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10.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10\ \mathrm{cm}$, $BC=8\ \mathrm{cm}$,点$D$为$AB$的中点,点$P$在线段$BC$上以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$B$向点$C$移动,同时点$Q$在线段$CA$上由点$C$向点$A$移动。若点$Q$的移动速度与点$P$的移动速度相同,则使$△ BPD ≌ △ CQP$需经过多长时间?
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答案
10. 解:设点$P,Q$的运动时间为$t$ s,
则$BP=3t$ cm,$CQ=3t$ cm。
因为$AB=10$ cm,$BC=8$ cm,点$D$为$AB$的中点,
所以$BD=5$ cm,$PC=(8-3t)$ cm。
因为$△ BPD≌△ CQP$,所以$BD=PC$,
所以$5=8-3t$,解得$t=1$。
则$BP=3t$ cm,$CQ=3t$ cm。
因为$AB=10$ cm,$BC=8$ cm,点$D$为$AB$的中点,
所以$BD=5$ cm,$PC=(8-3t)$ cm。
因为$△ BPD≌△ CQP$,所以$BD=PC$,
所以$5=8-3t$,解得$t=1$。
解析
【分析】
这是一道结合动点的全等三角形计算问题，解题时可按以下思路推导：首先设运动时间为t秒，根据P、Q的运动速度，用含t的代数式分别表示出BP、CQ的长度；再结合已知条件，求出AB中点D对应的BD长度，同时用含t的代数式表示出PC的长度；最后根据全等三角形对应边相等的性质，确定对应边的等量关系BD=PC，列方程求解即可得到运动时间。
【解析】
设点P、Q的运动时间为$ t $ s，
由P、Q的移动速度均为$ 3\ \mathrm{cm/s} $，可得$ BP=3t\ \mathrm{cm} $，$ CQ=3t\ \mathrm{cm} $。
∵$ AB=10\ \mathrm{cm} $，点D为AB的中点，
∴$ BD=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm} $，
又
∵$ BC=8\ \mathrm{cm} $，
∴$ PC=BC-BP=(8-3t)\ \mathrm{cm} $。
∵$ △ BPD ≌ △ CQP $，根据全等三角形对应边相等的性质，得$ BD=PC $，
列方程：$ 5=8-3t $，
解得：$ t=1 $。
【答案】
经过$\boldsymbol{1\ \mathrm{s}}$时$ △ BPD ≌ △ CQP $
【知识点】
全等三角形的性质、一元一次方程的应用、等腰三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形与动点结合的基础题型，解题关键是学会用含时间的代数式表示运动线段的长度，再结合全等的性质建立等量关系求解，解题时需注意找准全等三角形的对应边，避免对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
这是一道结合动点的全等三角形计算问题，解题时可按以下思路推导：首先设运动时间为t秒，根据P、Q的运动速度，用含t的代数式分别表示出BP、CQ的长度；再结合已知条件，求出AB中点D对应的BD长度，同时用含t的代数式表示出PC的长度；最后根据全等三角形对应边相等的性质，确定对应边的等量关系BD=PC，列方程求解即可得到运动时间。
【解析】
设点P、Q的运动时间为$ t $ s，
由P、Q的移动速度均为$ 3\ \mathrm{cm/s} $，可得$ BP=3t\ \mathrm{cm} $，$ CQ=3t\ \mathrm{cm} $。
∵$ AB=10\ \mathrm{cm} $，点D为AB的中点，
∴$ BD=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm} $，
又
∵$ BC=8\ \mathrm{cm} $，
∴$ PC=BC-BP=(8-3t)\ \mathrm{cm} $。
∵$ △ BPD ≌ △ CQP $，根据全等三角形对应边相等的性质，得$ BD=PC $，
列方程：$ 5=8-3t $，
解得：$ t=1 $。
【答案】
经过$\boldsymbol{1\ \mathrm{s}}$时$ △ BPD ≌ △ CQP $
【知识点】
全等三角形的性质、一元一次方程的应用、等腰三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形与动点结合的基础题型，解题关键是学会用含时间的代数式表示运动线段的长度，再结合全等的性质建立等量关系求解，解题时需注意找准全等三角形的对应边，避免对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
知识点一 用“边边边”判定两个三角形全等
“
三边分别相等
的两个三角形全等，简写为“
边边边
”或“SSS”。答案
三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。
