由$|k|=1$解得$k=\pm1$，由$k-1≠0$得$k≠1$
∴$k=-1$，代入得函数解析式为$y=-2x$
方法1：代入计算比较
将点A$(-2,y_1)$代入$y=-2x$，得$y_1=-2×(-2)=4$
将点B$(1,y_2)$代入$y=-2x$，得$y_2=-2×1=-2$
∵$4＞-2$，
∴$y_1＞y_2$
方法2：利用增减性比较
∵$y=-2x$中$k=-2＜0$，
∴y随x的增大而减小
∵$-2＜1$，
∴对应函数值$y_1＞y_2$
【答案】
＞
【知识点】
正比例函数的定义，正比例函数的性质
【点评】
本题主要考查正比例函数定义的应用和函数值大小比较，解题时要注意一次项系数不为0是正比例函数的隐含条件，熟练掌握正比例函数的增减性可以提升解题效率。
【难度系数】
0.8
7.如图，正比例函数$y=kx$的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作$AH⊥x$轴，垂足为点H。已知点A的横坐标为3，$△ AOH$的面积为3。
(1)求正比例函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使$△ AOP$的面积为5？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
(1)求正比例函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使$△ AOP$的面积为5？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
解:(1)因为点A的横坐标为3,AH⊥x轴,且△AOH的面积为3,点A在第四象限。
所以点A的纵坐标为-2,故点A的坐标为(3,-2)。
因为正比例函数y=kx经过点A，
所以3k=-2,解得$k=-\frac{2}{3}$。
所以正比例函数的表达式是$y=-\frac{2}{3}x$。
(2)因为△AOP的面积为5,点P在x轴上,且点A的坐标为(3,-2),
所以$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}×2×OP=5$,
所以OP=5,即点P到原点O的距离是5。
所以点P的坐标为(5,0)或(-5,0)。
所以点A的纵坐标为-2,故点A的坐标为(3,-2)。
因为正比例函数y=kx经过点A，
所以3k=-2,解得$k=-\frac{2}{3}$。
所以正比例函数的表达式是$y=-\frac{2}{3}x$。
(2)因为△AOP的面积为5,点P在x轴上,且点A的坐标为(3,-2),
所以$S_{△ AOP}=\frac{1}{2}×2×OP=5$,
所以OP=5,即点P到原点O的距离是5。
所以点P的坐标为(5,0)或(-5,0)。
解析
【分析】
(1)要得到正比例函数的表达式，需先求点A的坐标：已知点A横坐标为3，AH垂直x轴可得OH长度为3，结合△AOH的面积可求出AH的长度，再根据点A在第四象限确定纵坐标的符号，得到A点坐标后代入$y=kx$即可求出k的值。
(2)判断是否存在点P时，先明确△AOP的高是点A到x轴的距离（即A点纵坐标的绝对值），底为OP的长度，根据面积公式列方程求出OP的长度，再结合点P在x轴上，分原点左右两种情况即可得到P点坐标。
【解析】
(1)
∵点A的横坐标为3，$AH⊥x$轴，
∴$OH=3$。
∵$S_{△ AOH}=3$，由三角形面积公式得$\frac{1}{2} × OH × |y_A|=3$，
代入$OH=3$解得$|y_A|=2$。
∵点A在第四象限，纵坐标为负，
∴点A的坐标为$(3,-2)$。
将$A(3,-2)$代入$y=kx$，得$3k=-2$，解得$k=-\frac{2}{3}$。
∴正比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x$。
(2) 存在，理由如下：
点A到x轴的距离为$|-2|=2$，设点P坐标为$(x,0)$，则$OP=|x|$。
∵$S_{△ AOP}=5$，
∴$\frac{1}{2} × OP × 2 =5$，解得$OP=5$，即$|x|=5$，
∴$x=5$或$x=-5$，即点P的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$。
【答案】
(1) $y=-\frac{2}{3}x$；
(2) 存在，点P的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$。
【知识点】
正比例函数解析式求解，三角形面积计算，平面直角坐标系点的特征
【点评】
本题是正比例函数与平面几何的基础综合题，解题核心是先确定点A的坐标，第二问需注意x轴上的点到原点的距离对应两种坐标情况，避免漏解，考查基础的数形结合能力。
【难度系数】
0.8
(1)要得到正比例函数的表达式，需先求点A的坐标：已知点A横坐标为3，AH垂直x轴可得OH长度为3，结合△AOH的面积可求出AH的长度，再根据点A在第四象限确定纵坐标的符号，得到A点坐标后代入$y=kx$即可求出k的值。
(2)判断是否存在点P时，先明确△AOP的高是点A到x轴的距离（即A点纵坐标的绝对值），底为OP的长度，根据面积公式列方程求出OP的长度，再结合点P在x轴上，分原点左右两种情况即可得到P点坐标。
【解析】
(1)
∵点A的横坐标为3，$AH⊥x$轴，
∴$OH=3$。
∵$S_{△ AOH}=3$，由三角形面积公式得$\frac{1}{2} × OH × |y_A|=3$，
代入$OH=3$解得$|y_A|=2$。
∵点A在第四象限，纵坐标为负，
∴点A的坐标为$(3,-2)$。
将$A(3,-2)$代入$y=kx$，得$3k=-2$，解得$k=-\frac{2}{3}$。
∴正比例函数的表达式为$y=-\frac{2}{3}x$。
(2) 存在，理由如下：
点A到x轴的距离为$|-2|=2$，设点P坐标为$(x,0)$，则$OP=|x|$。
∵$S_{△ AOP}=5$，
∴$\frac{1}{2} × OP × 2 =5$，解得$OP=5$，即$|x|=5$，
∴$x=5$或$x=-5$，即点P的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$。
【答案】
(1) $y=-\frac{2}{3}x$；
(2) 存在，点P的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$。
【知识点】
正比例函数解析式求解，三角形面积计算，平面直角坐标系点的特征
【点评】
本题是正比例函数与平面几何的基础综合题，解题核心是先确定点A的坐标，第二问需注意x轴上的点到原点的距离对应两种坐标情况，避免漏解，考查基础的数形结合能力。
【难度系数】
0.8
