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8.如图，已知$AD// BC$，$∠ BAD=90°$。以点B为圆心、BC的长为半径作弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作$CF⊥ BE$，垂足为点F。线段BF与图中的哪条线段相等？写出你的分析过程。
答案
8. 解:BF=AE。理由如下：
因为CF⊥BE，
所以∠BAD=∠BFC=90°。
因为AD//BC，
所以∠AEB=∠FBC。
在△AEB和△FBC中，
$\begin{cases}∠BAD=∠BFC,\\∠AEB=∠FBC,\\BE=BC,\end{cases}$
所以△AEB≌△FBC(AAS)，
所以BF=AE。
因为CF⊥BE，
所以∠BAD=∠BFC=90°。
因为AD//BC，
所以∠AEB=∠FBC。
在△AEB和△FBC中，
$\begin{cases}∠BAD=∠BFC,\\∠AEB=∠FBC,\\BE=BC,\end{cases}$
所以△AEB≌△FBC(AAS)，
所以BF=AE。
解析
【分析】
要判断线段BF与哪条线段相等，可通过证明线段所在的三角形全等推导：首先观察图形，初步猜测BF=AE。首先由作图可知BE=BC；再结合已知的垂直条件和直角条件，可得∠BAD=∠BFC=90°；最后根据AD//BC的平行关系，利用平行线的内错角相等可得∠AEB=∠FBC。三组条件满足全等三角形AAS判定，即可证明两个三角形全等，从而得到对应边相等的结论。
【解析】
BF=AE，理由如下：
∵ CF⊥BE，
∴ ∠BFC=90°，
又
∵ ∠BAD=90°，
∴ ∠BAD=∠BFC。
∵ AD//BC，
∴ ∠AEB=∠FBC（两直线平行，内错角相等）。
由作图可知，BE=BC（同圆的半径相等）。
在△AEB和△FBC中：
$\begin{cases}∠BAD=∠BFC \\∠AEB=∠FBC \\BE=BC\end{cases}$
∴ △AEB≌△FBC（AAS），
∴ BF=AE（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
BF=AE
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础题，将平行线性质、直角性质与全等三角形的判定结合考查，解题的核心是找准要证明全等的两个三角形，梳理已知条件凑齐全等判定要素，能有效提升学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
要判断线段BF与哪条线段相等，可通过证明线段所在的三角形全等推导：首先观察图形，初步猜测BF=AE。首先由作图可知BE=BC；再结合已知的垂直条件和直角条件，可得∠BAD=∠BFC=90°；最后根据AD//BC的平行关系，利用平行线的内错角相等可得∠AEB=∠FBC。三组条件满足全等三角形AAS判定，即可证明两个三角形全等，从而得到对应边相等的结论。
【解析】
BF=AE，理由如下：
∵ CF⊥BE，
∴ ∠BFC=90°，
又
∵ ∠BAD=90°，
∴ ∠BAD=∠BFC。
∵ AD//BC，
∴ ∠AEB=∠FBC（两直线平行，内错角相等）。
由作图可知，BE=BC（同圆的半径相等）。
在△AEB和△FBC中：
$\begin{cases}∠BAD=∠BFC \\∠AEB=∠FBC \\BE=BC\end{cases}$
∴ △AEB≌△FBC（AAS），
∴ BF=AE（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
BF=AE
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础题，将平行线性质、直角性质与全等三角形的判定结合考查，解题的核心是找准要证明全等的两个三角形，梳理已知条件凑齐全等判定要素，能有效提升学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
9.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD\bot BC$于点$D$,$CE\bot AB$于点$E$,且$AE=CE$,$AD$与$CE$相交于点$F$。$△ AEF$与$△ CEB$全等吗？请说明理由。
答案
9. 解:△AEF≌△CEB。
因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°，
所以∠B+∠EAF=90°。
因为CE⊥AB,所以∠CEB=90°，
所以∠B+∠ECB=90°，
所以∠EAF=∠ECB。
在△AEF和△CEB中，
$\begin{cases}∠AEF=∠CEB,\\AE=CE,\\∠EAF=∠ECB,\end{cases}$
所以△AEF≌△CEB(ASA)。
因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°，
所以∠B+∠EAF=90°。
因为CE⊥AB,所以∠CEB=90°，
所以∠B+∠ECB=90°，
所以∠EAF=∠ECB。
在△AEF和△CEB中，
$\begin{cases}∠AEF=∠CEB,\\AE=CE,\\∠EAF=∠ECB,\end{cases}$
所以△AEF≌△CEB(ASA)。
解析
【分析】
要判断△AEF与△CEB是否全等，可先梳理已知条件，寻找全等三角形的判定依据：首先由CE⊥AB可得∠AEF与∠CEB均为直角，二者相等，且题目已知AE=CE，此时只需再找到一组对应角相等即可证明全等；接下来结合AD⊥BC、CE⊥AB的条件，可通过同角的余角相等推出∠EAF=∠ECB，满足角边角（ASA）的判定条件，即可得出结论。
【解析】
△AEF≌△CEB，理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠B + ∠EAF = 90°。
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=∠AEF=90°，
∴∠B + ∠ECB = 90°，
∴∠EAF=∠ECB（同角的余角相等）。
在△AEF和△CEB中：
