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|变式训练1| 已知三个函数的解析式分别为 $y_1=\frac{1}{2}x,y_2=x,y_3=2x$。
(1)请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象,并标记好函数；
(2)仔细观察画出的函数图象,写出3条函数图象的相同点。
(1)请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象,并标记好函数；
(2)仔细观察画出的函数图象,写出3条函数图象的相同点。
答案
解:(1)三个函数的大致图象如图所示。
(2)相同点1:三个函数的函数值y都随着x值的增大而增大；
相同点2:三个函数的图象都经过点(0,0)；
相同点3:三个函数的图象都经过第一、三象限。
(答案不唯一)
解析
【分析】
本题分为画图和找共性两部分：
1. 对于画函数图象：正比例函数的形式为$y=kx$，其图象是过原点的直线，因此绘制时只需确定除原点外的一个点，将该点与原点连线即可得到对应函数的图象，之后标注好每个函数的解析式即可。
2. 对于找图象相同点：可从图象的形状、经过的特殊点、经过的象限、增减性几个角度观察总结，三个函数的$k$值都为正数，可结合正比例函数$k＞0$时的性质梳理共性。
【解析】
(1) 绘制图象步骤：
① 正比例函数图象是过原点$(0,0)$的直线，我们分别为三个函数选取$x=2$，计算对应$y$值：
对$y_1=\frac{1}{2}x$，$x=2$时，$y_1=\frac{1}{2}×2=1$，得到点$(2,1)$；
对$y_2=x$，$x=2$时，$y_2=2$，得到点$(2,2)$；
对$y_3=2x$，$x=2$时，$y_3=2×2=4$，得到点$(2,4)$。
② 分别将每个函数对应的点与原点$(0,0)$连接，画出直线，并标注对应的函数解析式即可。
(2) 观察图象和函数性质，可得相同点：
① 三个函数的$k$值均大于0，因此函数值$y$都随$x$的增大而增大；
② 三个函数都是正比例函数，图象都经过原点$(0,0)$；
③ 当$k＞0$时正比例函数图象过第一、三象限，因此三个函数的图象都经过第一、三象限。
（其余合理答案均可，比如三个函数的图象都是直线等）
【答案】
(1)三个函数的大致图象如图所示。
(2)相同点1:三个函数的函数值y都随着x值的增大而增大；
相同点2:三个函数的图象都经过点(0,0)；
相同点3:三个函数的图象都经过第一、三象限。
(答案不唯一)
【知识点】
正比例函数的图象；正比例函数的性质；描点法画函数图象
【点评】
本题围绕正比例函数的基础知识点展开，考查学生的动手绘图能力和图象观察归纳能力，属于基础类习题，熟练掌握正比例函数中$k$的取值对图象、性质的影响是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题分为画图和找共性两部分：
1. 对于画函数图象：正比例函数的形式为$y=kx$，其图象是过原点的直线，因此绘制时只需确定除原点外的一个点，将该点与原点连线即可得到对应函数的图象，之后标注好每个函数的解析式即可。
2. 对于找图象相同点：可从图象的形状、经过的特殊点、经过的象限、增减性几个角度观察总结，三个函数的$k$值都为正数，可结合正比例函数$k＞0$时的性质梳理共性。
【解析】
(1) 绘制图象步骤：
① 正比例函数图象是过原点$(0,0)$的直线，我们分别为三个函数选取$x=2$，计算对应$y$值：
对$y_1=\frac{1}{2}x$，$x=2$时，$y_1=\frac{1}{2}×2=1$，得到点$(2,1)$；
对$y_2=x$，$x=2$时，$y_2=2$，得到点$(2,2)$；
对$y_3=2x$，$x=2$时，$y_3=2×2=4$，得到点$(2,4)$。
② 分别将每个函数对应的点与原点$(0,0)$连接，画出直线，并标注对应的函数解析式即可。
(2) 观察图象和函数性质，可得相同点：
① 三个函数的$k$值均大于0，因此函数值$y$都随$x$的增大而增大；
② 三个函数都是正比例函数，图象都经过原点$(0,0)$；
③ 当$k＞0$时正比例函数图象过第一、三象限，因此三个函数的图象都经过第一、三象限。
（其余合理答案均可，比如三个函数的图象都是直线等）
【答案】
(1)三个函数的大致图象如图所示。
(2)相同点1:三个函数的函数值y都随着x值的增大而增大；
相同点2:三个函数的图象都经过点(0,0)；
相同点3:三个函数的图象都经过第一、三象限。
(答案不唯一)
【知识点】
正比例函数的图象；正比例函数的性质；描点法画函数图象
【点评】
本题围绕正比例函数的基础知识点展开，考查学生的动手绘图能力和图象观察归纳能力，属于基础类习题，熟练掌握正比例函数中$k$的取值对图象、性质的影响是解题的关键。
【难度系数】
0.8
例2 已知正比例函数$y=kx$，试回答下列问题：
(1)若正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是什么？
(2)已知点$(1,-2)$在正比例函数的图象上，求函数表达式。
[点拨] 本题考查正比例函数，掌握正比例函数图象的性质是解题的关键。
[解] (1)因为正比例函数的图象经过第二、四象限，
所以$k＜0$。
(2)将$x=1,y=-2$代入$y=kx$，得$k=-2$，即$y=-2x$。
(1)若正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是什么？
(2)已知点$(1,-2)$在正比例函数的图象上，求函数表达式。
[点拨] 本题考查正比例函数，掌握正比例函数图象的性质是解题的关键。
[解] (1)因为正比例函数的图象经过第二、四象限，
所以$k＜0$。
(2)将$x=1,y=-2$代入$y=kx$，得$k=-2$，即$y=-2x$。
答案
解：
(1) 因为正比例函数$y=kx$的图象经过第二、四象限，
所以$k＜0$。
(2) 将$x=1$，$y=-2$代入$y=kx$，
得$-2 = k · 1$，
解得$k=-2$，
