知识点一 用“边角边”判定两个三角形全等
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“”或“”。

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。

【分析】
这道题考查全等三角形边角边判定定理的基础概念，解题时只需回忆该判定定理的两种简写形式即可。首先明确该判定的核心是两边夹一角对应相等，文字简写直接提炼核心表述为“边角边”，字母简写则按照边、角、边的顺序，用对应符号组合得到“SAS”。
【解析】
根据三角形全等的“边角边”判定规则：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，其文字简称为“边角边”，字母简称为“SAS”。
【答案】
边角边；SAS
【知识点】
全等三角形“SAS”判定
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对全等三角形判定定理的识记能力，熟练掌握基础概念即可轻松得分。
【难度系数】
0.9

如图,已知线段 $a$, $c$, $∠α$, 用尺规作 $△ ABC$, 使 $BC=a$, $AB=c$, $∠ ABC=∠α$。

请按照给出的作法作出相应的图形:
| 作法 | 作图 |
| --- | --- |
| (1)作一条线段 $BC=a$。 | |
(续表)
| 作法 | 作图 |
| --- | --- |
| (2)以点 $B$ 为顶点,以 $BC$ 为一边,作角 $∠ DBC=∠α$。 | |
| (3)在射线 $BD$ 上截取线段 $BA=c$。 | |
| (4)连接 $AC$。$△ ABC$ 就是所要作的三角形。 | |

解：
按给定作法完成尺规作图：
1. 作射线，用圆规量取线段a的长度，在射线上截取线段BC=a，标注端点B、C。
2. 作∠DBC=∠α：
① 以已知∠α的顶点为圆心，取适当长为半径画弧，分别交∠α的两边于两点；
② 以点B为圆心，取相同长度为半径画弧，交BC于点P；
③ 以点P为圆心，量取已知角上两交点的线段长为半径画弧，与以B为圆心所作的弧交于点D；
④ 过点B、D作射线BD，得到∠DBC=∠α。
3. 用圆规量取线段c的长度，在射线BD上从点B出发截取BA=c，标注点A。
4. 用直尺连接AC，所得的△ABC就是所求作的三角形。

【分析】
本题是已知两边及其夹角作三角形的尺规作图题，解题思路可按“定边→作角→截边→连线”的逻辑展开：首先先作出长度为a的线段BC，确定B、C两个顶点；再以B为顶点、BC为一边作等于∠α的角，得到第三个顶点A所在的射线；接着在该射线上截取长度为c的线段AB，确定顶点A；最后连接AC即可得到符合要求的三角形，整个过程核心用到作线段等于已知线段、作角等于已知角两个基础尺规作图方法。
【解析】
按照给定作法分步完成作图：
1. 作一条射线，用圆规量取已知线段a的长度，在射线上截取线段BC=a，标注端点B、C；
2. 作∠DBC=∠α：
① 以已知∠α的顶点为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交∠α的两条边于两个点；
② 以点B为圆心，取和上一步相同的长度为半径画弧，交BC于点P；
③ 以点P为圆心，量取已知∠α上两交点之间的线段长度为半径画弧，与以B为圆心所作的弧交于点D；
④ 过点B、D作射线BD，即可得到∠DBC=∠α；
3. 用圆规量取已知线段c的长度，在射线BD上从点B出发截取BA=c，标注端点A；
4. 用直尺连接A、C两点，所得的△ABC即为所求作的三角形。
（作图需保留全部作图痕迹）
【答案】
按给定作法完成尺规作图：
1. 作射线，用圆规量取线段a的长度，在射线上截取线段BC=a，标注端点B、C。
2. 作∠DBC=∠α：
① 以已知∠α的顶点为圆心，取适当长为半径画弧，分别交∠α的两边于两点；
② 以点B为圆心，取相同长度为半径画弧，交BC于点P；
③ 以点P为圆心，量取已知角上两交点的线段长为半径画弧，与以B为圆心所作的弧交于点D；
④ 过点B、D作射线BD，得到∠DBC=∠α。
3. 用圆规量取线段c的长度，在射线BD上从点B出发截取BA=c，标注点A。
4. 用直尺连接AC，所得的△ABC就是所求作的三角形。
【知识点】
作线段等于已知线段，作角等于已知角，尺规作三角形
【点评】
本题是基础类尺规作图题，考查已知两边及夹角作三角形的操作方法，熟练掌握作线段等于已知线段、作角等于已知角这两个基本作图是解题的关键，作图时要注意保留完整的作图痕迹，按要求标注对应字母。
【难度系数】
0.8

