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5.如图，已知$△ ABC ≌ △ DEF$，点$B$，$E$，$C$，$F$在同一条直线上。若$BC=5$，$BE=2$，则$BF=$
7
。答案
5. 7
解析
【分析】
解题时首先从已知的全等三角形条件出发，回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，由此可找到BC的对应边是EF，得出EF的长度等于BC的长度。再观察点的排列顺序：B、E、C、F在同一直线上，可知线段BF由BE和EF两段组成，因此只需将已知的BE长度和求出的EF长度相加，即可得到BF的长度。
【解析】
解：
∵$△ ABC ≌ △ DEF$，
∴根据全等三角形对应边相等，可得$EF=BC=5$，
∵点B、E、C、F在同一条直线上，
∴$BF=BE+EF$，
代入$BE=2$，$EF=5$，得：
$BF=2+5=7$。
【答案】
7
【知识点】
全等三角形的性质；线段的和差计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确找到全等三角形的对应边，再结合线段的和差关系计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时首先从已知的全等三角形条件出发，回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，由此可找到BC的对应边是EF，得出EF的长度等于BC的长度。再观察点的排列顺序：B、E、C、F在同一直线上，可知线段BF由BE和EF两段组成，因此只需将已知的BE长度和求出的EF长度相加，即可得到BF的长度。
【解析】
解：
∵$△ ABC ≌ △ DEF$，
∴根据全等三角形对应边相等，可得$EF=BC=5$，
∵点B、E、C、F在同一条直线上，
∴$BF=BE+EF$，
代入$BE=2$，$EF=5$，得：
$BF=2+5=7$。
【答案】
7
【知识点】
全等三角形的性质；线段的和差计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确找到全等三角形的对应边，再结合线段的和差关系计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
6.如图,在由6个相同的小正方形拼成的网格中,∠2−∠1=
90°
。答案
6. $90°$
解析
【分析】
解题时先设每个小正方形边长为1，观察∠1和∠2所在的直角三角形，发现两个直角三角形的两条直角边分别为1和2，符合全等三角形SAS的判定条件，先证明两三角形全等得到对应角相等，再结合直角、平角的角和差关系，即可推导得出∠2与∠1的差值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 观察∠1所在的直角三角形：两条直角边长度分别为1、2，夹角为直角，记该三角形中与∠1互余的锐角为∠α，可得$∠ 1 + ∠ α = 90°$，即$∠ α = 90° - ∠ 1$。
2. 观察∠2旁边的直角三角形：两条直角边长度也为1、2，夹角为直角，根据SAS判定定理，可得这两个直角三角形全等，因此∠2的邻补角等于∠α。
3. 根据平角的定义，$∠ 2 + ∠ α = 180°$，将$∠ α = 90° - ∠ 1$代入该式：
$∠ 2 + 90° - ∠ 1 = 180°$
整理得：$∠ 2 - ∠ 1 = 180° - 90° = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
全等三角形判定，角的和差计算
【点评】
本题是典型的网格角度计算题型，核心是通过观察网格特征找到全等三角形，将未知角的关系转化为已知角的关系进行计算，解题时要注意结合网格的边长相等、直角等隐藏条件。
【难度系数】
0.65
解题时先设每个小正方形边长为1，观察∠1和∠2所在的直角三角形，发现两个直角三角形的两条直角边分别为1和2，符合全等三角形SAS的判定条件，先证明两三角形全等得到对应角相等，再结合直角、平角的角和差关系，即可推导得出∠2与∠1的差值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 观察∠1所在的直角三角形：两条直角边长度分别为1、2，夹角为直角，记该三角形中与∠1互余的锐角为∠α，可得$∠ 1 + ∠ α = 90°$，即$∠ α = 90° - ∠ 1$。
2. 观察∠2旁边的直角三角形：两条直角边长度也为1、2，夹角为直角，根据SAS判定定理，可得这两个直角三角形全等，因此∠2的邻补角等于∠α。
3. 根据平角的定义，$∠ 2 + ∠ α = 180°$，将$∠ α = 90° - ∠ 1$代入该式：
$∠ 2 + 90° - ∠ 1 = 180°$
整理得：$∠ 2 - ∠ 1 = 180° - 90° = 90°$。
【答案】
$90°$
【知识点】
全等三角形判定，角的和差计算
【点评】
本题是典型的网格角度计算题型，核心是通过观察网格特征找到全等三角形，将未知角的关系转化为已知角的关系进行计算，解题时要注意结合网格的边长相等、直角等隐藏条件。