$\{\begin{array}{l}∠AEF=∠CEB\\AE=CE\\∠EAF=∠ECB\end{array} $
∴△AEF≌△CEB（ASA）。
【答案】
△AEF≌△CEB
【知识点】
全等三角形的判定，同角的余角相等，垂直的定义
【点评】
本题是基础的全等三角形证明题，解题关键是结合垂直的性质推导对应角相等，再结合已知的等边选择合适的判定定理完成证明，需熟练掌握全等三角形的判定定理并灵活运用。
【难度系数】
0.8
要判断△AEF与△CEB是否全等，可先梳理已知条件，寻找全等三角形的判定依据：首先由CE⊥AB可得∠AEF与∠CEB均为直角，二者相等，且题目已知AE=CE，此时只需再找到一组对应角相等即可证明全等；接下来结合AD⊥BC、CE⊥AB的条件，可通过同角的余角相等推出∠EAF=∠ECB，满足角边角（ASA）的判定条件，即可得出结论。
【解析】
△AEF≌△CEB，理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠B + ∠EAF = 90°。
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=∠AEF=90°，
∴∠B + ∠ECB = 90°，
∴∠EAF=∠ECB（同角的余角相等）。
在△AEF和△CEB中：
$\{\begin{array}{l}∠AEF=∠CEB\\AE=CE\\∠EAF=∠ECB\end{array} $
∴△AEF≌△CEB（ASA）。
【答案】
△AEF≌△CEB
【知识点】
全等三角形的判定，同角的余角相等，垂直的定义
【点评】
本题是基础的全等三角形证明题，解题关键是结合垂直的性质推导对应角相等，再结合已知的等边选择合适的判定定理完成证明，需熟练掌握全等三角形的判定定理并灵活运用。
【难度系数】
0.8
10. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AC = BC$，点$D$是$AB$上一点，$AE ⊥ CD$于点$E$，$BF ⊥ CD$交$CD$的延长线于点$F$。$AE = EF + BF$吗？请说明理由。
答案
10. 解:AE=EF+BF。
因为AE⊥CD,所以∠AEC=90°，
所以∠ACE+∠CAE=90°。
因为∠ACB=90°，
所以∠ACE+∠BCF=90°，
所以∠CAE=∠BCF。
因为AE⊥CD,BF⊥CD，
所以∠AEC=∠BFC=90°。
在△ACE与△CBF中，
$\begin{cases}∠AEC=∠BFC,\\∠CAE=∠BCF,\\AC=BC,\end{cases}$
所以△ACE≌△CBF(AAS)。
所以AE=CF,CE=BF，
所以AE=CF=EF+CE=EF+BF。
因为AE⊥CD,所以∠AEC=90°，
所以∠ACE+∠CAE=90°。
因为∠ACB=90°，
所以∠ACE+∠BCF=90°，
所以∠CAE=∠BCF。
因为AE⊥CD,BF⊥CD，
所以∠AEC=∠BFC=90°。
在△ACE与△CBF中，
$\begin{cases}∠AEC=∠BFC,\\∠CAE=∠BCF,\\AC=BC,\end{cases}$
所以△ACE≌△CBF(AAS)。
所以AE=CF,CE=BF，
所以AE=CF=EF+CE=EF+BF。
解析
【分析】
要证明AE=EF+BF，属于线段和差类证明问题，可通过全等三角形实现线段的等量代换求解。首先结合已知的垂直条件和∠ACB=90°，利用同角的余角相等得到一组相等的角，再结合AC=BC、两个直角相等的条件，证明△ACE和△CBF全等，得到对应边相等后，将CF拆分为EF+CE，再把CE替换为相等的BF，即可推导出待证结论。
【解析】
解：AE=EF+BF，理由如下：
因为AE⊥CD，所以∠AEC=90°，
所以∠ACE+∠CAE=90°。
因为∠ACB=90°，
所以∠ACE+∠BCF=90°，
所以∠CAE=∠BCF。
因为AE⊥CD，BF⊥CD，
所以∠AEC=∠BFC=90°。
在△ACE与△CBF中，
$\begin{cases}∠AEC=∠BFC,\\∠CAE=∠BCF,\\AC=BC,\end{cases}$
所以△ACE≌△CBF(AAS)。
所以AE=CF，CE=BF，
又因为CF=EF+CE，
所以AE=EF+CE=EF+BF。
【答案】
AE=EF+BF
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；余角的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的常规题型，核心考查角度推导、三角形全等的证明以及线段的等量代换，熟练掌握余角的性质和全等三角形的判定、性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要证明AE=EF+BF，属于线段和差类证明问题，可通过全等三角形实现线段的等量代换求解。首先结合已知的垂直条件和∠ACB=90°，利用同角的余角相等得到一组相等的角，再结合AC=BC、两个直角相等的条件，证明△ACE和△CBF全等，得到对应边相等后，将CF拆分为EF+CE，再把CE替换为相等的BF，即可推导出待证结论。
【解析】
解：AE=EF+BF，理由如下：
因为AE⊥CD，所以∠AEC=90°，
所以∠ACE+∠CAE=90°。
因为∠ACB=90°，
所以∠ACE+∠BCF=90°，
所以∠CAE=∠BCF。
因为AE⊥CD，BF⊥CD，
所以∠AEC=∠BFC=90°。
在△ACE与△CBF中，
$\begin{cases}∠AEC=∠BFC,\\∠CAE=∠BCF,\\AC=BC,\end{cases}$
所以△ACE≌△CBF(AAS)。
所以AE=CF，CE=BF，
又因为CF=EF+CE，
所以AE=EF+CE=EF+BF。
【答案】
AE=EF+BF
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；余角的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的常规题型，核心考查角度推导、三角形全等的证明以及线段的等量代换，熟练掌握余角的性质和全等三角形的判定、性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