例1 如图，已知点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF。△ADF与△BCE全等吗？请说明理由。

[点拨] 本题考查全等三角形的判定，解题的关键是得出AF=BE，然后根据三角形全等的判定定理即可说明△ADF≌△BCE。
[解] △ADF≌△BCE。
因为AE=BF，
所以AE+EF=BF+EF，
即AF=BE。
在△ADF与△BCE中，
$\{\begin{array}{l}AD=BC,\\∠A=∠B,\\AF=BE,\end{array} $
所以△ADF≌△BCE(SAS)。

解：△ADF≌△BCE。
因为AE=BF，
所以AE+EF=BF+EF，
即AF=BE。
在△ADF与△BCE中，
$\begin{cases}AD=BC, \\∠ A=∠ B, \\AF=BE,\end{cases}$
所以△ADF≌△BCE(SAS)。

【分析】要判断△ADF和△BCE是否全等，可结合已知条件和全等三角形的判定定理推导：已知AD=BC、∠A=∠B，还缺一组对应边相等即可用两边及夹角的判定定理证明全等。观察图形可得AF=AE+EF，BE=BF+EF，已知AE=BF，给等式两边同时加上公共线段EF，就能得到AF=BE，此时满足两边及其夹角对应相等的判定条件，可证明两个三角形全等。
【解析】
△ADF≌△BCE，理由如下：
因为AE=BF，
所以AE+EF=BF+EF，
即AF=BE。
在△ADF与△BCE中，
$\begin{cases}AD=BC, \\∠ A=∠ B, \\AF=BE,\end{cases}$
所以△ADF≌△BCE（SAS）。
【答案】
△ADF≌△BCE
【知识点】
全等三角形SAS判定、线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题的关键是通过已知线段的等量关系推导出全等所需的对应边相等，熟练掌握全等三角形的SAS判定定理就能快速解答。
【难度系数】
0.8

|变式训练1| 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上的点，且AD=BD，DE=DC。∠C与∠BED相等吗？请说明理由。

解:∠C=∠BED。
因为AD⊥BC，
所以∠ADC=∠BDE=90°。
在△ACD和△BED中，
$\begin{cases} AD=BD, \\ ∠ADC=∠BDE, \\ DC=DE, \end{cases}$
所以△ACD≌△BED(SAS)，
所以∠C=∠BED。

【分析】
要判断∠C与∠BED是否相等，可通过证明两个角所在的三角形全等来推导，因为全等三角形的对应角相等。首先观察两个角的位置：∠C在△ACD中，∠BED在△BED中。先由AD⊥BC可得两个三角形有一组直角相等，再结合题目给出的AD=BD、DC=DE两组边相等的条件，刚好符合边角边（SAS）的全等判定条件，证明两个三角形全等后即可得出对应角相等的结论。
【解析】
∠C=∠BED，理由如下：
因为AD⊥BC，
所以∠ADC=∠BDE=90°。
在△ACD和△BED中，
$\begin{cases} AD=BD, \\ ∠ADC=∠BDE, \\ DC=DE, \end{cases}$
所以△ACD≌△BED（SAS），
根据全等三角形的对应角相等，可得∠C=∠BED。
【答案】
∠C=∠BED
【知识点】
1. 垂直的定义
2. SAS判定全等
3. 全等三角形性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题型，解题的核心是找准待证角所属的三角形，结合已知条件梳理出全等判定需要的边、角条件即可求解，能够帮助学生巩固全等三角形的相关基础知识。
【难度系数】
0.8