【难度系数】
0.65
7. 如图，已知$△ ABC ≌ △ ADE$，$∠ B = 30°$，$∠ E = 20°$，$∠ BAE = 105°$，求$∠ BAC$，$∠ DAC$的度数。
答案
7. 解:因为$△ ABC≌△ ADE$,
所以$∠ B=∠ D=30°,∠ BAC=∠ DAE$。
因为$∠ DAE=180°-∠ D-∠ E=180°-30°-20°=130°$,
所以$∠ BAC=130°$。
因为$∠ BAE=105°$,
所以$∠ BAD=∠ DAE-∠ BAE$
$=130°-105°=25°$,
所以$∠ DAC=∠ BAD+∠ BAC$
$=25°+130°=155°$。
所以$∠ B=∠ D=30°,∠ BAC=∠ DAE$。
因为$∠ DAE=180°-∠ D-∠ E=180°-30°-20°=130°$,
所以$∠ BAC=130°$。
因为$∠ BAE=105°$,
所以$∠ BAD=∠ DAE-∠ BAE$
$=130°-105°=25°$,
所以$∠ DAC=∠ BAD+∠ BAC$
$=25°+130°=155°$。
解析
【分析】
解题时先从已知的三角形全等条件入手，根据全等三角形的性质可得对应角相等，因此∠BAC和∠DAE相等，∠B和∠D相等；再结合三角形内角和为180°，已知∠D和∠E的度数即可求出∠DAE，也就得到了∠BAC的度数。接下来求∠DAC，先通过∠DAE与∠BAE的差算出∠BAD的度数，再根据∠DAC是∠BAC与∠BAD的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D=30°，∠BAC=∠DAE（全等三角形的对应角相等）。
在△ADE中，根据三角形内角和为180°，得：
∠DAE=180°-∠D-∠E=180°-30°-20°=130°，
∴∠BAC=∠DAE=130°。
∵∠BAE=105°，
∴∠BAD=∠DAE - ∠BAE=130°-105°=25°，
∴∠DAC=∠BAC + ∠BAD=130°+25°=155°。
【答案】
∠BAC=130°，∠DAC=155°
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心是利用全等三角形的对应角相等实现角度的转化，再结合三角形内角和与角的和差关系求解，解题时要注意准确识别对应角，理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的三角形全等条件入手，根据全等三角形的性质可得对应角相等，因此∠BAC和∠DAE相等，∠B和∠D相等；再结合三角形内角和为180°，已知∠D和∠E的度数即可求出∠DAE，也就得到了∠BAC的度数。接下来求∠DAC，先通过∠DAE与∠BAE的差算出∠BAD的度数，再根据∠DAC是∠BAC与∠BAD的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D=30°，∠BAC=∠DAE（全等三角形的对应角相等）。
在△ADE中，根据三角形内角和为180°，得：
∠DAE=180°-∠D-∠E=180°-30°-20°=130°，
∴∠BAC=∠DAE=130°。
∵∠BAE=105°，
∴∠BAD=∠DAE - ∠BAE=130°-105°=25°，
∴∠DAC=∠BAC + ∠BAD=130°+25°=155°。
【答案】
∠BAC=130°，∠DAC=155°
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题属于基础题，核心是利用全等三角形的对应角相等实现角度的转化，再结合三角形内角和与角的和差关系求解，解题时要注意准确识别对应角，理清角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
8.如图,已知$△ ABC ≌ △ DEF$,点$B,E,C,F$在同一条直线上。
(1)若$∠ A=95°,∠ F=55°$,求$∠ DEF$的度数；
(2)若$BC=6$,点$E$是$BC$的中点,求$CF$的长。
(1)若$∠ A=95°,∠ F=55°$,求$∠ DEF$的度数；
(2)若$BC=6$,点$E$是$BC$的中点,求$CF$的长。
答案
8. 解:(1)因为$△ ABC≌△ DEF$,
所以$∠ A=∠ D=95°,∠ F=∠ ACB=55°$,
所以$∠ DEF=180°-∠ D-∠ F$
$=180°-95°-55°=30°$。
(2)因为$△ ABC≌△ DEF$,
所以$BC=EF=6$。
因为点$E$是$BC$的中点,
所以$CE=\frac{1}{2}BC=3$,
所以$CF=EF-CE=6-3=3$。
所以$∠ A=∠ D=95°,∠ F=∠ ACB=55°$,
所以$∠ DEF=180°-∠ D-∠ F$
$=180°-95°-55°=30°$。
(2)因为$△ ABC≌△ DEF$,
所以$BC=EF=6$。
因为点$E$是$BC$的中点,
所以$CE=\frac{1}{2}BC=3$,
所以$CF=EF-CE=6-3=3$。
解析
【分析】
本题分两小问，解题核心是利用全等三角形的性质找对应角、对应边的关系：