解析
【分析】
本题是考查三角形全等“边边边”判定定理的基础概念题。解题时可结合题干给出的“SSS”简写提示推导：SSS是英文单词边（Side）的首字母缩写，对应三条边的判定条件，结合所学的全等判定定理内容，就能准确完成填空。
【解析】
根据“边边边”判定三角形全等的定理内容：三边分别相等的两个三角形全等，其中文简写为“边边边”，英文简写为“SSS”，因此第一个空填“三边分别相等”，第二个空填“边边边”。
【答案】
三边分别相等；边边边
【知识点】
SSS判定三角形全等
【点评】
本题属于识记类基础题，主要考查对全等三角形基础判定定理的掌握，牢记各类判定定理的内容、中文及英文简写是解答这类题的核心，也为后续复杂的全等证明题目打好基础。
【难度系数】
0.9
本题是考查三角形全等“边边边”判定定理的基础概念题。解题时可结合题干给出的“SSS”简写提示推导：SSS是英文单词边（Side）的首字母缩写，对应三条边的判定条件，结合所学的全等判定定理内容，就能准确完成填空。
【解析】
根据“边边边”判定三角形全等的定理内容：三边分别相等的两个三角形全等，其中文简写为“边边边”，英文简写为“SSS”，因此第一个空填“三边分别相等”，第二个空填“边边边”。
【答案】
三边分别相等；边边边
【知识点】
SSS判定三角形全等
【点评】
本题属于识记类基础题，主要考查对全等三角形基础判定定理的掌握，牢记各类判定定理的内容、中文及英文简写是解答这类题的核心，也为后续复杂的全等证明题目打好基础。
【难度系数】
0.9
如图,已知线段$a,b,c$,用尺规作$△ ABC$,使$AB=c,AC=b,BC=a$。
(续表)
(续表)
答案
解：
作图步骤如下：
(1) 作线段$BC$，使$BC=a$；
(2) 分别以点$B$、点$C$为圆心，线段$c$、线段$b$的长为半径，在$BC$的同侧作弧，两弧交于点$A$；
(3) 连接$AB$、$AC$，$△ ABC$就是所求作的三角形。
（作图需保留截取线段、作弧的尺规痕迹，标注点$A,B,C$）
作图步骤如下：
(1) 作线段$BC$，使$BC=a$；
(2) 分别以点$B$、点$C$为圆心，线段$c$、线段$b$的长为半径，在$BC$的同侧作弧，两弧交于点$A$；
(3) 连接$AB$、$AC$，$△ ABC$就是所求作的三角形。
（作图需保留截取线段、作弧的尺规痕迹，标注点$A,B,C$）
解析
【分析】
要作三边分别为a、b、c的三角形，可先确定两个顶点：首先作长度为a的线段BC，固定B、C两点；第三个顶点A需要满足AB=c、AC=b，根据“到定点的距离等于定长的点在以定点为圆心、定长为半径的弧上”，因此点A就是以B为圆心、c为半径的弧，和以C为圆心、b为半径的弧的交点，找到交点后连接AB、AC即可得到所求三角形。
【解析】
作图步骤如下：
(1) 作线段$BC$，使$BC=a$；
(2) 分别以点$B$、点$C$为圆心，线段$c$、线段$b$的长为半径，在$BC$的同侧作弧，两弧交于点$A$；
(3) 连接$AB$、$AC$，$△ ABC$就是所求作的三角形。
作图需保留截取线段、作弧的尺规痕迹，标注点$A,B,C$。
【答案】
作图步骤如下：
(1) 作线段$BC$，使$BC=a$；
(2) 分别以点$B$、点$C$为圆心，线段$c$、线段$b$的长为半径，在$BC$的同侧作弧，两弧交于点$A$；
(3) 连接$AB$、$AC$，$△ ABC$就是所求作的三角形。
（作图需保留截取线段、作弧的尺规痕迹，标注点$A,B,C$）
【知识点】
1. 作线段等于已知线段
2. 尺规作三角形
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，考查根据已知三边作三角形的操作能力，解题核心是先固定一条边确定两个顶点，再通过作两弧交点确定第三个顶点，作图时要注意保留完整作图痕迹。
【难度系数】
0.8
要作三边分别为a、b、c的三角形，可先确定两个顶点：首先作长度为a的线段BC，固定B、C两点；第三个顶点A需要满足AB=c、AC=b，根据“到定点的距离等于定长的点在以定点为圆心、定长为半径的弧上”，因此点A就是以B为圆心、c为半径的弧，和以C为圆心、b为半径的弧的交点，找到交点后连接AB、AC即可得到所求三角形。
【解析】
作图步骤如下：
(1) 作线段$BC$，使$BC=a$；
(2) 分别以点$B$、点$C$为圆心，线段$c$、线段$b$的长为半径，在$BC$的同侧作弧，两弧交于点$A$；
(3) 连接$AB$、$AC$，$△ ABC$就是所求作的三角形。
作图需保留截取线段、作弧的尺规痕迹，标注点$A,B,C$。
【答案】
作图步骤如下：
(1) 作线段$BC$，使$BC=a$；
(2) 分别以点$B$、点$C$为圆心，线段$c$、线段$b$的长为半径，在$BC$的同侧作弧，两弧交于点$A$；
(3) 连接$AB$、$AC$，$△ ABC$就是所求作的三角形。
（作图需保留截取线段、作弧的尺规痕迹，标注点$A,B,C$）
【知识点】
1. 作线段等于已知线段
2. 尺规作三角形
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，考查根据已知三边作三角形的操作能力，解题核心是先固定一条边确定两个顶点，再通过作两弧交点确定第三个顶点，作图时要注意保留完整作图痕迹。
【难度系数】
0.8