所以该正比例函数的表达式为$y=-2x$。
(1) 因为正比例函数$y=kx$的图象经过第二、四象限，
所以$k＜0$。
(2) 将$x=1$，$y=-2$代入$y=kx$，
得$-2 = k · 1$，
解得$k=-2$，
所以该正比例函数的表达式为$y=-2x$。
解析
【分析】
（1）解答第一问首先回忆正比例函数$y=kx$的图象性质：$k$的符号直接决定图象经过的象限，当$k＞0$时图象过第一、三象限，当$k＜0$时图象过第二、四象限，结合题目给出的图象过第二、四象限的条件，即可推出$k$的取值范围。
（2）解答第二问要明确函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，因此将已知点的横、纵坐标代入$y=kx$，建立关于$k$的一元一次方程，求解得到$k$的值后即可确定函数表达式。
【解析】
(1) 因为正比例函数$y=kx$的图象经过第二、四象限，
所以$k＜0$。
(2) 将$x=1$，$y=-2$代入$y=kx$，
得$-2 = k · 1$，
解得$k=-2$，
所以该正比例函数的表达式为$y=-2x$。
【答案】
(1) $k＜0$；
(2) $y=-2x$
【知识点】
正比例函数的图象与性质；待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题是正比例函数的基础题，侧重考察对基础性质的记忆和基础方法的应用，相关内容是后续学习一次函数的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
（1）解答第一问首先回忆正比例函数$y=kx$的图象性质：$k$的符号直接决定图象经过的象限，当$k＞0$时图象过第一、三象限，当$k＜0$时图象过第二、四象限，结合题目给出的图象过第二、四象限的条件，即可推出$k$的取值范围。
（2）解答第二问要明确函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，因此将已知点的横、纵坐标代入$y=kx$，建立关于$k$的一元一次方程，求解得到$k$的值后即可确定函数表达式。
【解析】
(1) 因为正比例函数$y=kx$的图象经过第二、四象限，
所以$k＜0$。
(2) 将$x=1$，$y=-2$代入$y=kx$，
得$-2 = k · 1$，
解得$k=-2$，
所以该正比例函数的表达式为$y=-2x$。
【答案】
(1) $k＜0$；
(2) $y=-2x$
【知识点】
正比例函数的图象与性质；待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题是正比例函数的基础题，侧重考察对基础性质的记忆和基础方法的应用，相关内容是后续学习一次函数的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
|变式训练2| 已知函数$y=(m+1)· x^{m^2 -8}$是正比例函数，且图象经过第一、三象限，则$m$的值是（
A.2
B.$-3$
C.$\pm3$
D.3
D
）A.2
B.$-3$
C.$\pm3$
D.3
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，需要结合正比例函数的定义和图象性质分步推导：首先根据正比例函数的定义要求，列出对应条件求出m的可能取值；再结合图象经过第一、三象限的性质，筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
正比例函数的定义为：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数是正比例函数，因此本题中的函数需先满足两个基础条件：
1. 自变量$x$的次数为1，即$m^2 -8=1$，解得$m^2=9$，所以$m=3$或$m=-3$；
2. 系数不为0，即$m+1\ne0$，解得$m\ne-1$，因此$m=3$和$m=-3$均满足该条件。
再结合函数图象经过第一、三象限的性质，可知正比例函数的系数$k=m+1＞0$，解得$m＞-1$。
对比m的可能取值：$m=-3$时$m+1=-2＜0$，不符合要求；$m=3$时$m+1=4＞0$，符合要求，因此$m=3$。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的图象与性质
【点评】
本题是正比例函数的基础考查题，解题时需注意不要遗漏正比例函数“系数不为0”的隐含条件，同时要准确掌握系数符号与图象所在象限的对应关系，避免因漏看条件导致错选。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，需要结合正比例函数的定义和图象性质分步推导：首先根据正比例函数的定义要求，列出对应条件求出m的可能取值；再结合图象经过第一、三象限的性质，筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
正比例函数的定义为：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k\ne0$）的函数是正比例函数，因此本题中的函数需先满足两个基础条件：
1. 自变量$x$的次数为1，即$m^2 -8=1$，解得$m^2=9$，所以$m=3$或$m=-3$；
2. 系数不为0，即$m+1\ne0$，解得$m\ne-1$，因此$m=3$和$m=-3$均满足该条件。
再结合函数图象经过第一、三象限的性质，可知正比例函数的系数$k=m+1＞0$，解得$m＞-1$。
对比m的可能取值：$m=-3$时$m+1=-2＜0$，不符合要求；$m=3$时$m+1=4＞0$，符合要求，因此$m=3$。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的图象与性质
【点评】
本题是正比例函数的基础考查题，解题时需注意不要遗漏正比例函数“系数不为0”的隐含条件，同时要准确掌握系数符号与图象所在象限的对应关系，避免因漏看条件导致错选。
【难度系数】
0.75