(1) 首先根据全等三角形对应顶点的顺序确定对应角，已知$△ ABC ≌ △ DEF$，可得$∠ A$与$∠ D$对应相等，$∠ ACB$与$∠ F$对应相等，再结合三角形内角和为$180°$，用$180°$减去$△ DEF$中已知的两个内角$∠ D$和$∠ F$，即可求出$∠ DEF$的度数。
(2) 先由全等三角形对应边相等得到$BC=EF$，再根据点$E$是$BC$中点的条件求出$CE$的长度，最后用$EF$减去$CE$即可得到$CF$的长度。
【解析】
(1) 因为$△ ABC ≌ △ DEF$，
所以$∠ A = ∠ D = 95°$，$∠ F = ∠ ACB = 55°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ DEF = 180° - ∠ D - ∠ F = 180° - 95° - 55° = 30°$。
(2) 因为$△ ABC ≌ △ DEF$，
所以$BC = EF = 6$，
因为点$E$是$BC$的中点，
所以$CE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 6 = 3$，
所以$CF = EF - CE = 6 - 3 = 3$。
【答案】
(1) $∠ DEF = 30°$；(2) $CF = 3$
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理；线段中点的定义
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题的关键是根据全等三角形的顶点对应关系准确找到对应角和对应边，结合三角形内角和、线段中点的性质即可顺利求解，掌握全等三角形的性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
本题分两小问，解题核心是利用全等三角形的性质找对应角、对应边的关系：
(1) 首先根据全等三角形对应顶点的顺序确定对应角，已知$△ ABC ≌ △ DEF$，可得$∠ A$与$∠ D$对应相等，$∠ ACB$与$∠ F$对应相等，再结合三角形内角和为$180°$，用$180°$减去$△ DEF$中已知的两个内角$∠ D$和$∠ F$，即可求出$∠ DEF$的度数。
(2) 先由全等三角形对应边相等得到$BC=EF$，再根据点$E$是$BC$中点的条件求出$CE$的长度，最后用$EF$减去$CE$即可得到$CF$的长度。
【解析】
(1) 因为$△ ABC ≌ △ DEF$，
所以$∠ A = ∠ D = 95°$，$∠ F = ∠ ACB = 55°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ DEF = 180° - ∠ D - ∠ F = 180° - 95° - 55° = 30°$。
(2) 因为$△ ABC ≌ △ DEF$，
所以$BC = EF = 6$，
因为点$E$是$BC$的中点，
所以$CE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 6 = 3$，
所以$CF = EF - CE = 6 - 3 = 3$。
【答案】
(1) $∠ DEF = 30°$；(2) $CF = 3$
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理；线段中点的定义
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题的关键是根据全等三角形的顶点对应关系准确找到对应角和对应边，结合三角形内角和、线段中点的性质即可顺利求解，掌握全等三角形的性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
9.如图,在$△ ABC$中,高线AD和角平分线BE相交于点F,$△ BDF ≌ △ ADC$。
(1)$BE ⊥ AC$吗?请说明理由；
(2)求$∠ C$的度数。
(1)$BE ⊥ AC$吗?请说明理由；
(2)求$∠ C$的度数。
答案
9. 解:(1)$BE⊥ AC$
因为$△ BDF≌△ ADC$,
所以$∠ BFD=∠ ACD$。
因为$AD⊥ BC$,
所以$∠ BDF=∠ ADC=90°$,
所以$∠ DBF+∠ BFD=90°$,
所以$∠ DBF+∠ ACD=90°$,
所以$∠ BEC=90°$,即$BE⊥ AC$。
(2)因为$△ BDF≌△ ADC$,
所以$BD=AD$,
所以$∠ ABD=∠ BAD$。
因为$∠ ADB=90°$,
所以$∠ ABD=\frac{180°-∠ ADB}{2}=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
因为$BE$平分$∠ ABC$,
所以$∠ DBF=\frac{1}{2}∠ ABD=\frac{1}{2}×45°=22.5°$,
所以$∠ C=90°-∠ DBF=90°-22.5°=67.5°$。
因为$△ BDF≌△ ADC$,
所以$∠ BFD=∠ ACD$。
