例2 如图,已知点A,F,C,D在一条直线上,AB//DE,AB＝DE,AF＝DC。BC与EF平行吗？请说明理由。

[点拨] 本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质等知识,关键是正确寻找三角形全等的条件,再由“SAS”得到△ABC≌△DEF,则由全等三角形的性质得∠ACB＝∠DFE,从而得出结论。
[解] BC//EF。
因为AB//DE,所以∠A＝∠D。
因为AF＝DC,
所以AF＋FC＝DC＋FC,即AC＝DF。
在△ABC与△DEF中,
$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠A=∠D, \\ AC=DF, \end{cases}$
所以△ABC≌△DEF(SAS)。
所以∠ACB＝∠DFE,
所以BC//EF。

解：$BC// EF$，理由如下：
$\because AB// DE$，
$\therefore ∠ A = ∠ D$。
$\because AF = DC$，
$\therefore AF + FC = DC + FC$，即 $AC = DF$。
在$△ ABC$与$△ DEF$中，
$\begin{cases}AB = DE, \\∠ A = ∠ D, \\AC = DF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ ACB = ∠ DFE$，
$\therefore BC// EF$。

【分析】
要判断BC与EF是否平行，可通过证明二者被直线AD所截形成的内错角∠ACB与∠DFE相等推导。要证这两个角相等，可证明它们所在的△ABC和△DEF全等：首先由AB//DE可得内错角∠A=∠D，已知AB=DE，再结合AF=DC，在等式两边同时加上公共线段FC，即可得到AC=DF，刚好满足SAS的全等判定条件，证得三角形全等后对应角相等，进而可推出两直线平行。
【解析】
$BC// EF$，理由如下：
$\because AB// DE$，
$\therefore ∠ A = ∠ D$。
$\because AF = DC$，
$\therefore AF + FC = DC + FC$，即 $AC = DF$。
在$△ ABC$与$△ DEF$中，
$\begin{cases}AB = DE, \\ ∠ A = ∠ D, \\ AC = DF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ ACB = ∠ DFE$，
$\therefore BC// EF$。
【答案】
$BC// EF$
【知识点】
平行线的判定与性质、全等三角形的SAS判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是结合已知条件推导全等三角形的判定条件，再借助全等的性质得到相等的角，进而证明直线平行，能有效锻炼逻辑推理能力和几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7

| 变式训练2 | 如图，在$△ ABC$和$△ ADE$中，$AB=AD$，$AC=AE$，$∠1=∠2$，$AD$，$BC$相交于点$F$。
(1)$∠ B$与$∠ D$相等吗？请说明理由；
(2)若$AB// DE$，$∠ D=40°$，求$∠ AFB$的度数。

解:(1)$∠B=∠D$。
因为$∠1=∠2$，
所以$∠1+∠CAD=∠2+∠CAD$，
即$∠CAB=∠EAD$。
在△ABC和△ADE中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠CAB=∠EAD, \\ AC=AE, \end{cases}$
所以△ABC≌△ADE(SAS)，
所以$∠B=∠D$。
(2)因为$AB// DE$，
所以$∠1=∠D=40°$。
由(1)知$∠B=∠D=40°$，
所以$∠AFB=180°-∠1-∠B$
$=180°-40°-40°=100°$。

【分析】
(1)要判断∠B与∠D是否相等，可通过证明两角所在的△ABC和△ADE全等推导。首先已知∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠CAD，即可得到两个三角形的夹角∠CAB=∠EAD，再结合已知的AB=AD、AC=AE，满足SAS全等判定条件，证得全等后对应角相等，即可得到∠B=∠D。
(2)求∠AFB的度数，先利用AB//DE的条件，根据平行线内错角相等的性质，可得∠1=∠D=40°，再结合(1)的结论得到∠B=∠D=40°，最后在△AFB中利用三角形内角和为180°，即可计算出∠AFB的度数。
【解析】
(1)∠B=∠D，理由如下：
因为∠1=∠2，
所以∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，
即∠CAB=∠EAD。
在△ABC和△ADE中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠CAB=∠EAD, \\ AC=AE, \end{cases}$
所以△ABC≌△ADE(SAS)，
所以∠B=∠D。
(2)因为$AB// DE$，
所以∠1=∠D=40°，
由(1)可知∠B=∠D=40°，
在△AFB中，∠AFB=180°-∠1-∠B=180°-40°-40°=100°。
【答案】
(1)∠B=∠D，理由见上述解析；(2)$100°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是先通过角的和差关系得到全等三角形的对应夹角相等，进而证明全等得到等角，再结合平行线性质和三角形内角和计算角度，这类题型是几何部分的常考基础题型，需要熟练掌握全等判定的条件及相关几何性质的应用。
【难度系数】
0.7

1. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点。已知AB=AC，则不能判定△ABE≌△ACD的一个条件是()

A.∠B=∠C
B.AD=AE
C.BD=CE
D.BE=CD

1. D

【分析】
要判定△ABE≌△ACD，首先先找出两个三角形中已经存在的相等条件：已知AB=AC，且∠A是两个三角形的公共角，即∠A=∠A，因此已经满足一组边相等、一组角相等。接下来只需验证每个选项给出的条件，是否符合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），若符合则可判定全等，不符合即为正确选项，注意SSA不能作为全等判定依据。
【解析】
在△ABE和△ACD中，已知AB=AC，∠A=∠A（公共角），逐个分析选项：
A. 添加∠B=∠C，满足ASA判定条件：$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ A\\ AB=AC\\ ∠ B=∠ C\end{array} $，可判定△ABE≌△ACD，不符合题意；
B. 添加AD=AE，满足SAS判定条件：$\{\begin{array}{l}AB=AC\\ ∠ A=∠ A\\ AE=AD\end{array} $，可判定△ABE≌△ACD，不符合题意；
C. 添加BD=CE，由AB=AC可得AB-BD=AC-CE，即AD=AE，同B选项满足SAS判定条件，可判定△ABE≌△ACD，不符合题意；
D. 添加BE=CD，此时满足的条件为两边及其中一边的对角（SSA），无对应全等判定定理，不能判定△ABE≌△ACD，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 等式的性质
3. 公共角的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的实际应用，解题的关键是先确定已有的相等边和角，再逐一验证选项是否符合判定规则，需特别注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免概念混淆导致错误。
【难度系数】
0.7

2.如图,已知点A,D,C,F在同一条直线上,
AB = DE, BC = EF。要使$△ ABC ≌ △ DEF$,还需要添加的一个条件是()


A.$∠ BCA = ∠ F$
B.$∠ B = ∠ E$
C.$BC // EF$
D.$∠ A = ∠ EDF$

2. B

【分析】
首先明确已知条件：△ABC和△DEF中已有AB=DE、BC=EF两组对应边相等。根据全等三角形的判定规则，已知两组对应边相等时，要么补充第三组对应边相等（用SSS判定全等），要么补充这两组边的夹角对应相等（用SAS判定全等），我们只需逐一验证选项是否符合上述要求即可。
【解析】
已知在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，对各选项分析如下：
1. 选项A：添加∠BCA=∠F时，满足的是两边及其中一边的对角相等（SSA），不属于全等三角形的合法判定条件，无法证明△ABC≌△DEF，排除；
2. 选项B：添加∠B=∠E时，满足AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，符合两边及其夹角对应相等的SAS判定规则，可证明△ABC≌△DEF，符合要求；
3. 选项C：添加BC//EF时，由平行线的性质可推出∠BCA=∠F，同选项A，属于SSA条件，无法判定全等，排除；
4. 选项D：添加∠A=∠EDF时，同样属于两边及其中一边的对角相等（SSA），不符合判定规则，无法证明全等，排除。
综上，应选B。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定，SAS判定定理，平行线的性质
【点评】
本题核心考查全等三角形判定定理的实际应用，解题时需注意SSA不能作为全等三角形的判定依据，结合已知边的位置找准对应的夹角是解题的关键。
【难度系数】
0.7