因为$AD⊥ BC$,
所以$∠ BDF=∠ ADC=90°$,
所以$∠ DBF+∠ BFD=90°$,
所以$∠ DBF+∠ ACD=90°$,
所以$∠ BEC=90°$,即$BE⊥ AC$。
(2)因为$△ BDF≌△ ADC$,
所以$BD=AD$,
所以$∠ ABD=∠ BAD$。
因为$∠ ADB=90°$,
所以$∠ ABD=\frac{180°-∠ ADB}{2}=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
因为$BE$平分$∠ ABC$,
所以$∠ DBF=\frac{1}{2}∠ ABD=\frac{1}{2}×45°=22.5°$,
所以$∠ C=90°-∠ DBF=90°-22.5°=67.5°$。
解析
【分析】
(1)要判断BE是否垂直AC，只需证明∠BEC=90°即可。首先利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠BFD=∠C，再结合AD是高线可得Rt△BDF中两锐角互余，通过等量代换得到∠C+∠DBF=90°，即可推出∠BEC为直角。
(2)求∠C的度数，先由全等三角形对应边相等得到BD=AD，可知△ABD是等腰直角三角形，求出∠ABD的度数，再结合BE是角平分线求出∠DBF的度数，最后利用直角三角形两锐角互余即可计算出∠C的度数。
【解析】
(1)$BE ⊥ AC$，理由如下：
因为$△ BDF ≌ △ ADC$，所以$∠ BFD = ∠ ACD$。
因为AD是$△ ABC$的高线，所以$AD ⊥ BC$，即$∠ BDF = ∠ ADC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$∠ DBF + ∠ BFD = 90°$，
等量代换得$∠ DBF + ∠ ACD = 90°$，
因此$∠ BEC = 180° - (∠ DBF + ∠ ACD) = 90°$，即$BE ⊥ AC$。
(2)因为$△ BDF ≌ △ ADC$，所以$BD = AD$，即$△ ABD$是等腰直角三角形，$∠ ABD = ∠ BAD$。
已知$∠ ADB = 90°$，因此$∠ ABD = \frac{180° - 90°}{2} = 45°$。
因为BE平分$∠ ABC$，所以$∠ DBF = \frac{1}{2}∠ ABD = \frac{1}{2} × 45° = 22.5°$。
结合$∠ DBF + ∠ C = 90°$，可得$∠ C = 90° - 22.5° = 67.5°$。
【答案】
(1)$BE ⊥ AC$，理由见解析；
(2)$∠ C = 67.5°$
【知识点】
全等三角形的性质，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是利用全等三角形的性质完成边和角的等量代换，再结合角平分线、等腰直角三角形、直角三角形的性质推导结论，对锻炼几何逻辑推理能力有很大帮助。
【难度系数】
0.7
(1)要判断BE是否垂直AC，只需证明∠BEC=90°即可。首先利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠BFD=∠C，再结合AD是高线可得Rt△BDF中两锐角互余，通过等量代换得到∠C+∠DBF=90°，即可推出∠BEC为直角。
(2)求∠C的度数，先由全等三角形对应边相等得到BD=AD，可知△ABD是等腰直角三角形，求出∠ABD的度数，再结合BE是角平分线求出∠DBF的度数，最后利用直角三角形两锐角互余即可计算出∠C的度数。
【解析】
(1)$BE ⊥ AC$，理由如下：
因为$△ BDF ≌ △ ADC$，所以$∠ BFD = ∠ ACD$。
因为AD是$△ ABC$的高线，所以$AD ⊥ BC$，即$∠ BDF = ∠ ADC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$∠ DBF + ∠ BFD = 90°$，
等量代换得$∠ DBF + ∠ ACD = 90°$，
因此$∠ BEC = 180° - (∠ DBF + ∠ ACD) = 90°$，即$BE ⊥ AC$。
(2)因为$△ BDF ≌ △ ADC$，所以$BD = AD$，即$△ ABD$是等腰直角三角形，$∠ ABD = ∠ BAD$。
已知$∠ ADB = 90°$，因此$∠ ABD = \frac{180° - 90°}{2} = 45°$。
因为BE平分$∠ ABC$，所以$∠ DBF = \frac{1}{2}∠ ABD = \frac{1}{2} × 45° = 22.5°$。
结合$∠ DBF + ∠ C = 90°$，可得$∠ C = 90° - 22.5° = 67.5°$。
【答案】
(1)$BE ⊥ AC$，理由见解析；
(2)$∠ C = 67.5°$
【知识点】
全等三角形的性质，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是利用全等三角形的性质完成边和角的等量代换，再结合角平分线、等腰直角三角形、直角三角形的性质推导结论，对锻炼几何逻辑推理能力有很大帮助。
【难度系数】
0.7
